1.13. Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Выберем прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы и, а начало координатсовпадало с серединой отрезка. Обозначим,,, где, фокальные радиусы (расстояния от дочки до фокусов) точки гиперболы. Тогда фокусы иимеют координаты,.

O

Пусть  произвольная точка гиперболы. Имеем: ,. Из определения гиперболы

, (1.32)

или  искомое уравнение гиперболы. Приведем это уравнение к более удобному виду. Из последнего равенства следует, что .Так как, то можем обе части уравнения возвести в квадрат, и после эквивалентных преобразований получим:. Следовательно,. Введем новую переменную. Тогда, или

. (1.33)

Таким образом, из уравнения (1.32) следует уравнение (1.33), т. е. координаты всех точек гиперболы удовлетворяют соотношению (1.33). Покажем, что верно и обратное, т. е. множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.33), является гиперболой.

Пусть координаты некоторой точки плоскости удовлетворяют уравнению (1.33), тогда. Для фокальных радиусов этой точки имеем:,, поэтому модуль разности расстояний точкидо фокусов. Следовательно, точкаявляется точкой гиперболы.

24