3.17. Уравнение поверхности вращения

Пусть в плоскости расположена некоторая кривая. При вращении этой кривой вокруг осиобразуется некоторая поверхность, которая называетсяповерхностью вращения. Исходная кривая называетсяначальным меридианом.

z

L

N

A

y

O

x

Пусть уравнение начального меридиана

. (3.56)

Рассмотрим частный случай . Пусть  произвольная точка поверхности . Точкаполучена в результате вращения некоторой точкиначального меридиана. Точкаостается в плоскости, перпендикулярной оси, и описывает окружность с центром в точкеи радиусом, следовательно,

. (3.57)

Так как точка лежит на начальном меридиане, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3.56), т. е., или с учетом (3.57) можно записать

. (3.58)

Если рассмотреть и область , то в общем случае уравнение (3.58) поверхности вращения имеет вид

. (3.59)

Аналогичные уравнения получаются при вращении начального меридиана вокруг координатных осей и.

П р и м е р 36. Пусть прямая вращается вокруг оси. Тогда уравнение начального меридиана. Уравнение полученной поверхности вращения имеет вид, т. е., или. Таким образом, полученная поверхность вращения является конусом второго порядка.

3.18. Сжатие и растяжение поверхностей

Пусть  произвольная поверхность. Возьмем некоторое положительное число и каждую точкуповерхностизаменим точкой, у которой

. (3.60)

Если , то расстояние каждой точки от плоскостиувеличивается враз, если уменьшается в раз.

Пусть поверхность задана уравнением

. (3.61)

Рассмотрим поверхность , состоящую из точектаких, что, т. е. каждая точка поверхностиполучена из точек поверхностиувеличением () или уменьшением () аппликаты. Так какрасположена на поверхности, то. Следовательно,

. (3.62)

Уравнение (3.62) описывает поверхность, полученную из поверхности, задаваемой уравнением растяжением или сжатием враз.

П р и м е р 37. Пусть в плоскости задан эллипс. При вращении этого эллипса вокруг осиполучим поверхность, определяемую уравнением, или, т. е. эллипсоид вращения. Возьмеми произведем сжатие эллипсоида вращения в 1,5 раза вдоль оси. Тогда уравнение полученной поверхности имеет вид, или. Таким образом, получили сферу радиусоми с центром в начале координат.

Рекомендуемая литература

1. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 1979.

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 2000.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М., 2001.

4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., 1965.

5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов. М., 1997.

6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., 1989.

7. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 1996.

86