переход от целых чисел к рациональным.
§ 3. Единственность поля комплексных чисел
Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о том, почему именно так, а не иначе определялись комплексные числа. Ответ на этот вопрос таков: мы хотели, чтобы получилось поле, являющееся расширением поля действительных чисел. А нельзя ли построить другое поле, также являющееся расширением поля действительных чисел? На этот вопрос мы и ответим в этом параграфе.
О п р е д е л е н и е. Изоморфным отображением (или просто изоморфизмом) одного поля на другое называется взаимно однозначное отображение f, которое является изоморфизмом одновременно и относительно сложения и относительно умножения, т. е. f(a + b) = f(a) + f(b) и f(ab) = f(a)f(b). Поля, между которыми можно установить изоморфизм, называются изоморфными.
Если изучаются только сами операции сложения и умножения в поле, то у изоморфных полей все свойства оказываются одинаковыми. Поэтому, так же как в случае групп, изоморфные поля можно не различать.
Как мы видели в предыдущем параграфе, в поле комплексных чисел есть элемент i такой, что i2 = −1. Следующая задача показывает, что добавление такого элемента к полю действительных чисел с необходимостью приводит к полю комплексных чисел.
213. Пусть M — некоторое поле, содержащее в себе поле действительных чисел и некоторый элемент i0, такой, что i20 = −1. Доказать, что M содержит некоторое поле M0, изоморфное полю комплексных чисел.
Будем говорить, что некоторое поле является минимальным полем с данными свойствами, если оно обладает этими свойствами и не содержит в себе других полей с теми же свойствами.
В этом случае результат задачи 213 можно сформулировать так: минимальным полем, содержащим поле действительных чисел и элемент i0 такой, что i20 = −1, является поле комплексных чисел. Этот результат доказывает в некотором смысле единственность поля комплексных чисел. Однако имеет место существенно более сильный результат. А именно, откажемся от требования, чтобы поле M
62
содержало элемент i0 такой, что i20 = −1, и поставим задачу найти все поля, являющиеся минимальными расширениями поля действительных чисел. Оказывается, что таких расширений всего два (с точностью до изоморфизма), одно из них — поле комплексных чисел. Покажем это.
Пусть поле M содержит поле действительных чисел, т. е. M содержит все действительные числа и операции над ними в поле M совпадают с обычными операциями над действительными числами. Пусть, кроме того, поле M содержит элемент j, отличный от всех действительных чисел. Тогда для любых действительных чисел a1, a2, . . .
. . . , an в M содержится элемент, равный
jn + a1jn−1 + a2jn−2 + . . . + an. |
(3.1) |
Будем называть n степенью выражения (3.1). Может быть 2 случая:
а) некоторое выражение вида (3.1) при n > 1 задает элемент, равный 0;
б) никакое выражение вида (3.1) при n > 1 не равно 0. Предположим сначала, что имеет место случай а).
О п р е д е л е н и е. Многочлен с коэффициентами из некоторого поля K называется приводимым над полем K, если он может быть представлен как произведение двух многочленов меньшей степени с коэффициентами из K. В противном случае он называется неприводимым над полем K*).
Например, многочлены x3 − 1 и x2 − x3− 1 приводимы |
||||||
над полем действительных чисел, так как x − 1 = (x − 1) × |
||||||
× (x2 + x + 1) и x2 − x − 1 = x − |
√ |
|
x − |
√ |
|
, а |
1 + |
5 |
1 −2 |
5 |
|||
2 |
|
|||||
многочлены x2 + 1 и x2 + x + 1 неприводимы над полем действительных чисел. Очевидно, что многочлены первой степени над любым полем являются неприводимыми.
214. Выберем среди выражений вида (3.1), равных 0, выражение наименьшей степени n (n > 1). Пусть это будет выражение
jn + a1jn−1 + a2jn−2 + . . . + an = 0.
*) Многочлены, неприводимые над полем K, являются аналогом простых чисел в множестве натуральных чисел.
63
Доказать, что многочлен
xn + a1xn−1 + a2xn−2 + . . . + an
неприводим над полем действительных чисел.
В дальнейшем мы покажем (см. 272), что любой многочлен с действительными коэффициентами степени выше второй приводим над полем действительных чисел. Поэтому n в задаче 214 должно быть не больше 2. А так как n 6= 1 (иначе мы получили бы, что j + a = 0 и j равно действительному числу −a), то n = 2.
Таким образом, в случае а) (см. стр. 63) для некоторых действительных чисел p и q в поле M должно выполняться
равенство
j2 + pj + q = 0
причем многочлен x2 + px + q должен быть неприводим над полем действительных чисел.
215.Доказать, что в случае а) (стр. 63) поле M содержит
элемент i0 такой, что i20 = −1.
Из результатов задач 215 и 213 вытекает, что в случае а) поле M содержит поле M0, изоморфное полю комплексных чисел. Следовательно, если поле M — минимальное расширение поля действительных чисел, то поле M должно совпадать с M0. Таким образом, в случае а) любое минимальное поле, являющееся расширением поля действительных чисел, совпадает (т. е. изоморфно) с полем комплексных чисел. Итак, в случае а) имеется единственное (с точностью до изоморфизма) поле, являющееся минимальным расширением поля действительных чисел, а именно, поле комплексных чисел.
216.Найти все поля, являющиеся минимальными расширениями поля действительных чисел в случае б) (см. стр. 63).
§4. Геометрические представления комплексных чисел
Введем на плоскости прямоугольную систему координат XOY и поставим в соответствие каждому комплексному числу a + bi точку плоскости с координатами (a, b). Получим взаимно однозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Это
64
дает нам первое геометрическое представление комплексных чисел.
217.Какие комплексные числа соответствуют точкам, указанным на рис. 13?
218.Пусть комплексные числа изображаются точками плоскости. Каков геометрический смысл преобразования f,
если для любого комплексного числа z: а) f(z) = −z, б) f(z) = 2z, в) f(z) = z (z — сопряженное z).
Пусть A(xA, yA) и B(xB, yB) — две точки плоскости (рис. 14). Отрезок AB с указанным на нем направлением
от A к B называют вектором |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
AB |
|
|
|
|
|
||||||||
→. Координаты вектора → |
|||||||||||||
по определению вычисляются следующим образом: |
|||||||||||||
→ |
= x |
|
− |
x |
|
|
→ |
= y |
|
− |
y |
|
. |
x |
B |
|
A |
, y |
B |
|
A |
||||||
AB |
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
||||
Два вектора считаются равными, если они параллельны, одинаково направлены и равны по длине.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 13 |
Рис. 14 |
219.Доказать, что два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.
Множество равных векторов рассматривают обычно как один и тот же вектор, характеризуемый лишь своими координатами, — так называемый свободный вектор. Поставив
всоответствие каждому комплексному числу a + bi свободный вектор с координатами (a, b), мы получим второе геометрическое представление комплексных чисел.
220.Пусть комплексным числам z1, z2 и z3 соответствуют свободные векторы u, v и w. Доказать, что z1 + z2 = z3 тогда и только тогда, когда u + v = w, где сумма векторов вычисляется по правилу параллелограмма.
221.Доказать следующую взаимосвязь между двумя геометрическими представлениями комплексных чисел:
65