П р и м е р 4. Пусть d, f, g и h обозначают отражения квадрата относительно осей, указанных на рис. 4.

5.Составить таблицу умножения для всех симметрий квадрата.

П р и м е р 5. Пусть ABCD — ромб, не являющийся квадратом.

6.Найти все симметрии данного ромба и составить для них таблицу умножения.

П р и м е р 6. Пусть ABCD — прямоугольник, не являющийся квадратом.

7.Найти все симметрии данного прямоугольника и составить для них таблицу умножения.

§2. Группы преобразований

Пусть X и Y — два множества элементов произвольной природы, и пусть каждому элементу x из X поставлен в соответствие однозначно определенный элемент y из Y . Тогда говорят, что задано некоторое отображение f множества X в множество Y (f : X → Y ). Элемент y называют образом элемента x, а x — прообразом элемента y, и записывают f(x) = y.

О п р е д е л е н и е. Отображение f : X → Y называют отображением множества X на множество Y , если для каждого элемента y из Y существует элемент x из X такой, что f(x) = y, т. е. у каждого y из Y есть прообраз в X.

8. Пусть отображение f ставит в соответствие каждому городу мира первую букву из его названия на русском языке (например, f(Москва) = М). Будет ли f отображением всех городов мира на весь русский алфавит?

О п р е д е л е н и е. Отображение f : X → Y называют

18

взаимно однозначным отображением множества X на множество Y , если для каждого y из Y существует, и притом единственный, прообраз в X.

9. Рассмотрим следующие отображения множества всех целых чисел в множество неотрицательных целых чисел:

а) f(n) = n2; б) f(n) = |n|;

(

Какие из этих отображений являются отображениями на, взаимно однозначными отображениями?

Пусть M — произвольное множество. Произвольное взаимно однозначное отображение множества M на себя, g : M → M, мы будем для краткости называть преобразованием множества M.

Два преобразования g1 и g2 будут считаться равными, если g1(A) = g2(A) для любого элемента A из M. Вместо термина преобразование часто используется термин подстановка. Мы будем использовать этот термин лишь в тех случаях, когда преобразование задано на конечном множестве. Тогда подстановка может быть записана в виде

A1 A2 . . . An , Ai1 Ai2 . . . Ain

где в верхней строке перечислены все элементы данного множества, а нижняя строка показывает, куда каждый их этих элементов переходит.

Так как преобразование — это взаимно однозначное отображение, то для каждого преобразования g существует обратное преобразование g−1, которое определяется следующим образом: если g(A) = B, то g−1(B) = A. Так, в приме-

10.Найти обратные преобразования ко всем симметриям равностороннего треугольника (примеры 1, 2, стр. 15–17).

11.Пусть g(x) = 2x — преобразование всех действительных чисел. Найти обратное преобразование.

Произведение преобразований g1 и g2 определяется так:

(g1g2)(A) = g1(g2(A)) (сначала делается преобразование g2, затем g1). Если g1 и g2 — преобразования множества M, то

19

g1g2 — также преобразование множества M.

О п р е д е л е н и е. Пусть некоторое множество преобразований G обладает следующими свойствами: 1) если преобразования g1 и g2 содержатся в G, то и их произведение g3 = g1g2 содержится в G; 2) если преобразование g содержится в G, то и обратное ему преобразование g−1 содержится в G. Тогда такое множество преобразований G

будем называть группой преобразований.

Нетрудно проверить, что множества преобразований, рассмотренные в примерах 1–6, являются группами преобразований.

12.Доказать, что любая группа преобразований содержит тождественное преобразование e такое, что e(A) = A для любого элемента A множества M.

13.Доказать, что eg = ge = g для любого преобразова-

ния g.

14.Доказать, что для любых трех преобразований g1, g2

иg3 имеет место равенство

(g1g2)g3 = g1(g2g3) *).

§ 3. Группы

При решении задач 6 и 7 мы составили таблицы умножения для симметрий ромба и прямоугольника. При этом оказалось, что при наших обозначениях симметрий (см. решения) эти таблицы совпадают. Для многих целей такие группы преобразований естественно считать совпадающими. Поэтому мы отвлечемся от природы элементов множества (в нашем случае преобразований) и природы бинарной операции **) (в нашем случае композиции преобразований) и будем рассматривать просто бинарные операции на произвольных множествах, но только такие операции, для которых выполняются основные свойства групп преобразований. При этом произвольную бинарную операцию мы будем обычно называть умножением, и если паре (a, b) соответствует , то будем с называть произведением a и b и

*) Это равенство справедливо не только для преобразований, но и для любых трех отображений g1, g2, g3 таких, что g3 : M1 → M2,

g2 : M2 → M3, g1 : M3 → M4.

**) Определение бинарной операции см. на стр. 14.

20

писать ab = . В некоторых частных случаях эта операция может называться по-иному, например, композицией, сложением и т. д.

О п р е д е л е н и е. Группой называется множество G элементов произвольной природы, на котором задана бинарная операция a · b такая, что выполняются следующие условия:

1)ассоциативность: (ab)c = a(bc) для любых элементов a, b, c из G;

2)в G существует такой элемент e, что ea = ae = a для любого элемента a из G, такой элемент e называется единицей группы G;

3)для любого элемента a из G существует такой элемент a−1 в G, что aa−1 = a−1a = e, такой элемент называется

обратным к элементу a.

