П р и м е р 23. Даны векторы ,,. Найти разложение векторапо базису,,.

Решение. Для разложение вектора по базису,,необходимо найти такие числа,и, чтобы выполнялось равенство. Если два вектора равны, то равны и их соответствующие координаты, поэтому относительно,иимеем систему уравненийВекторы,,по условию задачи образуют базис, поэтому главный определитель системы отличен от нуля и по теореме Крамера она имеет единственное решение:,,. Таким образом,.

2.5. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведениемдвух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

, (2.16)

где  угол между векторами и .

Если хотя бы один из векторов или  нулевой, то угол между векторами не определен, и скалярное произведение полагается равным нулю.

Проекцию вектора на ось, определяемую вектором , обозначим . По определению проекции вектора на ось имеем:. Тогда скалярное произведение двух ненулевых векторов и определяется формулой

. (2.17)

Учитывая, что в определении скалярного произведения векторы и взаимозаменяемые, его можно представить в виде

. (2.18)

Соотношения (2.17) и (2.18) позволяют сформулировать другое определение скалярного произведения.

Определение. Скалярным произведениемдвух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.

Физический смысл скалярного произведения заключается в следующем: если точка приложения силы, задаваемой постоянным вектором , перемещается вдоль вектора , то работа этой силы определяется равенством , где угол между векторами и , т. е. работа равна скалярному произведению векторов и .

Теорема 8. Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярности) двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и ортогональны, угол между ними, тогда , и в силу формулы (2.16).

Достаточность. Пусть . Докажем, что векторы и ортогональны. Если хотя бы один из векторов равен нулевому вектору, то он имеет неопределенное направление, и можно считать, что векторы ортогональны. Если оба вектора и ненулевые, то,, поэтому из (2.16) следует, что, т, е. векторы и ортогональны. Теорема доказана.

Если два вектора привести к общему началу, то в качестве угла между этими векторами можно взять любой из угловили.

Действительно, сумма углов иравна, поэтому. В определение скалярного произведения входит сомножителем только косинус угла между векторами. Из двух угловимежду векторами один всегда не более. За уголмежду векторами принимается наименьший из углови, т. е..

Если скалярное произведение двух ненулевых неколлинеарных векторов и положительно (отрицательно), то эти два вектора составляют острый (тупой) угол.

Свойства скалярного произведения:

1. .

Доказательство. Это свойство непосредственно вытекает из определения скалярного произведения: . Свойство доказано.

2. .

Доказательство. Для доказательства этого свойства воспользуемся формулой (2.18) для определения скалярного произведения и свойствами проекций векторов на ось: . Свойство доказано.

3. .

Доказательство. Воспользуемся формулой (2.18) для определения скалярного произведения и свойствами проекций векторов на ось. Получим: . Свойство доказано.

4. , если , и, если.

Доказательство. Из определения скалярного произведения с использованием соотношения (2.16) следует, что . Если, тои. Если же, то, поэтому. Свойство доказано.

Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, не учитывая порядок векторных сомножителей и сочетая числовые множители.

Из определения и свойств скалярного произведения векторов следует, что для базисных векторов ,,выполняются соотношения

1. ; (2.19)

2. . (2.20)

Теорема 9. Если векторы изаданы своими координатами, т. е.,, то скалярное произведение векторовивычисляется по формуле

. (2.21)

Доказательство. Разложим векторы ипо базису,,, получим,. Тогда по свойствам скалярного произведения векторов, используя формулы (2.19), (2.20), имеем. Теорема доказана.

Следствие. Угол между ненулевыми векторамииопределяется по формуле

. (2.22)

Доказательство. По определению скалярного произведения двух ненулевых векторов , поэтому. Воспользовавшись формулами (2.21) и (2.9) для скалярного произведения и длин векторов, заданных своими координатами, получим формулу (2.22).

Замечание. Если один из векторов илиявляется нулевым, то угол между векторами определяется неоднозначно и может быть выбран произвольным.

П р и м е р 24. Дано, что ,. Определить, при каком значениивекторыибудут взаимно перпендикулярны.

Решение. Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения, т. е. . По свойствам скалярного произведения. Таким образом,, или.

П р и м е р 25. Векторы иобразуют угол. Зная, что,, вычислить уголмежду векторамии.

Решение. Для нахождения косинуса угла между векторамиивоспользуемся соотношением (2.22). По формуле (2.21):. Найдем длины векторови, используя свойства скалярного произведения:. Аналогично находим, что. Тогдаи.