ответы / 23. 24 Кручение стержня. Математическая модель

Кручение стержней

Пусть стержень нагружен произвольной крутящей нагрузкой. Вырежем на некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис.44). На данный элемент действует внешняя нагрузка и внутренние крутящие моменты в сечениях, по которым вырезан элемент.

Рис.44

Составим уравнение равновесия вырезанного элемента.

- М_к + m_zdz + М_к + dМ_к = 0,

,

М_к’ + m_z = 0. (94)

Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух частей общего и частного решения и имеет вид

M_к(z) = C - . (95)

Определим физический смысл постоянной интегрирования. При z = 0

М_к(0)=C.

Значение интеграла зависит от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок.

а) сосредоточенный момент (рис.44):

a

z

Рис. 44

при z  a Ф_м(z) = 0

при z  a Ф_м(z) = -L

б) распределенная нагрузка (рис. 45):

m

с

z

Рис. 45

при z  c Ф_м(z) = 0

при z  c Ф_м(z) = -m(z - c)

Пример.

Для приведённой схемы нагружения прямого стержня (рис. 46) построить эпюру крутящего момента при следующих исходных данных: m_z = 10 кН/м, L = 10 кНм,

l = 1 м.

Решение.

В соответствии со схемой нагружения запишем уравнение крутящего момента в следующем виде:

M_k (z) = M_k (0) │₁ - L│₂ - m_z(z-2l) │₃ .

Исходя из условий закрепления стержня, запишем следующее граничное условие: M_k (0) = 0 (реакция незакреплённого конца стержня равна нулю).

Рис. 46

Таким образом, записанное уравнение не содержит неизвестных величин и можно приступать к построению графика. Построение графика будем производить аналогично построению графика в примере 1.

1 участок - 0 ≤ z ≤ l:

M_k (0) = 0 кНм,

M_k (l) = 0 кНм.

2 участок - l ≤ z ≤ 2l:

M_k (l) = 0 – 10 = -10 кНм,

M_k (2l) = 0 – 10 = -10 кНм.

3 участок - 2l ≤ z ≤ 3l:

M_k (2l) = 0 – 10 – 10(2 – 2) = - 10 кНм,

M_k (3l) = 0 – 10 – 10(3 – 2) = -20 кНм.

По рассчитанным значениям строится график крутящего момента (рис. 46).