3.13. Эллиптический параболоид

Определение. Эллиптическим параболоидомназывается поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением

, (3.43)

где ,.

Уравнение (3.43) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

Для поверхности, определяемой уравнением (3.43), координатные плоскости иявляются плоскостями симметрии.

Из уравнения (3.43) следует, что эллиптический параболоид расположен в полупространстве . Рассмотрим сечение этой поверхности плоскостями, параллельными координатным осям.

Сечение эллиптического параболоида плоскостью представляет собой кривую, которая в проекции на плоскостьзадается уравнением

. (3.44)

Если , то соотношение (3.44) принимает вид, т. е. плоскостьявляется касательной к эллиптическому параболоиду. Припроекция линии сечения на плоскостьпредставляет собой мнимый эллипс

, (3.45)

где ,, т. е. нет точек пересечения эллиптического параболоида и плоскостей.

Если же , то линии пересечения эллиптического параболоида плоскостямипредставляют собой эллипсы, проекции которых на плоскостьопределяются уравнением

, (3.46)

где ,. Из (3.46) следует, что при увеличенииполуоси эллипса неограниченно увеличиваются, т. е. эллиптический параболоид представляет собой бесконечную чашу.

При сечении эллиптического параболоида координатными плоскостями иполучаем кривые, которые в проекции на эти плоскости задаются уравнениямиисоответственно, т. е. в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси. Если сечение эллиптического параболоида осуществляется плоскостью, то уравнение линии сечения в проекции на плоскостьимеет вид

, (3.47)

т. е. линия сечения  парабола, у которой осью симметрии является ось , вершина находится в точкеи параметр равен. Аналогичная картина получается при сечении эллиптического параболоида плоскостями.

z

y

x

О

Точка называется вершиной эллиптического параболоида, числаи его параметрами.

В случае уравнения (3.44) определяют окружность с центром на оси, т. е. эллиптический параболоид можно рассматривать как фигуру, образованную вращением параболы вокруг ее оси. Такая поверхность называется параболоидом вращения.

3.14. Гиперболический параболоид

Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

, (3.48)

где ,.

Уравнение (3.48) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.

Для поверхности, определяемой уравнением (3.48), координатные плоскости иявляются плоскостями симметрии.

Установим геометрический вид поверхности (3.48). Рассмотрим линии пересечения гиперболического параболоида с плоскостями , параллельными плоскости. Уравнение проекции линии пересечения на плоскостьполучается из (3.48), если в нем положить. Уравнение этой проекции имеет вид

. (3.49)

Если , то проекцией является пара вещественных пересекающихся прямых, проходящих через начало координат. Линии пересечения гиперболического параболоида с плоскостямипредставляют собой пригиперболы

(3.50)

с полуосями ,, приполучаем гиперболы

(3.51)

с полуосями ,, которые являются сопряженными к гиперболам (3.50). При удалении от начала координат, т. е. с увеличением абсолютной величины, полуоси увеличиваются. Асимптотами гипербол (3.50) и (3.51) являются прямые, которые получаются сечением гиперболического параболоида плоскостью.

Как и в случае эллиптического параболоида гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью , когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением гиперболического параболоида плоскостью.

Гиперболический параболоид может быть изображен в виде седлообразной поверхности. Точка называется вершиной гиперболического параболоида, числаи его параметрами.