2.6. Векторное произведение векторов

Определение. Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из векторов считается первым, какой  вторым, а какой  третьим.

Например,  упорядоченная тройка векторов, в которой первым вектором является вектор , вторым вектор , третьим вектор .

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Определение. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Рассмотрим векторы ,и, расположенные таким образом, как показано на рисунке. Правыми тройками будут,и. Тройки векторов,, левые.

Определение. Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, который определяется тремя условиями:

1. длина вектора равна, где угол между векторами и;

2. вектор перпендикулярен каждому из векторови;

3. векторы ,иобразуют правую тройку.

S

Условия 2) и 3) относятся к случаю, когда . Если, то векторное произведение определяется только условием 1).

Определение. Декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

Геометрические свойства векторного произведения.

Теорема 10. Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы равнялось нулю их векторное произведение.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы иколлинеарны, тогдаилии. По определению векторного произведения длина вектораравна, следовательно, векторное произведение равно нулю.

Достаточность. Пусть . Докажем, что векторыиколлинеарны. Если один из этих векторов, например вектор, является нулевым, то он коллинеарен любому вектору, в частности, и вектору. Если оба вектора ненулевые, то,, поэтому из условия 1 скалярного произведения следует, что, т. е. векторыиколлинеарны. Теорема доказана.

Теорема 11. Длина (модуль) векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторахи.

Доказательство. Площадь параллелограмма равна произведению длин смежных сторон на синус угла между ними. Рассмотрим параллелограмм, построенный как на сторонах на приведенных к общему началу векторах и. Тогда длины сторон равныи, угол между этими смежными сторонами равен углумежду векторами. Поэтому площадьпараллелограмма равна. Теорема доказана.

Следствие. Если  орт векторного произведения , а площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и, то для векторного произведениясправедлива формула

. (2.23)

Доказательство. Проверим выполнение условий, которым должно удовлетворять векторное произведение , если. 1) Длина векторного произведения. 2) Векторколлинеарен вектору, поэтому он перпендикулярен каждому из векторови. 3) Так как, то вектори вектор, который является ортом векторного произведения, имеют одинаковое направление, следовательно, векторы,иобразуют правую тройку. Таким образом, векторявляется векторным произведением векторови, т. е.. Следствие доказано.

Алгебраические свойства векторного произведения.

1. (свойство антиперестановочности сомножителей).

Доказательство. Пусть ,. Если векторыиколлинеарны, то по теореме 1 получаем, что. Если векторыине коллинеарны, то, т. е. векторыиимеют одинаковую длину. Векторыиколлинеарны, так как каждый из них перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторыи, т. е. либо, либо. Если векторыиравны, то тройки векторовиодновременно являются обе правыми или левыми, что невозможно, следовательно,, или. Свойство доказано.

2. .

Доказательство. Пусть ,. Если векторыиколлинеарны или, то по теореме 1 получаем, что.

Рассмотрим случай, когда векторы ине коллинеарны и. Докажем, что в этом случае векторыиравны. Пусть угол между векторами и, а угол между векторами и. Тогда,. Если, то векторыинаправлены в одну сторону, поэтомуи. Если же, то векторыиимеют противоположное направление, т. е., но. Таким образом, векторыиимеют одинаковую длину при любых значениях. Векторы,ирасположены в одной плоскости, поэтому векторыиколлинеарны (оба перпендикулярны одной и той же плоскости). Для доказательства равенства векторовиосталось доказать, что они одинаково направлены. Действительно, если(), то векторыиодинаково (противоположно) направлены, поэтому векторыи, а также векторыиодинаково (противоположно) направлены. Следовательно, векторыиимеют одинаковое направление. Свойство доказано.

3. .

Доказательство. Если векторы иколлинеарны векторуили хотя бы один из векторов,,нулевой, то свойство очевидно. Для доказательства свойства в других случаях введем ортвектора. Векторыиприведем к общему началуи через точкупроведем плоскость, перпендикулярную вектору. Рассмотрим треугольниктакой, что,,. Проекции точекина плоскостьобозначимисоответственно. Полученный треугольникповернем вокруг оси, определяемой вектором, на уголпо часовой стрелке, если смотреть из конца вектора. Получим треугольник. Пусть угол между векторами и. Для определенности будем считать, что(для всех остальных случаев доказательство проводится аналогично).

В

А

О

Рассмотрим вектор . Учитывая, что, длину вектораможно представить в виде. Векторрасположен в плоскости, которая перпендикулярна векторупо построению, следовательно,. Кроме того,перпендикулярен вектору(по построению). Векторы,иобразуют правую тройку. Таким образом,. Проводя аналогичные рассуждения для векторови, получим, что,. Учитывая, что, получим:

. (2.24)

Вектор направлен так же, как и вектор, поэтому. Умножим равенство (2.24) на число. Получим. Согласно алгебраическому свойству 2 векторного произведенияили. Свойство доказано.

4. для любого вектора .

Доказательство. Любой вектор коллинеарен сам себе, поэтому по теореме 1 . Свойство доказано.

При доказательстве алгебраического свойства 3 использовалось следствие из свойства 2.

Следствие 1. .

Доказательство. Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством антиперестановочности сомножителей векторного произведения и свойством 2. Имеем: . Следствие доказано.

Следствие 2. .

Доказательство. Воспользуемся свойством антиперестановочности сомножителей векторного произведения и свойством 3. Имеем: . Следствие доказано.

Используя следствия 1 и 2, получим:

. (2.25)