морфные циклическим группам: а) Z2, б) Z3.

§ 7. Прямое произведение

Из двух групп можно образовать новую группу.

Оп р е д е л е н и е. Прямым произведением двух групп G

иH (обозначается G × H) называется множество всевозможных упорядоченных пар (g, h), где g — произвольный элемент из G и h — произвольный элемент из H, со следу-

ющей бинарной операцией: (g1, h1) · (g2, h2) = (g1g2, h1h2), где произведение g1g2 берется в группе G, а h1h2 в H.

69.Доказать, что G × H — группа.

70.Пусть в группе G n элементов, а в группе H k элементов. Сколько элементов в группе G × ?

71.Доказать, что группы G × H и H × G изоморфны.

72.Найти подгруппы в G × H, изоморфные группам G

иH.

73.Пусть группы G и H коммутативные. Доказать, что группа G × H также коммутативная.

74.Пусть G1 — подгруппа группы G и 1 — подгруппа группы H. Доказать, что G1 × H1 — подгруппа в G × H.

75.Пусть G и H — произвольные группы. Верно ли, что любую подгруппу в группе G × H можно представить в ви-

де G1 × H1, где G1 — подгруппа группы G, а H1 — подгруппа группы H?

76.Доказать, что группа симметрий ромба изоморфна

когда числа m и n взаимно просты.

§8. Смежные классы. Теорема Лагранжа

Скаждой подгруппой H группы G связано следующее разбиение элементов группы G на подмножества. Для любого элемента x из G рассмотрим множество всех элементов вида xh, где h пробегает всевозможные значения из подгруппы H. Полученное множество, обозначаемое xH, называется левым смежным классом по , порожденным элементом x.

79. Найти все левые смежные классы группы симметрий треугольника по подгруппе: а) вращений треугольника,

30

б) отражений относительно одной оси {e, c} (см. примеры 1

и2, стр. 15–17).

80.Доказать, что каждый элемент группы входит в некоторый левый смежный класс по подгруппе H.

81.Пусть элемент y входит в левый смежный класс по H, порожденный элементом x. Доказать, что левые смежные классы по H, порожденные элементами x и y, совпадают.

82.Пусть левые смежные классы по H, порожденные элементами x и y, содержат общий элемент. Доказать, что эти смежные классы совпадают.

Таким образом, левые смежные классы, порожденные любыми двумя элементами, либо не пересекаются, либо совпадают, и мы получаем разбиение всех элементов группы G на непересекающиеся классы. Это разбиение называют левым разложением группы G по подгруппе H.

Число элементов в подгруппе называют порядком под-

группы. Пусть m — порядок подгруппы H. Если h1 6= h2, то xh1 6= xh2, поэтому каждый левый смежный класс содержит также m элементов. Следовательно, если m — порядок группы G и r — число левых смежных классов в разложении G по , то m · r = n, и нами доказана

Те о р е м а 1 (теорема Лагранжа*)). Порядок подгруппы является делителем порядка группы.

83.Доказать, что порядок любого элемента (см. стр. 24) является делителем порядка группы.

84.Доказать, что всякая группа простого порядка — циклическая и любой элемент в ней, отличный от e, является образующим.

85.Группа G содержит 31 элемент. Сколько подгрупп может содержать группа G?

86.Доказать, что все группы простого порядка p изоморфны друг другу.

87.Пусть n делится на m. Построить группу порядка n, содержащую подгруппу, изоморфную данной группе G порядка m.

88.Пусть n делится на m. Может ли в группе порядка n

*) Лагранж Жозеф Луи (1736–1813) — французский математик и механик.

31

не быть подгруппы порядка m?

Можно построить также правые смежные классы Hx и правое разложение группы G по подгруппе . Если порядок подгруппы H равен m, то все правые смежные классы также содержат m элементов и число их равно натуральному числу n/m, где n — порядок группы. Таким образом, число правых смежных классов совпадает с числом левых смежных классов.

З а м е ч а н и е. Для практического построения разложений конечной группы не надо строить смежные классы для каждого элемента, так как при этом будут получаться одинаковые классы, а надо брать элементы, еще не вошедшие в построенные уже смежные классы. Так как eH = He = = H, то сама подгруппа всегда образует как правый, так и левый смежный класс.

89.Построить левое и правое разложение группы симметрий треугольника по подгруппе: а) вращений {e, a, b}, б) отражений относительно одной оси {e, c}.

90.Построить левое и правое разложение группы симметрий квадрата по подгруппе: а) отражений относительно центра {e, a}, б) отражений относительно диагонали {e, d}.

91.Построить разложение группы всех целых чисел по сложению по подгруппе чисел, делящихся на 3 *).

92.Найти все (с точностью до изоморфизма) группы порядка: а) 4, б) 6, в) 8.

§9. Внутренние автоморфизмы

Начнем с примера. Рассмотрим группу симметрий правильного треугольника. Если мы обозначим вершины треугольника буквами A, B, C, то каждый

*) Мы не указываем здесь, какое разложение требуется построить — левое или правое, так как в коммутативной группе оба разложения, очевидно, совпадают.

32

мента группы симметрий треугольника, достаточно выполнить одну за другой соответствующие подстановки. Таким образом, мы получаем изоморфизм группы симметрий треугольника и группы подстановок трех букв A, B, C. Заметим теперь, что этот изоморфизм определен неоднозначно: он зависит от того, какую именно вершину треугольника мы обозначили через A, какую через B и какую через C. Переобозначение вершин само может рассматриваться как подстановка трех букв A, B, C.

При новом обозначении вершин каждый элемент группы симметрий треугольника получит новое обозначение в виде подстановки букв A, B, C. Например, отражение треугольника относительно вертикальной высоты (рис. 6) обозначается следующим образом:

A B C

старое обозначение

A C B

A B C

новое обозначение

C B A

93. Рассмотрим элемент группы симметрий треугольника, которому при некотором обозначении вершин соответствовала подстановка h. Какая подстановка будет соответствовать этому же элементу группы симметрий треугольника при переобозначении вершин g?

Заметим теперь, что «переобозначение» g превращает элемент h некоторой группы преобразований в ghg−1 не только в рассмотренном примере группы симметрий треугольника, но и в самом общем случае. Таким образом, исследование переобозначений приводит к следующему определению.

О п р е д е л е н и е. Пусть G — группа, g — ее элемент. Определим отображение fg группы G в себя формулой fg (h) = ghg−1 (где h — любой элемент группы). Это отобра-

33