1.10. Нормальное уравнение прямой

Пусть дана некоторая прямая . Через начало координат проведем прямую, перпендикулярную данной и пересекающую ее в точке. Построенная прямаяназывается нормалью к прямой.

На нормали введем направление от точки к точке. Если точкиисовпадают, то направление из двух возможных выберем произвольно. Прямаяс выбранным направлением является осью. Пусть угол, на который надо повернуть против часовой стрелки ось до совмещения ее положительного направления с направлением нормали, длина отрезка , тогда,. Выведем уравнение данной прямой, считая известными уголи длину.

L

n

y

N

p

М

x

O

Введем полярную систему координат так, чтобы полюс находился в начале декартовой системы координат, а полярная ось совпадала с декартовой осью . Выберем на прямойпроизвольную точкус полярными координатами. Если точкиине совпадают, то из треугольникаимеем:. Это уравнение можно переписать в виде

. (1.21)

Уравнению (1.21) удовлетворяют координаты только тех точек, которые лежат на прямой , поэтому (1.2) является уравнением прямой в полярных координатах. Воспользовавшись формулами (1.19), в прямоугольной системе координат получим:

. (1.22)

Если точки исовпадают, то прямая проходит через начало координат, поэтому. В этом случае для любой точкипрямой выполняется равенствои соответственно, т. е.. Таким образом, в любом случае уравнение прямой можно представить в виде (1.22), которое называется нормальным уравнениемпрямой.

Рассмотрим, как привести общее уравнение прямой к нормальному виду. Пусть одна и та же прямая определяется уравнениями (1.12) и (1.22). Тогда коэффициенты этих уравнений пропорциональны, т. е.

. (1.23)

Пусть одно из отношений в (1.23) равно , тогда,. Из основного тригонометрического тождества следует, что, или

. (1.24)

Число называется нормирующим множителем. Знак определяется из условия.

Таким образом, для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду, надо все члены уравнения (1.12) умножить на нормирующий множитель, определяемый соотношением (1.24).

Выведем формулу для определения расстояния от произвольной точкиплоскости до прямой, заданной нормальным уравнением.

L₀

n

y

N₀

L

М₀(x₀, y₀)

N

x

O

Через точку проведем прямуюпараллельно прямой. Пусть точка пересечения прямой с нормалью, длина отрезка . Если точкиилежат по одну сторону от точки, то нормальное уравнение прямойимеет вид, так как в этом случае для прямыхиположительное направление нормали одинаково. Точкапринадлежит прямой, поэтому, или. Имеем:.

Если точки илежат по разные стороны от точки, то нормальное уравнение прямойследующее:, где. Точкапринадлежит прямой, поэтому, откуда получаем. В этом случае.

Если точка принадлежит прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1.22) прямой, т. е., и.

Таким образом, независимо от положения точки на плоскости расстояниеот нее до прямой, заданной нормальным уравнением (1.22), определяется по формуле

. (1.25)

Определение. Отклонением точкиот прямойназывается число, если точкаи начало координатлежат по разные стороны от прямой, и число, если точкиилежат по одну сторону от прямой, т. е.

. (1.26)

П р и м е р 12. Составить уравнения биссектрис углов, образованных прямыми и.

Решение. Запишем нормальные уравнения этих прямых. Нормирующие множители иуравнений этих прямых найдем по формуле (1.24):,. Таким образом, нормальные уравнения этих прямыхи. Левые части этих соотношений равны соответственно отклонениямиточкиот этих прямых. Если точканаходится на биссектрисе угла, в котором лежит начало координат, то эти отклонения равны, т. е.. На другой биссектрисе отклонения точкиот прямых равны по модулю, но противоположны по знаку, т. е.. Таким образом, уравнения биссектрис имеют види, илии.

Из определения отклонения точки от прямой следует, что точка и начало координатлежат в одном углу, образованном двумя пересекающимися прямыми, если оба отклоненияиточкиот этих прямых отрицательны. Если оба отклоненияиположительны, то точкиирасположены в вертикальных углах. Если же отклоненияипротивоположны по знаку, тоинаходятся в смежных углах.