Из результатов задач 12–14 мы видим, что всякая группа преобразований является группой (в некотором смысле верно и обратное утверждение (см. 55)). Таким образом, мы уже имеем несколько примеров групп. Все эти группы содержат конечное число элементов, такие группы называются конечными группами. Число элементов в конечной группе называется порядком группы. Группы, содержащие бесконечное число элементов, называются бесконечными группами.

Рассмотрим несколько примеров бесконечных групп.

П р и м е р 7. Рассмотрим множество всех целых чисел. Под бинарной операцией на этом множестве будем понимать обычное сложение. Тогда мы получим группу. Действительно, роль единичного элемента в этом случае будет играть 0, так как 0 + n = n + 0 = n для любого целого n. Кроме того, для каждого n существует обратный элемент −n (называемый в случае сложения противоположным элементом), так как n + (−n) = (−n) + n = 0. Ассоциативность в этом случае следует из законов арифметики. Полученная группа называется группой целых чисел по сложению.

15. Образуют ли группу по умножению: 1) все действительные числа, 2) все действительные числа без 0?

16. Образуют ли группу по умножению все положительные действительные числа?

17. Образуют ли все натуральные числа группу: а) по

21

сложению, б) по умножению?

18.Доказать, что в любой группе существует единственный единичный элемент.

19.Доказать, что для любого элемента a группы существует единственный обратный элемент a−1.

20.Доказать, что: 1) e−1 = e, 2) (a−1)−1 = a.

Если a и b — элементы некоторой группы, то по определению бинарной операции выражение a · b задает некоторый определенный элемент группы. Поэтому выражения вида (a · b) · c, a · (b · c), (a · b) · (c · d) также задают некоторые определенные элементы группы. Любые два из полученных элементов можно снова перемножить, получив опять определенный элемент группы, и т. д. При этом чтобы на каждом шаге можно было однозначно восстановить, какая же операция выполнялась последней, будем оба перемножаемых выражения заключать в скобки (выражения, состоящие из одной буквы, можно в скобки не заключать). Всевозможные выражения, которые можно построить таким способом, назовем правильно построенными произведениями. Например, (a · b) ·

· (c · (a · c)) — правильно построенное произведение, а выражение (a · b) · c · (c · d) не является правильно построенным произведением, так как не ясно, в каком порядке должны выполняться операции умножения. Рассматривая произведение a1 · a2 · . . . · an нескольких действительных чисел a1, a2, . . . , an, мы совсем не ставим скобок, так как оказывается, что результат не зависит от порядка выполнения операций, т. е. при любой расстановке скобок, дающей правильно построенное произведение, результат, соответствующий этому произведению, будет одним и тем же. Оказывается, что это свойство выполняется в любой группе, что вытекает из результата следующей задачи.

21. Пусть бинарная операция a · b обладает свойством ассоциативности, т. е. (a · b) · c = a · (b · c) для любых элементов a, b, c. Доказать, что любое правильно построенное произведение, в котором слева направо идут элементы a1, a2, . . . , an, задает тот же элемент, что и произведение

(. . . ((a1 · a2) · a3) · . . . · an−1) · an.

Таким образом, если a1, a2, . . . , an — элементы некото-

22

рой группы, то все правильно построенные произведения, полученные из элементов a1, a2, . . . , an именно в этом порядке разными расстановками скобок, задают один и тот же элемент, который будем обозначать a1 · a2 · . . . · an (уже без указания скобок).

При умножении действительных чисел выполняется еще одно очень важное свойство, а именно: произведение a1 · a2 ·

. . . · an не изменится, если произвольным образом переставить сомножители. Однако в произвольной группе это свойство может не выполняться.

О п р е д е л е н и е. Два элемента a и b группы называются перестановочными или коммутирующими, если ab = ba. Если все элементы группы коммутируют между собой, то такая группа называется коммутативной или абелевой.

Существуют некоммутативные группы. Такой группой является, например, группа симметрий треугольника (см. пример 2, где ac = f, ca = d и ac 6= ca).

22.Выяснить, являются ли коммутативными следующие группы (см. 2, 4–7): 1) группа вращений треугольника,

2)группа вращений квадрата, 3) группа симметрий квадрата, 4) группа симметрий ромба, 5) группа симметрий прямоугольника.

23.Доказать, что в произвольной группе:

1) (ab)−1 = b−1a−1, 2) (a1 · . . . · an)−1 = a−n 1 · . . . · a−1 1.

З а м е ч а н и е. Пиджак надевают после рубашки, а снимают раньше.

Если есть некоторое равенство a = b в произвольной группе G−1 (обозначающее, что левая и правая части задают один и тот же элемент), то из него можно получить новое равенство, умножив обе части исходного равенства на некоторый элемент c группы G. Однако, так как произведение в группе может зависеть от порядка сомножителей, то можно только либо обе части равенства умножить на некоторый элемент справа: ac = bc, либо обе части умножить на некоторый элемент слева: ca = cb.

24. Пусть a, b — произвольные элементы некоторой группы G. Доказать, что каждое из уравнений ax = b и ya = b имеет, и притом ровно одно, решение в данной группе.

Условие единственности из задачи 24 можно выразить еще следующим образом: если ab1 = ab2 или b1a = b2a, то

23