и ABE значения w(z) в точке E, так как

одинаково по обеим кривым, одинаково определяются по непрерывности вдоль кривой Ez1 и значения w(z) в

точке z1.

Таким образом, «темным» местом в нашем изложении осталось утверждение о том, что все рассматриваемые ниже функции являются «достаточно хорошими».

Здесь уж читателю придется либо принять это утверждение на веру, либо обратиться к более глубокому изучению аналитических функций*).

§11. Функции, выражающиеся в радикалах

Оп р е д е л е н и е. Пусть f(z) и g(z) — две многозначные функции. Под f(z) + g(z) будет пониматься многозначная

функция, все значения которой в точке z0 получатся, если каждое значение f(z0) сложить с каждым значением g(z0).

Так же определяются функции f(z) − g(z), f(z) · g(z), f(z)/g(z).

Под [f(z)]n, где n — натуральное число, будет пониматься функция, все значения которой в точке z0 получатся,

если каждое значение f(z ) возвести в степень n.

√ 0

Под n f(z), где n — натуральное число, будет пониматься функция, все значения которой в точке z0 получатся, если для каждого значения f(z0) вычислить все n значе-

*) См., например, Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, М., Наука, 1985 и М а р к у ш е в и ч А. И., Краткий курс теории аналитических функций, М., Наука, 1978.

98

313. Пусть h(z) = f(z) + g(z). Выколем из плоскости все точки неоднозначности функции h(z) и проведем непересекающиеся разрезы в бесконечность из всех точек, которые являются точками разветвления хотя бы одной из функ-

ций f(z) или g(z). Пусть f1(z), . . . , fn(z) и g1(z), . . . , gn(z) — непрерывные однозначные ветви функций f(z) и g(z) на

полученной плоскости с разрезами. Найти непрерывные однозначные ветви функции h(z).

Если при обходе точки z0 мы с ветви fi1 (z) переходим на ветвь fi2 (z) и с ветви gj1 (z) на ветвь gj2 (z), то, очевидно,

с ветви hi1,j1 (z) = fi1 (z) + gj1 (z) мы перейдем на ветвь hi2,j2 (z) = fi2 (z) + gj2 (z). Это подсказывает нам следующий

формальный метод построения схемы римановой поверхности функции h(z) = f(z) + g(z) при условии, что построены (при тех же разрезах) схемы римановых поверхностей

функций f(z) и g(z). Каждой паре ветвей fi(z) и gj(z) ставим в соответствие лист, на котором считаем заданной

ветвь hi,j(z) = fi(z) + gj(z). Если в схемах римановых поверхностей функции f(z) и g(z) в точке z0 указаны переходы с ветви fi1 (z) на ветвь fi2 (z) и с ветви gj1 (z) на ветвь gj2 (z), то в схеме римановой поверхности функции h(z) указываем в точке z0 переход с ветви hi1,j1 (z) на

Описанный выше формальный метод построения схемы римановой поверхности функции h(z) = f(z) + g(z) не всегда дает правильный результат, так как он не учитывает, что некоторые из ветвей hi,j(z) могут оказаться равными. Для простоты будем считать, что разрезы не проходят через точки неоднозначности функции h(z). В таком случае при пересечении любого разреза мы с листов, соответствующих равным ветвям функции h(z), будем переходить, в силу однозначности, на листы, также соответствующие равным ветвям. Следовательно, если мы склеим листы, соответствующие одинаковым ветвям функции h(z), т. е. заменим каждое множество таких листов одним листом, то однозначно определятся переходы между полученными листами при обходе любой точки разветвления z0.

100

вой поверхности формальным методом и истинную схе-

Окончательно получаем, что для построения схемы римановой поверхности функции h(z) = f(z) + g(z) по схемам римановых поверхностей функций f(z) и g(z) (построенным при тех же разрезах) достаточно построить схему описанным выше формальным методом и затем произвести соответствующие склейки.

Легко видеть, что этот алгоритм можно применять и при построении схемы римановой поверхности функций h(z) = f(z) − g(z), h(z) = f(z) · g(z), h(z) = f(z)/g(z).

317. Построить схемы римановых поверхностен следую-

318. Пусть f1(z), f2(z), . . . , fm(z) — все непрерывные однозначные ветви функции f(z). Найти при тех же разрезах все непрерывные однозначные ветви функции h(z) = = [f(z)]n, где n — некоторое натуральное число.

Из результата последней задачи легко вытекает, что схема римановой поверхности функции h(z) = [f(z)]n совпадала бы со схемой римановой поверхности функции f(z), если бы все ветви hi(z) = [fi(z)]n были различными. Однако это не всегда так. Если получатся равные ветви, то при переходе через разрезы, мы в силу однозначности будем с равных ветвей переходить на равные ветви.

