Занятие 8. Прямая на плоскости.
8.1. Понятие об уравнениях линии на плоскости.
8.2. Различные виды задания прямой на плоскости. Основные задачи по нахождению прямой на плоскости.
8.3. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
8.1. Понятие об уравнениях линии на плоскости.
Далее будем использовать следующие три способа задания линии на плоскости.
1. Уравнение
каждому допустимому значению независимой
переменной
ставит соответствие определенное
значение
,
в результате на плоскости
получается точка
.
При непрерывном изменении
точки
образуют линию на плоскости
.
Таким образом, уравнение
определяет линию на плоскости
.
Такое задание линии называется явным заданием.
Например,
1)
- парабола на плоскости
,
2)
- синусоида.
2. Линию на плоскости
определяет также уравнение вида
.
Только здесь по заданному значению
значение (или несколько значений)
определяется после решения уравнения
.
Такое задание линии называется неявным.
Например,
1)
-
окружность радиуса 2 с центром в начале
координат;
2)
- эллипс с центром в точке
и полуосями 4, 5.
3. Линию на плоскости
можно задать в параметрическом виде:
,
где
- параметр, принимающий вещественные
значения. Каждому значению параметра
отвечает точка
на плоскости
.
При непрерывном изменении
эта точка описывает линию.
Например,
1)
- параметрически заданная прямая на
плоскости
.
Эта же прямая имеет явное задание
,
2)
- параметрически заданная окружность
радиуса 1 с центром в начале координат.
Эту же окружность можно задать неявно:
и явно:
.
3)
- нижняя половина окружности
радиуса 1 с центром в начале координат.
8.2. Различные виды задания прямой на плоскости. Основные задачи по нахождению прямой на плоскости.
1. Из школьной программы известно, что
прямая на плоскости
может быть задана уравнением
.
Это явное задание прямой называют
уравнением прямой с угловым коэффициентом
наклона
.
Здесь
,
где
-
угол между прямой и положительным
направление оси
,
- отрезок, отсекаемый прямой на оси
.
Следует отметить, в таком виде нельзя
записать уравнение прямой, перпендикулярной
оси
.
2. Любую прямую на плоскости
можно задать уравнением
.
Это уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости, это уравнение представляет неявное задание прямой. Это уравнение получается при решении следующей часто встречающейся задачи.
Задача 1. Найти уравнение прямой,
проходящей через точку
перпендикулярно вектору
.
Решение. Обозначим искомую прямую через
.
,
где
.
В приведенном решении существенную
роль сыграло условие ортогональности
векторов.
Важно. Для успешного усвоения темы данного занятия от студента требуется не только понять, но и научиться самостоятельно воспроизводить решение задачи 1 и приведенной ниже задачи 2.
Из решения задачи 1 видно, что из общего
уравнения прямой сразу же можно получить
информацию о направлении прямой, а
именно прямая
проходит перпендикулярно вектору
.
Вектор
называют вектором нормали (или
нормальным вектором) к прямой.
Чтобы изобразить прямую на плоскости
остается найти какую-либо точку на этой
прямой. Для этого, задаем какое-нибудь
значение
и из уравнения
находим
(или наоборот, задаем
и находим
).
Пример 1. Найти общее уравнение
прямой, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
,
где
.
Решение.
-
вектор нормали к искомой прямой, которую
обозначим через
.
Остается повторить решение задачи 1
с конкретными данными.
.
Пример 2. Найти общее уравнение
прямой, проходящей через точку
параллельно прямой
.
Решение.
- вектор нормали к данной прямой. Этот
же вектор перпендикулярен искомой
прямой, которую обозначим через
.
Далее используем ту же цепочку
рассуждений, что и в задаче 1:
.