чисел», стр. 80), — в то же время не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

После того как появилась интерпретация комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоскости, стало возможным применять к изучению комплексных чисел геометрические понятия, такие, например, как непрерывность и геометрическое преобразование. Связь комплексных чисел с векторами позволила сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи механики, особенно гидро- и аэродинамики, а также теории электричества, теории теплоты и т. д.

К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в большой и важный раздел современной математики — теорию функций комплексного переменного.

Довольно глубокое знакомство с комплексными числами и функциями комплексного переменного и предстоит читателю в этой главе.

§ 1. Поля и многочлены

Действительные числа можно складывать и умножать, при этом возможны и обратные операции — вычитание и деление. В суммах можно произвольным образом переставлять слагаемые, произвольным образом расставлять скобки. Так же можно поступать с сомножителями в произведениях. Все эти свойства, а также связь между сложением и умножением можно кратко выразить следующим образом.

Действительные числа обладают следующими 3 свойствами:

1.Образуют коммутативную группу (см. главу I, § 3) по сложению (единичный элемент этой группы обозначается через 0 и называется нулем).

2.Если отбросить 0, то оставшиеся числа образуют коммутативную группу по умножению.

3.Сложение и умножение связаны законом дистрибутивности: для любых чисел a, b, c

a(b + c) = ab + ac.

Наличие этих 3 свойств очень важно, так как они позволяют упрощать арифметические и алгебраические

52

выражения, решать многие уравнения и т. д. Действительные числа — не единственное множество, обладающее этими тремя свойствами. Для выделения всех таких множеств в математике введено специальное понятие.

О п р е д е л е н и е. Если на некотором множестве определены две бинарные операции (сложение и умножение), обладающие выписанными выше тремя свойствами, то такое множество называется полем.

194. Выяснить, являются ли полями следующиеподмножества действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения: а) все натуральные числа; б) все це-

лые числа; в) все рациональные числа; г) все числа вида

√

r1 + r2 2, где r1 и r2 — произвольные рациональные числа.

195.Доказать, что в любом поле a · 0 = 0 · a = 0 для любого элемента a.

196.Доказать, что в любом поле: 1) (−a) · b = a · (−b) =

=−(a · b), 2) (−a) · (−b) = ab для любых элементов a и b.

197.Пусть a, b — элементы произвольного поля и a · b =

=0. Доказать, что либо a = 0, либо b = 0.

П р и м е р 14. Пусть на множестве {0, 1, . . . , n − 1} кроме операции сложения по модулю n (см. пример 9, стр. 25), задано еще умножение по модулю n, при котором в качестве результата при умножении двух чисел берется остаток от деления их обычного произведения на n.

198.Построить таблицы умножения по модулю 2, 3 и 4.

199.Доказать, что остатки с операциями сложения и умножения по модулю n образуют поле тогда и только тогда, когда n — простое число.

О п р е д е л е н и е. Разностью элементов b и a в произвольном поле (обозначается b − a) называется элемент, являющийся решением уравнения x + a = b (или a + x = b). Частным от деления элемента b на a при a 6= 0 (обозначается b/a) называется элемент, являющийся решением уравнения ya = b (или ay = b).

Из результата задачи 24 и того, что в поле сложение

иумножение коммутативны, вытекает, что элементы b − a

иab (при a 6= 0) определяются в любом поле однозначно.

Так как поле является группой по сложению, а без нуля и по умножению, то равенство x + a = b равносильно

53

равенству x = b + (−a), а равенство ya = b при a 6= 0 равносильно равенству y = ba−1. Таким образом, b − a = b + (−a)

и b/a = ba−1.

Читатель легко может доказать, что операции сложения, вычитания, умножения и деления в любом поле обладают всеми основными свойствами этих операций в поле действительных чисел. В частности, в любом поле обе части любого равенства можно умножить или разделить на любой элемент, отличный от нуля; любой член можно перенести из одной части равенства в другую с противоположным знаком и т. д. Для примера рассмотрим одно из свойств, связывающих вычитание и умножение.

200. Доказать, что в любом поле (a − b)c = ac − bc для любых элементов a, b, c.

Если K — некоторое поле, то можно, так же как для поля действительных чисел, рассматривать многочлены с коэффициентами из поля K или, другими словами, многочлены над полем K.

О п р е д е л е н и е. Многочленом степени n (n — натуральное число) от одной переменной x над полем K

называется любое выражение вида

где a0, a1, . . . , an — элементы поля K, причем a0 6= 0. Если a — элемент поля K, то выражение a также считается

многочленом над полем K, причем если a 6= 0, то это многочлен нулевой степени, если же a = 0, то степень такого многочлена считается неопределенной.

