ответы / 21, 22Растяжение (сжатие) стержней

Растяжение (сжатие) стержней

Пусть стержень нагружен произвольной продольной нагрузкой. Вырежем на некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис.40). На данный элемент действует внешняя нагрузка и внутренние продольные силы в сечениях, по которым вырезан элемент.

Рис. 40

Составим уравнение равновесия вырезанного элемента.

- N + q_zdz + N + dN = 0,

,

N’ + q_z = 0. (92)

Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух частей общего и частного решения и имеет вид

N(z) = C - . (93)

Определим физический смысл постоянной интегрирования. При z = 0:

N(0) = C.

Значение интеграла зависит от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения интеграла нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок.

а) сосредоточенная сила (рис.41):

Рис. 41

при z  a Ф_N(z) = 0

при z  a Ф_N(z) = -P

б) распределенная нагрузка (рис. 42):

Рис. 42

при z  c Ф_N(z) = 0

при z  c Ф_N(z) = -q(z-c)

Пример.

Для заданной схемы нагружения стержня (рис.43) построить эпюру продольной силы N(z) при следующих исходных данных: q=10 кН/м, l=1м.

Рис. 43

Решение.

1. Совместим начало системы координат с левым концом стержня и направим координатную ось z вдоль его продольной оси.

В соответствии со схемой нагружения разделим стержень на три участка и запишем уравнение продольных сил следующим образом:

N (z) = N (0) - 2q·z│₁+2q (z - l) │₂ + q (z - 2l) │_3.

В этом уравнении приняты следующие обозначения:

N(0) – значение продольной силы в начале координат (реакция опоры),

z – координата сечения, в котором определяется значение продольной силы.

Для решения задачи необходимо определить одну неизвестную величину – N(0). Для этого запишем граничное условие: N (3l) = 0.

Напомним, что граничные условия – это известные значения интегральных характеристик в какой-либо точке стержня.

Для определения неизвестной реакции N(0) необходимо приравнять уравнение продольных сил к нулю, подставив в нем вместо координаты «z» координату «3l»:

N (0)-2q (3l) + 2q (3l – l) + q (3l – 2l) = 0.

Решая это уравнение, найдем: N (0) = 10 кН.

2. Построение графика продольных сил.

При построении графиков уравнение рассматривается на каждом участке в отдельности и вместо координаты «z» подставляется соответствующая координата начала и конца рассматриваемого участка.

1 участок - 0 ≤ z ≤ l:

N (0) =10 кН,

N (l) = 10 – 2·10·1 = -10 кН.

2 участок - l ≤ z ≤ 2l:

N (l) = 10 – 2·10·1 + 2·10(l – l) = -10 кН,

N (2l) = 10 – 2·10·2 + 2·10(2 – 1) = -10 кН.

3 участок - 2l ≤ z ≤ 3l:

N (2l) = 10 – 2·10·2 + 2·10(2 – 1) + 10(2 – 2) = -10 кН,

N (3l) = 10 – 2·10·3 + 2·10(3 – 1) + 10(3 – 2) = 0 кН.

По рассчитанным значениям строится график продольной силы (рис. 43).