3.15. Конус второго порядка

Определение. Конусом второго порядканазывается поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

. (3.52)

Уравнение (3.52) называется каноническим уравнением конуса второго порядка.

Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечении этой поверхности плоскостью получаем линию, распадающуюся на пару вещественных пересекающихся прямых, проходящих через начало координат. Аналогично в сечении конуса второго порядка координатной плоскостьюполучается пара вещественных пересекающихся прямых.

Сечением конуса второго порядка плоскостями получаются кривые, проекции которых на плоскостьопределяются уравнениями

. (3.53)

Если , то проекция линии пересечения вырождается в точку, которая является вершиной конуса. Если, то уравнение (3.53) принимает вид

, (3.54)

т. е. проекцией линии сечения является эллипс с полуосями и. При увеличении абсолютной величиныполуоси эллипсов увеличиваются.

z

О

y

x

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии конуса второго порядка, а начало координат  центром симметрии.

Убедимся, что вещественный конус образован прямыми линиями, проходящими через начало координат. Для этого достаточно установить, что прямая, соединяющая произвольную отличную от начала координат точкуконуса и начало координат, полностью располагается на конусе, т. е. координаты любой точкипрямойудовлетворяют уравнению (3.52) конуса.

Точка лежит на поверхности конуса, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению (3.52), т. е.. Параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку, имеют вид,,, где некоторое число. Тогда при подстановке в правую часть соотношения (3.52) координат произвольной точки прямой получим:, т. е. любая точка прямойпринадлежит конусу второго порядка, определяемому уравнением (3.52). Таким образом, конус образован прямыми, проходящими через начало координат.

3.16. Цилиндрическая поверхность

Пусть в плоскости расположена произвольная кривая. Через каждую точку этой кривой проведем прямую, параллельную оси. Множество этих прямых образуют поверхность, которая называетсяцилиндрической. Кривая называетсянаправляющей этой поверхности, а прямые, параллельные оси , ее образующими.

z

y

O

L

x

Аналогично определяются цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям и.

Покажем, что цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси, определяется уравнением вида

. (3.55)

Пусть направляющая в плоскостизадается уравнением (3.55). Возьмем произвольную точкуна поверхности. Эта точка расположена на некоторой образующей, которая пересекает координатную плоскостьв точке, принадлежащей прямой. Поэтому координаты точкиудовлетворяют соотношению (3.55). Функция, задаваемая (3.55), не зависит от, поэтому координаты точкитакже удовлетворяют (3.55). Если же, тои координатыине удовлетворяют равенству (3.55). Это означает, что уравнение (3.55) является уравнением поверхности.

Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси , не содержит координатыи совпадает с уравнением направляющей.

Например, уравнение определяет цилиндрическую поверхность, которая называется эллиптическим цилиндром. Уравненияиопределяют цилиндрические поверхности, называемые параболическим и гиперболическими цилиндрами соответственно.

Эти три поверхности являются цилиндрическими поверхностями второго порядка. В общем случае цилиндрическая поверхность не обязательно является поверхностью второго порядка.