ответы / 28 Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского
.docxКасательные напряжения при изгибе. Формула Журавского
Рассмотрим задачу об определении касательных напряжений при изгибе для узкого прямоугольника в качестве сечения.
При изгибе Qу 0 и Мх 0. В этом случае в сечении возникают три напряжения z, zx, zy. Тогда уравнения равновесия (54) и (55) из полной математической модели твердо деформированного тела примут следующий вид:
,
,
.
Из первых двух уравнений следует, что касательные напряжения являются функцией двух переменных (х, у). так как поверхность стержня свободна от напряжений, то по периметру сечения zx = 0 по закону парности касательных напряжений (рис. 37).
Рис. 37
Для узкого прямоугольника они не успевают вырасти, поэтому будем считать zx равными нулю по всей ширине сечения. Тогда третье уравнение равновесия примет вид:
.
(81)
По той же причине, что прямоугольник узкий, будем считать, что zy по ширине сечения при у = const распределено равномерно и является функцией только координаты у:
.
Пользуясь формулой нормальных напряжений в поперечном сечении (28), при изгибе получим:
=
,
=
,
Мх’ = Qy
.
Проинтегрировав полученное выражение, получим:
zy=-
.
(82)
Постоянную интегрирования можно
определить из условия равенства нулю
касательного напряжения zy
при у=
:
=0,
С = -
.
Подставив значение константы в выражение (82) получим:
zy
= -
=
.
(83)
На основе выражения в скобках можно сделать вывод, что касательные напряжения в сечении распределены по параболе.
Рис. 38
Преобразуем выражение в скобках:
=
.
На рисунке 38 координатой y
отсекается заштрихованная часть, которая
имеет площадь F*=
b
и координату центра тяжести относительно
оси х ус*=
.
Произведение площади фигуры на координату
ее центра тяжести относительно какой-либо
оси дает статический момент инерции
Sx*.
Таким образом, выражение (83) примет вид:
zy=
.
(84)
Эта формула носит название формулы Журавского и служит для определения касательных напряжений, возникающих в сечении при изгибе.