жение называется внутренним автоморфизмом группы G, порожденным элементом g.

94.Докажите, что внутренний автоморфизм группы является изоморфизмом группы на себя.

95.Во что переходит отражение треугольника относительно его высоты при всевозможных внутренних автоморфизмах группы симметрий треугольника?

96.Во что переходит вращение треугольника на 120◦ при всевозможных внутренних автоморфизмах группы симметрий треугольника?

97.Какие 2 элемента группы симметрий тетраэдра можно перевести друг в друга внутренним автоморфизмом,

акакие нельзя? Тот же вопрос для группы вращений тетраэдра.

98.Докажите, что порядки элементов ab и ba в любой группе равны.

Заметим, что при всяком внутреннем автоморфизме группы (как и при любом изоморфизме) каждая ее подгруппа переходит в подгруппу, вообще говоря, другую (например, отражения относительно одной высоты треугольника переходят в отражения относительно другой высоты). Однако некоторые «особенно симметричные» подгруппы остаются на месте при всех внутренних автоморфизмах (например, подгруппа вращений треугольника в группе симметрий треугольника). Такие подгруппы мы сейчас и рассмотрим.

§ 10. Нормальные подгруппы

О п р е д е л е н и е. Подгруппа некоторой группы называется нормальной подгруппой, если она переходит в себя при всех внутренних автоморфизмах группы. Иными словами, подгруппа N группы G называется нормальной подгруппой в G, если для любого элемента a из N и любого элемента g из G элемент gag−1 содержится в N.

Таким образом, подгруппа вращений является нормальной подгруппой в группе симметрий треугольника, а подгруппа отражений относительно высоты, опущенной из вершины A на сторону BC (состоящая из двух элементов), нормальной подгруппой группы симметрий треугольника не является.

34

99.Докажите, что в коммутативной группе всякая подгруппа является нормальной подгруппой.

100.Является ли нормальной подгруппой группы симметрий квадрата подгруппа центральных симметрий, состоящая из элементов {e, a} (примеры 3, 4, стр. 17–18)?

Те о р е м а 2. Подгруппа N группы G является нормальной подгруппой тогда и только тогда, когда левое

иправое разложения (см. § 8) группы G по подгруппе N совпадают *).

101.Доказать сформулированную теорему.

102.Пусть n — порядок группы G, m — порядок подгруппы H и m = n/2. Доказать, что H является нормальной подгруппой группы G.

103.Доказать, что пересечение (см. сноску на стр. 28) любого числа нормальных подгрупп некоторой группы G является нормальной подгруппой группы G.

104.Множество элементов группы G, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром группы G. Доказать, что центр — подгруппа и, более того, нормальная подгруппа группы G.

105.Пусть N1 и N2 — нормальные подгруппы соответственно в группах G1 и G2. Доказать, что N1 × N2 — нормальная подгруппа в группе G1 × G2.

Следующий пример показывает, что нормальная подгруппа нормальной подгруппы группы G может не быть нормальной подгруппой самой группы G.

П р и м е р 11. Рассмотрим подгруппу группы симметрий квадрата, состоящую из отражений относительно диагоналей и центра (см. примеры 3, 4, стр. 17–18, подгруппа {e, a, d, f}). Эта подгруппа содержит половину элементов группы симметрий квадрата и является поэтому

нормальной подгруппой в ней (см. 102). Подгруппа {e, d}, состоящая из отражений относительно одной из диагоналей, содержит половину элементов подгруппы {e, a, d, f} и является, следовательно, нормальной подгруппой в ней. С другой стороны, подгруппа {e, d} не является нормальной подгруппой всей группы симметрий квадрата, так как при внутренних автоморфизмах d переходит в отражение

*) В этом случае получающееся разложение будет называться просто разложением по нормальной подгруппе.

35

относительно другой диагонали: bdb−1 = f.

§ 11. Факторгруппы

Начнем с примера. Рассмотрим разложение группы симметрий квадрата по нормальной подгруппе, состоящей из центральных симметрий e и a (см. примеры 3, 4, стр. 17–18). Легко получить, что разложение нашей группы на 4 смежных класса имеет вид, указанный в табл. 2.

Та б л и ц а 2 Обозначим каждый смежный класс ка- кой-нибудь буквой, например, E, A, B, C.

результат оказывается в одном и том же классе C независимо от того, какие именно элементы классов A и B взяты. Из решения следующей задачи вытекает, что это не случайно.

