Атомная физика лабораторные работы

затем, сильно сблизившись с ядром, отклонится на большой угол, после чего опять будет двигаться почти прямолинейно. Ясно, что вероятность такого сближения невелика.

Вероятность резерфордовского рассеяния под углом θ в элемент этого угла dθ есть отношение числа частиц dА, попавших в единицу времени в элемент dθ, к полному числу частиц А, упавших в единицу времени на мишень. Учитывая выражения

(57) и (59), имеем

где n0 – концентрация атомов мишени; L – толщина; S – площадь мишени под пучком. Коэффициент 2π получается в результате интегрирования по углу φ. Поскольку для резерфордовской мишени угол вылета из мишени Θ = θ, то в дальнейшем угол рассеяния можно обозначить через Θ.

Опыт Э. Резерфорда по зондированию α-частицами тонкой золотой мишени позволил установить ядерное строение атома и лег в основу современных методов исследования микромира. Основными узлами экспериментальной установки являются источник α-частиц и детектор, регистрирующий рассеянные под различными углами α-частицы. Задача состоит в определении углового распределения рассеянных частиц. Как было сказано, величиной, характеризующей это распределение, является дифференциальное сечение рассеяния dσ. Полученная для него Резерфордом теоретическая формула выведена для случая кулоновского взаимодействия частиц:

Эта формула выведена в предположении, что масса α-частицы много меньше массы рассеивающего атома.

71

2. Рассеяние на атоме Резерфорда

Задача и методы исследования те же, что для атома Томсона.

1.Сравните полученное значение Θmax со значением этого параметра для предыдущей работы.

2.Результаты занесите в отчетную таблицу (табл. 4) и сделайте соответствующие выводы.

Таблица 4

Образец отчетной таблицы

1. Рассеяние на атоме Томсона

3. Рассеяние на многоатомных мишенях

Основная задача этого пункта – выяснить роль многократных

иоднократных столкновений в мишенях обоих типов. С этой целью предлагается проследить за движением α-частицы в мишени

иустановить возможные типы траекторий. Качественно они делятся на плавные и с резким изломом. Плавные – продукт многократных столкновений с отклонением на малые углы. Резкий излом – следствие однократного сильного взаимодействия.

Если, в принципе, возможны различные траектории, то частота их реализации может быть существенно разной. В этом важно разобраться, поэтому предлагается качественно оценить частоту появления различных траекторий. Но главный вывод состоит в том, что отклонение на большие углы, которые наблюдались в эксперименте, могут быть как в мишени Томсона,

73

так и в мишени Резерфорда. Как показывает эксперимент, многократные столкновения дают заметный вклад при рассеянии на малые углы ~ 2–3 .

4. Расчет вероятности рассеяния

Предлагается провести расчет плотности вероятности W( ) и Wрез( ) по формулам (59) и (61). Расчет для одного значения угла рассеяния производит пользователь. После ввода правильного значения этой величины компьютер сам вычислит ряд значений. Для произвольных углов , не входящих в этот ряд, пользователь вводит данные самостоятельно и получает ответ. Для расчета по формуле Гаусса необходимо задать < 2 > или в соответствии с формулой (60) N и < θ2 >. Для оценки

разумно положить N = 104, а 2 max 0,026o – значение,

соответствующее максимальному углу рассеяния в мишени Томсона. Это связано с тем, что для меньших углов, которым в

действительности соответствует 2 , вероятность рассеяния

будет только еще меньше, а она, как показывает расчет, и без того исключительно мала.

5.Оценка времени экспозиции

Вэксперименте Резерфорда, хотя и крайне редко, но наблюдались частицы, рассеянные назад, поэтому интересно на основе полученных вероятностей вычислить среднее время, в течение которого можно было бы наблюдать рассеяние хотя бы

одной -частицы на достаточно большие углы. Расчет ведется по формуле

t 1 , AWd

где интенсивность падающего на мишень пучка А = 103 с–1. Расчет демонстрирует совершенную безнадежность

рассеяния α-частицы на большие углы в мишени Томсона.

74

Проекция полного момента Jz на избранное направление (чаще всего берется проекция на направление линий напряженности внешнего магнитного поля) принимает дискретное значение:

где mj = ml + ms = ml ± 1/2.

Полный момент импульса электрона квантуется обычным образом:

J j( j 1),

где квантовое число j (его иногда называют внутренним квантовым числом) равняется максимальному значению mj. Поскольку l есть максимальное значение mj, то j = l ± 1/2. При заданном значении j возможно 2j + 1 квантовых состояний, отличающихся значением квантового числа mj (mj = ±j, ± (j – 1), ...). Например, в случае l = 0 возможно только одно значение j = 1/2. При l = 1 имеем j = 1/2, 3/2, для l = 2 имеем j = 3/2, 5/2. Значение в определенном состоянии характеризуется индексом у буквенного обозначения орбитального момента, записываемого так же, как и для отдельных электронов, но заглавными буквами: S, P, D, F, G, Н. Так, состояние с l = 1 и j = 3/2 обозначается как Р3/2 , состояние с l = 1 и j = 1/2 – как Р1/2.

