ответы / 12 Главные площадки и главные напряжения

Нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке зависят от ее положения, то есть от направляющих косинусов l, m, n.

Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю и действуют только нормальные напряжения, называются главными. Нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями.

Предположим, что наклонная площадка с направляющими косинусами l, m, n является главной, то есть вектор нормали к наклонной площадке совпадает с вектором полного напряжения. Тогда нормальное напряжение на этой площадке равно полному напряжению, а касательное напряжение равно нулю (рис.22). Проекции полного напряжения на координатные оси равны:

P_x = l, P_у = m, P_z = n.

Рис.22

Используя выражения, полученные для наклонной площадки, - (31) и (32), имеем:

P_x = _xl + _yxm + _zxn = l,

P_у = _xyl + _ym + _zyn = m,

P_z = _xzl + _yzm + _zn = n.

В данных уравнениях четыре неизвестных (направляющие косинусы l, m, n и главное напряжение ), поэтому необходимо четвертое уравнение:

(_x - )l + _yxm + _zxn = 0

_xyl + (_y - )m + _zyn = 0 (35)

_xzl + _yzm + (_z - )n = 0

l² + m² + n² = 1

Система уравнений имеет ненулевое решение (нулевое не устраивает из-за четвертого уравнения системы), когда равен нулю главный определитель системы:

_x -  _yx _zx

_xy _y -  _zy = 0 (36)

_xz _yz _z - 

Раскроем определитель

(_x - )(_y - )(_z - ) + _yx_zy_xz + _xy_yz_zx - _xz(_y - )_zx - _xy_yx(_z - ) -

- _yz_zy(_x - ) = 0.

_x_y_z - _y_z - _x_z + ²_z - _x_у + ²_у + ²_х - ³ + 2_xy_yz_zx –

- _y_xz² + _xz² - _z_xу² + _xу² - _х_уz² + _уz² = 0.

Сгруппируем слагаемые по степеням главного напряжения

- ³ + ²(_x + _y + _z) - (_y_z + _x_z + _x_у - _xz² - _xу² - _уz²) +

+ (_x_y_z + 2_xy_yz_zx - _y_xz² - _z_xу² - _х_уz²₎ = 0.

Запишем это уравнение в более компактной форме

³ – I₁² + I₂ – I₃ = 0 (37)

где I₁ = _x + _y + _z,

I₂ = _y_z + _x_z + _x_у - _xz² - _xу² - _уz²,

I₃ = _x_y_z + 2_xy_yz_zx - _y_xz² - _z_xу² - _х_уz² .

Введенные обозначения называются инвариантами напряженного состояния. Так как главные напряжения в точке являются физической характеристикой, то они не зависят от выбора системы координат, а, следовательно, и значения инвариантов также не зависят от выбора системы координат.

Решая кубическое уравнение (37), получим три вещественных корня – три главных напряжения, которые нумеруются в порядке убывания: ₁  ₂  ₃. Подставляя величину главного напряжения в систему (35), можно определить положение главной площадки, т.е. определить ее направляющие косинусы. Три главных площадки в точке взаимно перпендикулярны.