Гл а в а I

Группы

Исследование алгебраических уравнений в начале XIX века привело математиков к необходимости выделения особого математического понятия — понятия группы. Новое понятие оказалось настолько плодотворным, что не только проникло почти во все разделы современной математики, но и стало играть важную роль в некоторых разделах других наук, например в квантовой механике и в кристаллографии. Исследования, связанные с понятием группы, выросли в отдельную ветвь современной математики — теорию групп. Что же представляет собой понятие группы в математике? Чтобы ответить на этот вопрос, начнем с рассмотрения некоторых примеров.

§ 1. Примеры

Уже в арифметике мы сталкиваемся с операциями, которые двум данным числам ставят в соответствие третье число. Так операция сложения паре чисел (3, 5) ставит в соответствие число 8, а паре (2, 2) число 4. Операция вычитания, если ее рассматривать на множестве всех целых чисел, также ставит в соответствие каждой паре целых чисел определенное целое число. При этом здесь надо указать не только пару чисел, но и порядок этих чисел. Так, паре (5, 3) вычитание ставит в соответствие число 2, а паре (3, 5) число −2. Таким образом, пары (5, 3) и (3, 5) должны рассматриваться как различные.

Пары, в которых задан порядок элементов, мы будем называть упорядоченными парами.

О п р е д е л е н и е. Пусть M — некоторое множество элементов произвольной природы. Если каждой упорядочен-

14

ной паре элементов из M поставлен в соответствие определенный элемент также из M, то говорят, что на M задана

бинарная операция.

Бинарными операциями являются, например, сложение на множестве натуральных или на множестве целых чисел, вычитание на множестве целых чисел. Вычитание на множестве натуральных чисел бинарной операцией не является, так как, например, упорядоченной паре (3, 5) вычитание не ставит в соответствие никакого натурального числа.

1.На множестве: 1) всех четных натуральных чисел,

2)всех нечетных натуральных чисел, 3) всех отрицательных целых чисел рассмотрите операции: а) сложения, б) вычитания, в) умножения. В каких случаях получится бинарная операция? *)

Рассмотрим еще несколько примеров бинарных операций. К этим примерам мы будем часто обращаться в дальнейшем.

П р и м е р 1. Пусть A, B и C — вершины равностороннего треугольника ABC (рис. 1). Повернем треугольник вокруг его центра O на 120◦ в направ-

круг точки O является преобразованием, переводящим данный треугольник

в себя. Обозначим это преобразование через a. Его можно

A B C

B C A

речислены все вершины треугольника, а нижняя строчка показывает, куда каждая из них переходит. Поворот на 240◦ в том же направлении вокруг точки O также является

*) Часть предлагаемых в дальнейшем задач носит практический характер и служит для лучшего уяснения на примерах новых понятий. Другие задачи являются теоретическими, и результаты их используются в дальнейшем. Поэтому если читателю не удается решить какую-либо задачу, то ему необходимо ознакомиться с ее решением по «Указаниям, решениям и ответам».

15

преобразованием, переводящим треугольник в себя. Обо-

A B C

C A B . Имеется еще одно вращение, переводящее треугольник в себя, отличное от a и b, — это поворот на 0◦. Обозначим это

что существует только 3 различных вращения плоскости *), переводящих равносторонний треугольник ABC в себя, а именно e, a и b.

Пусть g1 и g2 — произвольные преобразования треугольника. Тогда под g1 · g2 (или просто g1g2) мы будем пони-

пересечении строки, соответствующей преобразованию g1, и столбца, соответствующего преобразованию g2, мы будем ставить преобразование, равное g1 · g2. Так, например, в выделенную клетку табл. 1 мы должны поставить преобразование a · b, которое получится, если сначала повернуть треугольник на 240◦, а затем еще на 120◦. Следовательно, a · b — поворот на 360◦, т. е. совпадает с e. Тот же результат мы получим, если будем рассуждать следующим образом: преобразование b переводит вершину A в C, а преобразование a переводит затем вершину C в A. Таким образом, преобразование a · b переведет вершину A в A. Точно так же можно получить, что вершина B переходит в B, а C

A B C

переходит в C. Отсюда ab = A B C , т. е. ab = e.

2. Заполнить полностью таблицу 1.

Любое преобразование некоторой фигуры в себя, сохра-

*) Имеются в виду вращения плоскости без выхода в пространство, т. е. вращения только вокруг некоторых осей, перпендикулярных к плоскости.

16

няющее расстояния между всеми ее точками, называется симметрией данной фигуры. Так, рассмотренные в примере 1 вращения равностороннего треугольника являются его симметриями.

П р и м е р 2. Кроме вращений, у равностороннего треугольника имеется еще 3 симметрии, а именно, отражения относительно осей l1, l2 и l3 (рис. 2). Эти преобразования

нимать композицию двух преобразований. Рассмотрим, например, композицию преобразований c · d. Можно считать, что при выполнении преобразования d

рассматриваемом примере после выпол-

нения преобразования d преобразование c должно выполняться как отражение относительно старой оси l1. Именно так мы и будем рассматривать в дальнейшем композицию преобразований. При таком подходе оказываются справедливыми рассуждения о вершинах фигуры, аналогичные рассуждениям, приведенным непосредственно перед задачей 2. Такие рассуждения удобно использовать для вычисления композиций преобразований.

3.Составить таблицу умножения для всех симметрий правильного треугольника.

П р и м е р 3. Пусть e, a, b и c обозначают соответственно вращения квадрата на 0◦, на 180◦, на 90◦ и на 270◦ в направлении, указанном стрелкой (рис. 3).

4.Составить таблицу умножения для вращений квад-

рата.

17