106. Пусть есть разложение группы G по нормальной подгруппе N, и пусть элементы x1 и x2 лежат в одном смежном классе и элементы y1 и y2 также лежат в одном смежном классе. Доказать, что элементы x1y1 и x2y2 лежат в одном смежном классе.

Таким образом, взяв по представителю из двух смежных классов и перемножив их в определенном порядке, мы попадем в смежный класс, который не будет зависеть от того, каких именно представителей мы выбрали. Следовательно, при разложении группы по нормальной подгруппе N на множестве смежных классов можно определить бинарную операцию следующим образом: если A = xN, B = yN, то положим A · B = (xy)N. Результат задачи 105 показывает, что эта операция определена однозначно и не зависит от выбора элементов x и y, порождающих смежные классы A

иB. Так, в рассмотренном выше примере A · B = C.

Взадачах 107–109 речь идет о разложениях по нормальной подгруппе.

107. Пусть T1, T2, T3 — смежные классы. Доказать, что

(T1T2)T3 = T1(T2T3).

108.Пусть нормальная подгруппа обозначена буквой E. Доказать, что ET = T E = T для любого смежного класса .

109.Доказать, что для любого смежного класса T найдется класс T −1 такой, что T T −1 = T −1T = E.

36

Из утверждений задач 107–109 следует, что множество смежных классов с описанной выше бинарной операцией образует группу. Эта группа называется факторгруппой группы G по нормальной подгруппе N и обозначается G/N.

Очевидно, что G/{e} G и G/G {}. Очевидно так-

= =

же, что порядок факторгруппы равен натуральному числу n/m, где n — порядок группы G, а m — порядок нормальной подгруппы N. Например, факторгруппа группы симметрий квадрата по подгруппе центральных симметрий содержит 4 элемента.

110.Выяснить, будет ли факторгруппа группы симметрий квадрата по подгруппе центральных симметрий изоморфна группе вращений квадрата или группе симметрий ромба.

111.Найти все нормальные подгруппы и факторгруппы *) по ним в следующих группах: а) группа симметрий

треугольника, б) Z2 × Z2, в) группа симметрий квадрата, г) группа кватернионов (стр. 125).

112.Описать все нормальные подгруппы и факторгруппы по ним для групп: а) Zn, б) Z.

113.Найти все нормальные подгруппы и факторгруппы по ним в группе вращений тетраэдра.

114.В прямом произведении групп G1 × G2 рассмотрим подгруппу G1 × {e2}. Доказать, что это нормальная подгруппа и что факторгруппа по ней изоморфна группе G2.

§12. Коммутант

Напомним, что два элемента a и b группы G называются

перестановочными (или коммутирующими), если ab = ba. Степень некоммутативности двух элементов группы можно измерять с помощью произведения aba−1b−1, которое равно единице тогда и только тогда, когда a и b перестановочны (докажите).

О п р е д е л е н и е. Элемент aba−1b−1 называют коммутатором элементов a и b. Коммутантом K(G) группы G

называется множество всевозможных произведений конечного числа коммутаторов группы G.

*) В дальнейшем найти факторгруппу означает указать какуюлибо группу, рассмотренную ранее, которой искомая факторгруппа изоморфна.

37

115.Доказать, что коммутант является подгруппой.

116.Доказать, что коммутант является нормальной подгруппой группы.

117.Доказать, что коммутант совпадает с единичной подгруппой {e} тогда и только тогда, когда группа коммутативна.

118.Найти коммутант в группах: а) симметрий треугольника, б) симметрий квадрата, в) в группе кватернионов (стр. 125).

119.Доказать, что коммутант в группе симметрий правильного n-угольника изоморфен группе Zn при n нечетном

игруппе Zn/2 при n четном.

120.Найти коммутант в группе вращений тетраэдра.

121.Доказать, что если нормальная подгруппа в группе вращений или в группе симметрий тетраэдра содержит хотя бы одно вращение вокруг оси, проходящей через вершину, то она содержит всю группу вращений тетраэдра.

122.Найти коммутант в группе симметрий тетраэдра. Рассмотрим еще 2 группы: группу вращений куба и груп-

пу вращений правильного октаэдра (рис. 7).

Рис. 7

123.Сколько элементов в каждой из этих групп? Перечислить элементы группы вращений куба.

124.Доказать, что группы вращений куба и октаэдра изоморфны.

125.Сколькими различными способами можно закрасить грани куба 6 цветами (каждую грань своим цветом), если различными считаются раскраски, которые нельзя совместить друг с другом вращением куба? Тот же вопрос для спичечного коробка.

126.Каким из известных вам групп изоморфна группа

38