2. Расчет прочности по нормальным сечениям элементов прямоугольного и таврового профиля

Предельное состояние изгибаемой конструкции по несущей способности характеризуется разрушением либо в нормальном к оси элемента сечении, либо в наклонном. Разрушение в нормальном сечении вызвано действием изгибающего момента, а по наклонному – действием поперечных сил и реже моментов (рис. 3.2).

В железобетонных нормально армированных конструкциях разрушение начинается с растянутой арматуры. По достижении в ней предела текучести резко уменьшается высота сжатой зоны бетона, что вызывает разрушение. Лишь в балках с очень большим количеством растянутой арматуры (переармированных) разрушение может начаться со сжатой зоны, при этом напряжения в арматуре могут быть ниже предела текучести, что экономически невыгодно. В соответствии с описанным характером разрушений различают два случая расчета:

1. расчет ведется в предположении, что первопричиной исчерпания прочности элемента будет достижение в растянутой арматуре расчетных сопротивлений;

2. расчет ведется в предположении, что прочность элемента исчерпывается вследствие разрушения сжатой зоны бетона. Напряжения в арматуре не достигают расчетного сопротивления.

Рисунок 3.2 – Усилия в изгибаемых элементах.

Элементы прямоугольного профиля с одиночной ар­матурой (без предварительного напряжения) имеют сле­дующие геометрические характеристики (рис. 3.3)

A_bc = bx; z_b = h₀-0,5x, 1

где h₀ и b —рабочая высота и ширина сечения.

A_bc – площадь сжатой зоны бетона; z_b – плечо внутренней пары сил.

Высоту сжатой зоны х определяют на основании ра­венства из выражения

bxR_b = R_sA_s. 2

Условие прочности, имеет вид

M<R_bbx(h₀—0,5x) 3

Удобно пользоваться также выражением моментов, взятых относительно оси, проходящей через центр тяжес­ти сжатой зоны:

M<.R_sA_s(h₀ — 0,5x). 4

Эти формулы применяют совместно. Они действительны при

x<ζ_Rh₀, где ζ_R – граничная относительная высота сжатой зоны бетона. Определяется эмперически.

Коэффициент армирования

μ=A_s/bh_a 5

Рисунок 3.3 - Прямоугольное се­чение с одиночной арматурой и схема усилий при расчете прочности элемента по нор­мальному сечению

Из анализа выражений следует, что несущая способность элемента может быть удов­летворена при различных сочетаниях размеров поперечного сечения элемента и ко­личества арматуры в нем. В реальных условиях стои­мость железобетонных элементов близка к оптимальной при значениях:

μ = 1 . . . 2 % ζ_y=0,3. . . 0,4 — для балок

μ =0,3. . .0,6% ζ_y=0,l. . .0,15 — для плит

Прочность сечения с заданными b, A_s (материалы и момент М предполагаются известными) проверяют в та­кой последовательности:

• находят высоту сжатой зоны х;

• проверяют ее по условию х≤ζ_yh₀;

• затем пользуются выражениями (3) или (4).

Сечение считается подобранным удачно, если его не­сущая способность, выраженная по моменту, превышает заданный расчетный момент не более чем на 3—5 %.

Сечения подбирают по заданному моменту по выражениям (3) и (4) или (2) при знаке равенства в них.

В практике для расчета прямоугольных сечений с одиночной ар­матурой пользуются вспомогательной таблицей. Формулы (3) и (4), преобразуя, приводят к виду

М = А₀bh₀² R_b ; (6)

A_s = M/ηh₀R_s, (7)

где

A₀ = (x/h₀)(1 -0,5x/h₀) = ζ (1 -0.5ζ); (8) η = z/h₀= 1—0,5x/h₀ = 1 —0,5ζ (9)

Из равенства (6) находят выражение для определения рабочей высоты сечения

(10)

По выражениям (8) и (9) для коэффициен­тов А_о и η составлена таблица. Пользование этой табли­цей значительно сокращает вычисления.

Размеры сечений b и h подбирают в следующем по­рядке:

• задаются шириной сечения b и рекомендуемым значением коэффициента ξ;

• согласно рекомендуемому проценту армирования из таблицы находят коэффициент А₀;

• по формуле (10) вычисляют рабочую высоту сечения h_0;

• находят полную высоту h=h₀ + а и по ней назначают унифициро­ванный размер.