Распространим теперь введённое ранее понятие полного момента импульса J одного электрона на случай множества электронов (как и обстоит дело в сложном атоме). Введем следующие обозначения: ML – суммарный орбитальный момент системы электронов в атоме; MS – суммарный спиновый момент системы электронов в атоме.

Как показывает квантово-механический расчет, суммарный орбитальный момент системы определяется выражением

где L – орбитальное квантовое число результирующего момента. В случае системы из двух частиц с орбитальными моментами l1 и l2 квантовое число L – целое и положительное, принимает следующие значения:

77

Отсюда следует, что L (а значит и результирующий момент) может иметь (2l1 + 1) или (2l2 + 1) различных значений (нужно взять меньшее из двух значений l). Это легко проверить. Например, для l1 = 2 , l2 = 3 получаем (2 · 2 + 1) = 5 разных значений

L = 5, 4, 3, 2, 1.

Если система состоит не из двух, а из многих частиц, то квантовое число L, определяющее результирующий орбитальный момент, находится путем последовательного применения правила

(67).

Проекция результирующего орбитального момента на некоторое направление Z определяется аналогичным образом:

Подобным образом определяется и суммарный спиновый момент системы:

где квантовое число S результирующего спинового момента может быть целым или полуцелым – в зависимости от числа частиц – четного или нечетного. Если число N частиц четное, то S = Ns, Ns – 1,

..., 0, где s = 1/2, т.е. в этом случае S – целые числа. Например, при N = 4 число S может быть равно 2, 1, 0.

Если же число N частиц нечетное, то S принимает все полуцелые значения от Ns до s, где s = 1/2. Например, при N = 5 возможные значения S равны 5/2, 3/2 и 1/2.

В многоэлектронном атоме каждый электрон можно характеризовать орбитальным и спиновым моментами. Возникает естественный вопрос: чему равен полный механический момент атома? Ответ на этот вопрос зависит от того, какие моменты взаимодействуют друг с другом сильнее: орбитальные, спиновые или спин-орбитальные.

Оказывается, наиболее важной и распространенной является так называемая нормальная связь, или связь Рессель – Саундерса. Эта связь заключается в том, что орбитальные моменты электронов взаимодействуют между собой сильнее, чем со спиновыми моментами. Аналогично ведут себя и спиновые моменты. Вследствие этого все орбитальные моменты складываются в результи-

78

рующий орбитальный момент ML, а спиновые – в результирующий спиновый момент MS. А затем взаимодействие ML и MS определяет суммарный момент MJ атома:

где квантовое число J полного момента принимает одно из следующих значений:

J = L + S, L + S – l, ..., |L – S|.

Значит, J будет целым, если S целое (т.е. при четном числе электронов), или полуцелым, если S полуцелое (при нечетном числе электронов). Так, например, возможные значения полного момента импульса атома для различных значений L и S приводятся в табл. 5.

Таблица 5

Возможные значения полного момента импульса

Такой вид связи, как правило, присущ легким и не слишком тяжелым атомам.

Однако нормальная связь является не единственно возможной. Это только один из крайних случаев связи. Другой крайний случай – так называемая j-j связь, когда спин-орбитальное взаимодействие у каждого электрона оказывается основным. В этом

случае суммарный момент атома MJ M j , т.е. равен сумме

j

отдельных спин-орбитальных моментов Mj.

Такая связь встречается у тяжелых атомов, но достаточно редко. В основном же осуществляются более сложные промежуточные виды связи.

79

В случае нормальной связи вводится понятие «терма» атома, который полностью характеризует энергетическое состояние всего атома в целом. Термы принято обозначать символами:

где = 2S + 1 – мультиплетность; J – квантовое число полного момента. Наблюдаемое отличие с обозначениями, введенными для электрона, заключается лишь в том, что малые буквы s и j заменены на соответствующие большие S и J.

Приведем примеры термов систем с двумя электронами. Здесь возможны два случая: S = 0 (спины электронов противоположны) и S = 1 (спины сонаправлены).

В первом случае J = L и 2S + 1 = 1, т.е. все термы – синглеты. Во втором случае 2S + 1 = 3, т.е. все три терма – триплеты. Сказанное сведено для наглядности в табл. 6 и 7.

Таблица 6

Термы двухэлектронных систем с направлениями спинов

Таблица 7

Термы двухэлектронных систем с направлениями спинов

Следует отметить, что мультиплетность дает количество подуровней только в случае S < L (в случае же S > L число подуровней равно 2L + 1). Следует также помнить, что не все термы,

80