ции f(z) заменяется пачкой из n листов;
б) при обходе вокруг любой точки разветвления функции h(z) мы с листов одной пачки переходим на листы одной и той же пачки;
в) эти переходы с одной пачки на другую совпадают с переходами между соответствующими листами римановой поверхности функции f(z);
г) если листы в пачках перенумерованы так, что
fi,k(z) = fi,0(z) · ekn, то переходы с одной пачки на другую происходят без перемешивания листов, а только с
циклическим сдвигом (см. 324).
§ 12. Группы Галуа многозначных функций
Свяжем теперь с каждой схемой римановой поверхности некоторую группу подстановок.
329.Пусть кривая C на плоскости z не проходит через точки разветвления и точки неоднозначности функции w(z). Доказать, что при движении вдоль кривой мы с разных листов схемы римановой поверхности функции w(z) будем переходить на разные листы.
Таким образом, в силу результата задачи 329, обходу (против часовой стрелки) вокруг любой точки разветвления функции w(z) соответствует подстановка листов схемы римановой поверхности функции w(z), которая указывает, на какой лист мы переходим с каждого листа.
330.Пусть схемы римановых поверхностей для функций, перечисленных в задаче 314, построены так, как это сделано в «Указаниях, решениях, ответах» (стр. 175), и пусть листы на этих схемах занумерованы снизу вверх числами 1, 2, . . . Записать для каждой функции подстановки листов, соответствующие обходам вокруг каждой точки разветвления.
331.Пусть g1, . . . , gs — некоторые элементы произвольной группы G. Рассмотрим все элементы группы G, кото-
рые могут быть получены из g1, . . . , gs путем многократного применения операций умножения и взятия обратного элемента. Доказать, что полученное множество элементов образует подгруппу в группе G.
О п р е д е л е н и е. Подгруппа, полученная в задаче 331, называется подгруппой, порожденной элементами g1,
105
.. . . . . , gs.
Оп р е д е л е н и е. Пусть g1, . . . , gs — подстановки листов
некоторой схемы римановой поверхности, соответствующие обходам (против часовой стрелки) вокруг всех точек разветвления. Подгруппу, порожденную элементами g1, . . . , gs, будем называть группой подстановок листов данной схемы римановой поверхности.
З а м е ч а н и е 1. Если число листов в схеме конечно (а мы рассматриваем только такие схемы), то при построении группы подстановок листов этой схемы достаточно использовать операцию умножения подстановок, а операцию взятия обратной подстановки можно исключить. Действительно, в этом случае любая подстановка листов g имеет некоторый конечный порядок k: gk = e, поэтому
|
g−1 = gk−1 = g · g · . . . · g |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k−1 |
|||
. |
З а м е ч а н и е 2. Группы подстановок| {z } листов, которые |
||||
будут строиться ниже, будут рассматриваться, как обычно, с точностью до изоморфизма. Поэтому нумерация листов будет не важна,так как при разных нумерациях получаются хотя и различные, но изоморфные подгруппы груп-
пы Sn.
332. Каким из известных вам групп изоморфны группы подстановок листов схем римановых поверхностей следую-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
n |
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
− |
|
|
|||||
|
|
√z, б) |
√z, в) |
√z, г) |
|
(z |
|
1) (см. 304), |
||||||||||
щих функций: а) |
|
|
|
|||||||||||||||
д) |
√ |
|
(см. 306). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(z − 1)2(z + 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
333.Каким из известных вам групп изоморфны группы подстановок листов схем римановых поверхностей функций, перечисленных в задачах: 1) 314, 2) 317, 3) 319?