Если данные размеры b и h не отвечают конструктивным или производственным условиям, их уточняют повторным расчетом.

Сечение арматуры A_s определяют в такой последова­тельности:

• вычисляют А₀ из выражения (6);

• для не­го по таблице находят η и ζ и по формуле (7) оп­ределяют A_s, проверяя при этом условие x<ζ_Rh₀.

Элементы прямоугольного профиля с двойной армату­рой. В практике могут встретиться случаи применения элементов с двойной арматурой (рис. 3.4), хотя арма­тура в сжатой зоне менее эффективна, чем в растянутой.

Ставится при выполнении условия: ζ>ζ_R

ζ_R =w/(1+σ_sr/σ_scu(1-w/1,1)) (10.1)

Требуется:

1. для усиления бетона сжатой зоны;

2. когда арматура есть в сжатой зоне, либо эпюра моментов двухзначная.

Если в изгибаемом элементе предусматривается про­дольная арматура в сжатой (при действии нагрузки) зо­не (с R_sc<400 МПа), учитываемая в расчете, то для пре­дотвращения выпучивания продольных стержней попе­речную арматуру ставят: в сварных каркасах на расстоя­ниях не более 20d, в вязаных каркасах не более 15d (d — наименьший диаметр сжатых продольных стерж­ней) и не более 500 мм.

Составим условие прочности изгибаемого элемен­та прямоугольного сечения, армированного двойной ар­матурой (при отсутствии Ар и А`р):

М < R_b bх (h₀ - 0,5х) + R_sc A'_s (h₀ – а`) , (11)

а подставив A_bc в сумму проекции сил на горизонтальную ось, получим уравнение для определения положения границы сжатой зоны

R_bxb = R_s A_s - R_sc A_sc. (12)

При этом имеется в виду соблюдение условия x<ζ_Rh₀

Рисунок 3.4 - Прямоугольное сечение с двойной арматурой и схема усилий при расчете прочности элемента по нормальному сечению

Если при одиночной арматуре оказывается, что x>ζ_Rh₀, то арматура в сжатой зоне требуется по расчету. В условиях применения бетонов класса В30 и ниже в сочетании с арматурой класса не выше A-III можно расчет производить по формуле

M=A_RR_bbh₀² + R_scA'_s(h₀-a`), (13)

где А_R=А_а — из таблицы для значения ζ=ζ_R, вычисленного по фор­муле (10.1).

Элементы таврового профиля. Тавровые сечения встречаются в практике весьма часто как в отдельных железобетонных элементах — балках (рис. 3.5 а, б), так и в составе конструкций — в монолитных ребристых и сборных панельных перекрытиях (рис. 3.5 в, г,). Тавровое сечение образуется из полки и ребра.

Рисунок 3.5 - Тавровые сечения

а — балка с полкой в сжатой зоне; б — то же, в растянутой зоне; в — тавровое сечение в составе монолитного перекрытия; г — то же, в составе сборного перекрытия; 1 — полка; 2 — сжатая зона; 3 — ребро.

В сравнении с прямоугольным (см. пунктир на рис. 3.5 а) тавровое сечение значительно выгоднее, ибо при одной и той же несущей способности (несущая способ­ность железобетонного элемента не зависит от площади сечения бетона растянутой зоны) расходуется бетона меньше вследствие сокращения размеров растянутой зо­ны. По той же причине более целесообразно тавровое се­чение с полкой в сжатой зоне (рис. 3.5 а), так как полка в растянутой зоне (рис. 3.5 6) не повышает несущей способности элемента.

Тавровое сечение, как правило, имеет одиночное ар­мирование.

При большой ширине полок участки свесов, более удаленные от ребра, напряжены меньше. Поэтому в рас­чет вводят эквивалентную ширину свесов полки b`<sub>f1</sub> (рис. 3.5 в, г). Она принимается равной: в каждую сторону от ребра — не более половины расстояния в свету между ребрами и не более 1/6 пролета рассчиты­ваемого элемента, а в элементах с полкой толщиной h<sub>f</sub><sup>`</sup> <0,1h без поперечных ребер или с ребрами при рас­стоянии между ними — более размера между продольны­ми ребрами, вводимая в расчете ширина каждого свеса b`<sub>f1</sub> не должна превышать 6h<sup>`</sup>_f. Для отдельных балок тав­рового профиля (при консольных свесах полок) вводи­мая в расчет ширина свеса b^`_f1 (рис. 3.5 а) должна составлять:

при h`<sub>f</sub>≥0,1h ....... не более 6 h`_f

при 0,05h< h`<sub>f</sub><0,1 h . » » 3h`_f

При h`_f <0,05h свесы полки в расчете не учитывают.

