1.11. Окружность

Определение. Окружностью называется множество всех точек плоскости, для которых расстояние от данной точки, называемой центром окружности, есть величина постоянная, называемая радиусом окружности.

Выведем уравнение окружности. Пусть точка  произвольная точка окружности радиуса . Введем прямоугольную систему координат, у которой начало совпадает с центром окружности. В этом случае точкаимеет координаты. По определению окружности. Учитывая, что, получим, или

. (1.27)

Выражение (1.27) называется уравнением окружности с центром в точке и радиуса.

Покажем, что любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (1.27), принадлежит окружности с центром в точке и радиуса.

Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению (1.27). Тогда, т. е.является точкой окружности.

С учетом формулы преобразования прямоугольных координат точки при параллельном переносе осей получим уравнение окружности с центром в точке и радиуса:

. (1.28)

П р и м е р 13.Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат, центр которой находится на одинаковом расстоянии от параллельных прямых и.

Решение. Для того чтобы составить уравнение окружности вида , необходимо найти координатыее центраи радиус. Искомая окружность касается прямыхи, поэтому радиусравен половине расстояниямежду этими прямыми. Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от произвольной точки одной прямой до другой прямой. На прямой, задаваемой уравнением, возьмем произвольную точку, тогда. По формуле (1.15) имеем:. Таким образом,. Центр окружности равноудален от заданных прямых, поэтому координатыее центрадолжны удовлетворять равенству, т. е.. Известно, что окружность проходит через начало координат, поэтому. Получили систему уравнений относительно координат центраокружности:. Ее решениями будут. Итак, существует два уравнения, удовлетворяющих условиям задачи:.

1.12. Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Выберем прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы и, а начало координатсовпадало с серединой отрезка. Обозначим,,, где, фокальные радиусы (расстояния от точки до фокусов) точки эллипса. Тогда фокусы иимеют координаты,.

O

Пусть  произвольная точка эллипса. Имеем: ,. Из определения эллипса

, (1.29)

или  искомое уравнение эллипса, которое неудобно для использования. Из последнего равенства следует, что .Так как, то можем обе части уравнения возвести в квадрат и после эквивалентных преобразований получим:. Следовательно,. Введем новую переменную. Имеем:. Из этого равенства следует, что

. (1.30)

Уравнение (1.30) называется каноническим (простейшим) уравнением эллипса. Это уравнение является уравнением второго порядка. Таким образом, любая точка эллипса, удовлетворяющая уравнению (1.29), удовлетворяет и уравнению (1.30). Докажем, что все точки плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (1.30), являются точками эллипса, т. е. их координаты удовлетворяют уравнению (1.29).

Для фокального радиуса выполняется соотношение. Из уравнения (1.30) имеем:. Поэтому, или. Аналогично находим, что. Следовательно,.

Эллипс симметричен относительно координатных осей, так как содержит только четные степени и, и относительно начала координат. Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр симметрии центром эллипса.

b

с

х

О

a

Эллипс пересекает координатные оси в точках ,,,. Эти точки называются вершинами эллипса. Приэллипс вырождается в окружность радиусоми центром в начале координат. Вершины эллипса ограничивают на осях отрезки длинойи, причем(это следует из того, что).

Величины иназываются большой и малой полуосями эллипса, оси эллипса соответственно большой и малой осью.

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется отношение, где половина расстояния между фокусами,  большая полуось, т. е.

. (1.31)

Учитывая, что , получим. Так как, то. Если, т. е. эллипс приближается к окружности, то. Если, ак нулю не стремится, то эллипс вытянут вдоль большой оси. Таким образом, эксцентриситет эллипса характеризует меру его вытянутости вдоль большой оси.

Если фокусы эллипса ирасположены на оси ординат, то в этом случаеи большой является полуось. Уравнение эллипса также имеет вид (1.30), но, а его эксцентриситет вычисляется по формуле.

П р и м е р 14. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между его фокусами и эксцентриситет.

Решение. Половина расстояния между фокусами . Фокусы эллипса расположены на оси абсцисс, поэтому большой полуосью является. Из (1.31) следует, что. Тогда. Таким образом, уравнение эллипса имеет вид.

П р и м е р 15. Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет.

Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду. Для этого обе части уравнения разделим на 45, получим . Таким образом, его полуось,. Большой полуосью является полуось, поэтому фокусы эллипса расположены на оси ординат и, следовательно, фокусы находятся в точкахи. Эксцентриситет эллипса равен отношению половины расстояния между фокусами к большой полуоси, т. е..

П р и м е р 16. Вычислить площадь четырехугольника , две вершиныикоторого лежат в фокусах эллипса, две другиеисовпадают с концами его малой оси.

Решение. Каноническое уравнение эллипса имеет вид , поэтому,. Следовательно, вершины четырехугольникаиимеют соответственно координатыи. Найдем координаты вершини. Так как, то,. Полученный четырехугольник симметричен относительно координатных осей и относительно начала координат, следовательно,.