3.11. Однополостный гиперболоид

Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

. (3.32)

Уравнение (3.32) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Из (3.32) следует, что координатные плоскости являются осями симметрии, а начало координат  центром симметрии однополостного гиперболоида.

Установим вид поверхности, задаваемой уравнением (3.32). Рассмотрим линии пересечения однополостного гиперболоида плоскостями . Уравнение проекции такой линии на плоскостьполучается из уравнения (3.32), если положить в нем. Имеем:

. (3.33)

Так как всегда , то можно ввести обозначения

, , (3.34)

с учетом которых соотношение (3.33) принимает вид

, (3.35)

т. е. проекция линии пересечения представляет собой эллипс с полуосями и. Наименьший из рассматриваемых эллипсов с полуосямииполучается при сечении однополостного гиперболоида плоскостью, т. е. координатной плоскостью. Этот эллипс называетсягорловым.

С увеличением размеры эллипса неограниченно увеличиваются. Таким образом, однополостный гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую из одной полости и подобную трубке, неограниченно расширяющейся в положительном и отрицательном направлениях по оси аппликат.

Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида плоскостями и, параллельными координатным плоскостями. Проекции этих сечений на соответствующие координатные плоскости являются линиями, задаваемыми уравнениями:

и . (3.36)

z

y

O

x

Более подробно остановимся на сечении однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной координатной плоскости .

Если , то в проекции на плоскостьполучается пара вещественных пересекающихся прямых, определяемых уравнениямии проходящих через начало координат.

Если , то в проекции имеем гиперболу с фокусами на оси() или(), причем полуоси этих гипербол увеличивается с удалением от начала координат.

Аналогичная картина получается и при сечении плоскостями, параллельными плоскости . В сечении однополостного гиперболоида координатными плоскостямииполучаем гиперболы

и . (3.37)

Величины ,,называются полуосями однополостного гиперболоида.

3.12. Двуполостный гиперболоид

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением

. (3.38)

Уравнение (3.38) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Из этого уравнения следует, что координатные плоскости являются его осями симметрии, а начало координат  его центром симметрии.

Рассмотрим сечение двуполостного гиперболоида, определяемого уравнением (3.38), плоскостями . Уравнение проекции линии пересечения на плоскостьполучается из (3.38), если в нем положить. Уравнение этой проекции имеет вид

. (3.39)

Если , то (3.39) является уравнением мнимого эллипса и точек пересечения двуполостного гиперболоида с плоскостьюнет, т. е. в слое между плоскостямиине содержится точек рассматриваемой поверхности. Если, то линия (3.39) вырождается в точки, т. е. плоскостикасаются двуполостного гиперболоида в точкахи. Если, тои можно ввести обозначения

, . (3.40)

Тогда уравнение (3.39) принимает вид

, (3.41)

т. е. проекция на плоскость линии пересечения двуполостного гиперболоида и плоскостипредставляет собой эллипс с полуосями, которые определяются равенствами (3.40), поэтому и сама линия пересечения является эллипсом. При удалении от начала координат вдоль осипроисходит увеличение полуосей эллипса.

В силу симметрии относительно плоскости рассматриваемая поверхность содержит две полости.

При сечении плоскостями , параллельными, получаются кривые, которые при проектировании на эту плоскость определяются уравнениями

. (3.42)

Кривые, задаваемые уравнениями (3.42), являются гиперболами, фокусы которых расположены на оси , причем с увеличением абсолютной величиныувеличивается вещественная полуось гиперболы.

Аналогичные результаты получаются при сечении двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости.

Рассмотренные сечения позволяют изобразить двуполостный гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид выпуклой чаши.

z

y

О

x

Величины ,,называются полуосями двуполостного гиперболоида.