Элементы a0, a1, . . . , an называются коэффициентами

многочлена (1.1), a0 — старшим коэффициентом.

Два многочлена от переменной x считаются равными в том и только в том случае, если все их соответствующие коэффициенты попарно равны.

Пусть

P (x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an.

Если в правую часть этого равенства вместо x подставить некоторый элемент a поля K и произвести указанные вычисления, понимая операции сложения и умножения как операции в поле K, то в результате получится некоторый элемент b поля K. В этом случае записывают P (a) = b.

54

Если P (a) = 0, где 0 — нулевой элемент поля K, то говорят, что a — корень уравнения P (x) = 0; в этом случае говорят также, что a — корень многочлена P (x).

Многочлены над произвольным полем K можно складывать, вычитать и умножать.

Суммой многочленов P (x) и Q(x) называется многочлен R(x), в котором коэффициент при xk (k = 0, 1, 2, . . . ) равен сумме (в поле K) коэффициентов при xk в многочленах P () и Q(x). Так же определяется разность двух многочленов. Очевидно, что степень суммы или разности двух многочленов не больше, чем максимальная из степеней данных многочленов.

Чтобы вычислить произведение многочленов P (x) и Q(x), нужно каждое слагаемое axk многочлена P (x) умножить на каждое слагаемое bxl многочлена Q(x) по правилу: axk · bxl = abxk+l где ab — произведение в поле K, а k + l — обычная сумма натуральных чисел. После этого все полученные выражения надо сложить, приводя подобные члены, т. е. собирая все слагаемые, содержащие одну и ту же степень r переменной x, и заменяя сумму

d1xr + d2xr + . . . + dsxr выражением (d1 + d2 + . . . + ds)xr. Если

P (x) = a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + . . . + an, Q(x) = b0xm + b1xm−1 + b2xm−2 + . . . + bm,

то

P (x) · Q(x) = a0b0xn+m + (a0b1 + a1b0)xn+m−1+

+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)xn+m−2 + . . . + anbm*).

Так как a0 6= 0 и b0 6= 0, то и a0b0 6= 0 (см. 197), поэтому степень многочлена P (x) · Q(x) равна n + m, т. е. степень

произведения двух многочленов (отличных от 0) равна сумме степеней данных многочленов.

Учитывая, что операции сложения и умножения элементов в поле K обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, нетрудно получить, что введенные нами операции сложения и умножения

*) Коэффициент при xn+m−k в произведении P (x) · Q(x) равен a0bk + a1bk−1+. . . +ak−1b1 + akb0, причем здесь надо положить ai = 0 при i > n и bj = 0 при j > m.

55

многочленов над полем K также обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Если

P (x) + Q(x) = R1(x), P (x) − Q(x) = R2(x), P (x) · Q(x) = R3(x)

и a — произвольный элемент поля K, то легко получить, что

P (a) + Q(a) = R1(a), P (a) − Q(a) = R2(a), P (a) · Q(a) = R3(a).

Многочлены над произвольным полем K можно делить друг на друга с остатком. Разделить многочлен P (x) на многочлен Q(x) с остатком — это значит найти многочлены S(x) (частное) и R() (остаток) такие, что

P (x) = S(x) · Q(x) + R(x),

причем степень многочлена R(x) должна быть меньше, чем степень многочлена Q(x), либо должно быть R(x) = 0.

Пусть P (x) и Q(x) — произвольные многочлены над полем K и Q(x) 6= 0. Покажем, что можно поделить многочлен P (x) на многочлен Q(x) с остатком.

Пусть

P (x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an, Q(x) = b0xm + b1xm−1 + . . . + bm.

Если n < m, то положим S(x) = 0 и R(x) = P (x) и получаем требуемые частное и остаток. Если n > m, то рассмотрим многочлен

Многочлен R1(x) не содержит члена с xn, поэтому его степень не более чем n − 1 или R1(x) = 0. Если

R1(x) = c0xk + c1xk−1 + . . . + ck

и k > m, то рассмотрим многочлен

R1(x) − c0 xk−mQ(x) = R2(x) b0

и т. д. Так как степень получающегося многочлена строго меньше, чем степень предыдущего многочлена, то этот процесс должен окончиться, т. е. на некотором шаге получим

Rs−1(x) − d0 xl−mQ(x) = Rs(x), b0

56