334.Описать группу подстановок листов√для обеих схем
римановой поверхности функции h(z) = |
z2 + 1 − 2, по- |
строенных при решении задачи 328. |
|
Пусть точка z0 не является точкой разветвления и неоднозначности многозначной функции w(z), и пусть
w1, w2, . . . , wn — все значения функции w(z) в точке z0. Рассмотрим некоторую непрерывную кривую C, начинаю-
щуюся и кончающуюся в точке z0 и не проходящую через точки разветвления и неоднозначности функции w(z). Если мы выберем некоторое значение wi = w(z0) и определим
106
новое значение w(z0) по непрерывности вдоль кривой C, то получим некоторое новое значение wj = w(z0). При этом, начиная с разных значений wi, мы будем получать различные значения wj (иначе по кривой C−1 нарушилась бы однозначность). Следовательно, кривой C соответствует некоторая подстановка значений w1, w2, . . . wn. При этом, если кривой C соответствует подстановка g, то кривой C−1 соответствует подстановка g−1 и если кривым C1 и C2 (с концами в точке z0) соответствуют подстановки g1 и g2, то кривой C1C2 соответствует подстановка g2g1 (напомним, что подстановки выполняются справа налево).
Таким образом, если мы рассмотрим всевозможные кривые, начинающиеся и кончающиеся в точке z0, то соответствующие им подстановки будут образовывать некоторую
группу подстановок значений w(z0).
335. Пусть G1 — группа подстановок значений w(z0)
иG2 — группа подстановок листов некоторой схемы римановой поверхности функции w(z). Доказать, что группы G1
иG2 изоморфны.
Заметим, что при определении группы подстановок значений w(z0) не использовалась никакая схема римановой поверхности функции w(z). Поэтому из результата задачи 335 вытекает, что группа подстановок значений w(z0) для произвольной точки z0 и группа подстановок листов произвольной схемы римановой поверхности функции w(z) изоморфны. Следовательно, группы подстановок значений w(z0) для всех точек z0 и группы подстановок листов всех схем римановых поверхностей функции w(z) изоморфны, т. е. являются фактически одной и той же группой. Эту группу будем называть группой Галуа многозначной функции w(z)*).
§13. Группы Галуа функций, выражающихся
врадикалах
Перейдем теперь к доказательству одного из основных утверждений этой книги, а именно следующей теоремы.
Те о р е м а 11. Если многозначная функция h(z) выражается в радикалах, то группа Галуа функции h(z) раз-
*) Эту группу называют также группой монодромии.
107
решима (см. главу I, § 14).
Доказательство теоремы 11 заключено в решениях следующих задач.
336.Пусть h(z) = f(z) + g(z), или h(z) = f(z) − g(z), или h(z) = f(z) · g(z), или h(z) = f(z)/g(z), и пусть схема римановой поверхности функции h(z) построена из схем римановых поверхностей функций f(z) и g(z) формальным методом (теорема 8, пункты а), б), стр. 104). Доказать, что если F и G — группы подстановок листов исходных схем, то группа подстановок листов построенной схемы изоморфна некоторой подгруппе в прямом произведении F × G (см. главу I, § 7).
337.Пусть при условиях предыдущей задачи H1 — группа подстановок листов схемы, построенной формальным
методом, a H2 — группа подстановок листов истинной схемы римановой поверхности функции h(z). Доказать, что существует гомоморфизм (см. главу I, § 13) группы H1 на
группу H2.
338. Пусть группы Галуа функций f(z) и g(z) разрешимы. Доказать, что тогда разрешимы группы Галуа следующих функций:
h(z) = f(z) + g(z), |
h(z) = f(z) − g(z), |
h(z) = f(z) · g(z), |
h(z) = f(z)/g(z). |
339. Пусть группа Галуа функции f(z) разрешима. Доказать, что группа Галуа функции h(z) = [f(z)]n также разрешима.
340. Пусть H — группа подстановок листов схемы рима-
√
новой поверхности функции h(z) = n f(z), а F — группа подстановок листов схемы римановой поверхности функции f(z), построенной при тех же разрезах. Построить гомоморфизм группы H на группу F .
341. Доказать, что ядро гомоморфизма (см. главу I, § 13), построенного в решении предыдущей задачи, коммутативно.
342. Пусть группа Галуа функции f(z)√разрешима. Доказать, что группа Галуа функции h(z) = n f(z) также разрешима.
Функции константы h(z) = a и функция h(z) = z являются функциями однозначными и непрерывными во всей
108