ответы / 17. Деформированное состояние. Тензор деформаций. Главные деформации

Деформированное состояние тела

Выделим в теле прямоугольный параллепипед. После нагружения он трансформируется в косоугольный, то есть появляются линейные и угловые деформации. Деформированное состояние характеризуется тензором деформаций. Этот тензор будет симметричным, так как _ху = _ух (угловые деформации одного и того же прямого угла).

Сравним основные квадратичные формы для нормального напряжения и линейной деформации:

_ = _xl² + _ym² +_zn² + 2_yxml + 2_zxnl + 2_zynm

Как видно, формулы полностью аналогичны. Коэффициенты при направляющих косинусах являются составляющими тензора деформаций:

(74)

Также существуют инварианты деформированного состояния, которые определяются аналогично инвариантам напряженного состояния:

₁ = _х + _у + _z,

₂ = _х_у + _у_z + _z_х - , (75)

₃ = Т_.

Для определения величины главных деформаций существует основное характеристическое уравнение деформированного состояния:

³ - ₁² + ₂ - ₃ = 0

Корни данного уравнения нумеруются в порядке убывания: ₁  ₂  ₃. Главные деформации - это линейные деформации в направлении, перпендикулярном главным площадкам деформации, а главными площадками деформации являются такие, в которых угловые деформации равны нулю. Главные площадки расположены по трем взаимно перпендикулярным осям, которые называются главными осями деформированного состояния.