Уравнение (1.33) называется каноническим уравнением гиперболы.

Гипербола симметрична относительно осей координат и относительно начала координат. Оси симметрии гиперболы называются ее осями, а центр симметрии  центром гиперболы.

Рассмотрим часть гиперболы, расположенной в I четверти координатной плоскости. Пусть точка принадлежит гиперболе. На прямойвозьмем точку. Тогдаи==при. Поэтому прямыеявляются асимптотами гиперболы.

y

В₁ В₂

b а

O A₂ x

С₁ С₂

Точки ипересечения гиперболы с осьюназываются ее вершинами, ось ее действительной осью, прямоугольник  основным прямоугольником гиперболы, и соответственно действительной и мнимой полуосями.

У гиперболы различают правую и левую ветви, расположенные в полуплоскостях исоответственно.

Уравнение также определяет гиперболу, которая изображена на рисунке пунктирной линией. Эта гипербола называется сопряженной к гиперболеи имеет такие же асимптоты.

Гипербола с равными полуосями () называется равносторонней, и ее каноническое уравнение имеет вид(). Ее основным прямоугольником является квадрат, а асимптоты взаимно перпендикулярны.

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение, где половина расстояния между фокусами,  действительная полуось, т. е.

. (1.34)

Так как , то. Если, то. Если, то. Эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, т. е. и саму гиперболу.

П р и м е р 17. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если расстояние между фокусами и эксцентриситет.

Решение. Так как расстояние между фокусами , тои фокусы, расположенные на оси ординат, имеют координатыи. Вещественной полуосью гиперболы является. Учитывая, что эксцентриситет гиперболы равен отношениюк вещественной полуоси, находим. Тогда. Искомое уравнение гиперболы имеет вид.

1.14. Директрисы эллипса и гиперболы

Определение. Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса, т. е. директрисы эллипса задаются уравнениями ().

у

d

с

х

О

a

Теорема 5. Если  расстояние произвольной точки эллипса до какого-либо фокуса, а расстояние той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

Доказательство. Пусть  точка правой директрисы эллипса, тогда . Расстояниеточкидо соответствующего фокуса:. Таким образом,, теорема доказана.

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гиперболы, т. е. директрисы гиперболы задаются уравнениями (), где вещественная полуось,  эксцентриситет гиперболы.

Теорема 6. Если  расстояние произвольной точки гиперболыдо какого-либо фокуса, а расстояние той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Доказательство. Пусть  точка правой директрисы гиперболы, тогда , так как,. Расстояниеточкидо соответствующего фокуса:. Получили, что. Теорема доказана.

На основании доказанных теорем можно дать следующее определение эллипса и гиперболы.

Определение. Множество точек плоскости, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей фокусу директрисы является постоянной величиной, равной , есть эллипс, если, и гипербола, если.

П р и м е р 18. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если дана точка эллипса и расстояние между его директрисами равно 10.

Решение. Для того чтобы составить уравнение заданного эллипса, надо найти его полуоси. Координаты точки удовлетворяют уравнению эллипса, поэтому. Фокусы эллипса расположены на оси абсцисс, вследствие чего расстояниемежду директрисами определяется по формуле. Поэтому, или. Так как, то уравнение относительнопринимает вид, т. е.и соответственно. Таким образом, искомое уравнение эллипса.

П р и м е р 19. Эксцентриситет гиперболы , расстояниеот точкигиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояниеот точкидо фокуса, одностороннего с этой директрисой.

Решение. По определению гиперболы , поэтому.

1.15. Парабола

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус, т. е. .

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус перпендикулярно директрисе. Положительное направление оси  от директрисы к фокусу. Начало системы координат находится на одинаковом расстоянии от фокуса и директрисы.

y

d

r

x

O

Пусть  произвольная точка плоскости;  расстояние точки до директрисы; расстояние от фокуса до директрисы. Тогда директриса задается уравнением , фокусимеет координатыи,. Согласно определению параболыили. Из последнего равенства получаем

. (1.35)

Уравнение (1.35) называется каноническим уравнением параболы.

Покажем, что любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (1.35), является точкой гиперболы.

Координаты точки удовлетворяют уравнению (1.35), поэтомуи расстояниеэтой точки до прямой:. Расстояниеточкидо фокуса:, т. е. точкаявляется точкой гиперболы.

Уравнение (1.35)  это уравнение второй степени, поэтому парабола  кривая второго порядка.

Парабола симметрична относительно оси и проходит через точку. Точканазывается вершиной параболы, ось симметрии (ось) ее осью симметрии, а расстояние от фокуса до директрисы параметром.

Рассмотрим . На параболе имеются две точки с абсциссой:и. Эти точки находятся на расстояниидруг от друга, т. е. чем больше параметр, тем шире область, лежащая внутри параболы.

Если система координат выбрана таким образом, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, а начало координат  с вершиной, но ось Ox направлена от фокуса к директрисе, то уравнение параболы записывается в виде

. (1.36)

y

F O x

Если начало координат совмещено с вершиной параболы, а ее ось  с осью ординат, то уравнение параболы имеет вид

(1.37)

и парабола лежит в верхней полуплоскости. Если же парабола расположена в нижней полуплоскости, то она задается уравнением

. (1.38)

Каждое из уравнений (1.36)  (1.38), как и уравнение (1.35), называется каноническим уравнением параболы.

П р и м е р 20. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку.

Решение. Осью параболы является ось ординат, поэтому уравнение имеет вид, определяемый уравнением (1.37) или (1.38). Точка расположена в верхней полуплоскости, поэтому, и значение параметранаходится из уравнения. Таким образом,, и искомое уравнение имеет вид.

П р и м е р 21. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус и директриса.

Решение. По формуле (1.15) расстояние от фокуса до директрисы, поэтому параметр параболы. Прямая, проходящая через фокус перпендикулярно директрисе, задается уравнениеми является осью симметрии параболы. Вершина параболы расположена на ее оси на одинаковом расстоянии от фокуса и директрисы, т. е. имеет координаты. Положительное направление от директрисы к фокусу совпадает с положительным направлением оси. Таким образом, искомое уравнение имеет видили.