При расчете тавровых сечений различают два случая положения нижней границы сжатой зоны: в пределах полки (рис. 3.6 а) и ниже полки (рис. 3.6 6).

Нижняя граница сжатой зоны располагается в преде­лах полки, т. е. x≤.h_f<sup>`</sup> в сечениях с развитыми свесами. В этом случае тавровое сечение рассчитывают как пря­моугольное с размерами b`_f и h₀ (рис. 3.6 а), по­скольку площадь бетона в растянутой зоне на несущую способность не влияет.

Расчетные формулы (для элементов без предвари­тельного напряжения):

R_bb'_fx=R_sA_s (14) M<R_bb'_f(h₀-0,5_X) (15)

или

M<A₀R_bb'_fh₀², (16)

где А₀ — коэффициент из таблицы.

Нижняя граница сжатой зоны размещается ниже полки, т. е. x>h`_f, в сечениях со слаборазвитыми свесами. В этом случае сжатая зона сечения состоит из сжа­той зоны ребра и свесов полки.

Положение нижней границы сжатой зоны определя­ется из уравнения

R_sA_s=R_bbx+R_b (b`<sub>f</sub> –b) h`_f (17)

Рисунок 3.6 - Два расчетных случая тавровых сечений; граница сжатой зоны проходит. (а — в пределах полки; б — ниже полки)

Условие прочности при моментах, вычисляемых отно­сительно оси, нормальной к плоскости изгиба и проходя­щей через точку приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре, имеет вид

М < R_b bх (h₀-0,5х) + R_b(b'_f – b) h'_f (h₀ — 0,5h^`_f). (18)

Ориентировочно высота тавровой балки может быть определена по формуле (из опыта проектирования)

h = (7 ... 9) где h — см; М – кН*м. Ширину ребра обычно принимают равной

b= (0,4 ... 0,5) h.

Размеры полки b^{`</sup><sub>f</sub> и h<sup>`}_f чаще всего известны из компо­новки конструкции. Сечение арматуры A_s по расчетному моменту определяют в зависимости от расчетного случая. Если нейтральная ось проходит в пределах полки, то A_s находят из расчета сечения как прямоугольного с оди­ночной арматурой при размерах b`_f и h₀, используя таблицу.

Расчетный случай таврового сечения может быть оп­ределен по следующим признакам:

1) если известны все данные о сечении, включая A_s, то при

R_s A_s < R_b b'_f h'_f (19)

граница сжатой зоны проходит в полке; при обратном неравенстве она пересекает ребро;

2) если известны размеры сечения b'_f,h'_f, b, h и за­дан расчетный изгибающий момент, но A_s неизвестно, то

при

M<R_bb'_f h'_f (h₀ — 0,5h`_f) (20)

граница сжатой зоны проходит в полке; при обратном не­равенстве она пересекает ребро.

Для случая, когда граница сжатой зоны проходит ни­же полки, формулы (17) и (18) можно преобразо­вать с учетом соотношений x=ζh₀ и (8):

R_sA_s =ζR_bbh₀ + R_b (b'_f- b) h`<sub>f</sub> (21) M≤A<sub>0</sub> R<sub>b</sub>bh<sup>2</sup><sub>0</sub> + R<sub>b</sub>(b'<sub>f</sub> –b)h`_f(h₀ -0,5h`_f) (22)

где коэффициенты ζ, h₀ принимают по таблице

Эти формулы можно использовать для подбора сече­ния. Если требуется определить А_s то из (22) вычис­ляют

A₀=[М - R_b (b'_f - b) h`_f (h₀ -0,5h'_f)]/R_b bh₀² (23)

затем из таблицы находят ζ, соответствующее вычис­ленному A₀, и, согласно формуле (21),

A_s=[ζbh₀ + (b'_f -b)h`_f] R_b/R_s. (24)

Если необходимо проверить прочность сечения при всех известных данных, то расчетный случай лучше уста­новить по формуле (20) и затем (если граница сжа­той зоны ниже полки) по выражению (17) вычислить высоту сжатой зоны х, после чего воспользоваться фор­мулой (18).