Окончательно получаем, что для построения схемы римановой поверхности функции h(z) = [f(z)]n достаточно на схеме римановой поверхности функции f(z) рассмотреть вместо ветвей fi(z) ветви hi(z) = [fi(z)]n. Если при этом появятся одинаковые ветви, то нужно склеить соответствующие листы.

319. Построить схемы римановых поверхностей следую-

Изучим теперь, как связана схема римановой поверх-

√

ности функции n f(z) со схемой римановой поверхности

101

функции f(z).

320. Какие точки могут быть точками разветвления

√

функции n f(z)?

Проведем на плоскости z разрезы из точек разветвления функции f(z) в бесконечность так, чтобы они не проходили через точки, в которых одно из значений функции f(z) равно 0, и выделим непрерывные однозначные ветви функции f(z). Пусть это будут (однозначные) функции f1(z), f2(z), . . . , fm(z). Проведем дополнительно разрезы в бесконечность из точек, в которых одно из значений функ-

ции f(z) равно 0. Пусть g(z) — одна из непрерывных одно-

√

значных ветвей функции n f(z) при этих разрезах.

321. Доказать, что функция [g(z)]n совпадает с одной из функций fi(z) всюду, кроме разрезов.

Из результата предыдущей задачи вытекает, что каж-

√

дая ветвь функции n f(z) соответствует некоторой ветви функции f(z).

322√. Пусть g(z) — непрерывная однозначная ветвь функции n f(z), соответствующая ветви fi(z) функции f(z).

Найти все соответствующие ветви f (z) непрерывные одно-

√ i

значные ветви функции n f(z).

Из результата последней задачи мы получаем, что каж-

дой ветви f (z) функции f(z) соответствует «пачка», состо-

i √

ящая из n ветвей функции n f(z). Мы занумеруем ветви в

этой пачке fi,0(z), fi,1(z), . . . , fi,n−1(z) причем так, чтобы для любого k выполнялось равенство fi,k(z) = fi,0(z) · ekn.

Пусть z0 — точка разветвления функции f(z), и пусть

при обходе вокруг точки z мы с ветви f (z) переходим

0 i √

на ветвь fj(z). Тогда, очевидно, для функции n f(z) мы получим следующее: со всех листов пачки, соответствующей ветви fi(z), мы при обходе вокруг точки z0 будем переходить на листы пачки, соответствующей ветви fj(z).

323. Пусть C — кривая на плоскости z с параметрическим уравнением z(t), и пусть кривая на плоскости w с уравнением w0(t) является непрерывным образом кривой C

102

рез точки разветвления и точки неоднозначности функ-

√

ции n f(z). Доказать, что если мы при движении вдоль

кривой C переходим с ветви fi,s(z) на ветвь fj,r(z), то с ветви fi,s+k(z) мы перейдем на ветвь fj,r+k(z), где суммы s + k и r + k вычисляются по модулю n (см. 40).

Таким образом, для определения того, куда мы перейдем с листов данной√пачки при обходе данной точки разветвления функции n f(z) достаточно определить, куда мы перейдем с одного из листов данной пачки, а для других листов этой пачки переходы определятся автоматически в силу результата задачи 324.

гда схема римановой поверхности функции зависит от того, как проведены разрезы.

327.Построить схему римановой поверхности функции

√

f(z) = z2 + 1 − 2 при разрезах, изображенных: а) на рис. 37, б) на рис. 38. В обоих случаях определить, на одном или на разных листах лежат точки z такие, что f(z) = 0.

328. Построить схему римановой поверхности функции p√

h(z) = z2 + 1 − 2 при разрезах, изображенных: а) на рис. 39, б) на рис. 40.

Сформулируем еще раз те результаты этого параграфа, которые потребуются нам в дальнейшем.

103

Те о р е м а 8. Для построения схемы римановой поверхности функцийh(z) = f(z) + g(z), h(z) = f(z) − g(z), h(z) = f(z) · g(z), h(z) = f(z)/g(z)no схемам римановых поверхностей функций f(z) и g(z), построенных при тех же разрезах, достаточно: а) каждой паре ветвей fi(z) u gj(z) сопоставить лист, на котором считать заданной ветвь hi,j(z), равную соответственно fi(z) + gj(z), fi(z) − gj(z), fi(z) · gj(z), fi(z)/gj(z);

б) если при обходе вокруг точки z0 имеется пере-

ход с ветви fi1 (z) на ветвь fi2 (z) и с ветви gj1 (z) на ветвь gj2 (z), то для функции h(z) при том же обходе

указать переход с ветви hi1,j1 (z) на ветвь hi1,j2 (z);

в) листы, на которых заданы одинаковые ветви hi,j(z), склеить.

Те о р е м а 9. Для построения схемы римановой поверхности функции h(z) = [f(z)]n по схеме римановой поверхности функции f(z), построенной при тех же разрезах, достаточно:

а) на схеме римановой поверхности функции f(z) считать заданными вместо fi(z) ветви hi(z) = [fi(z)]n;

б) листы, на которых оказываются заданными одинаковые ветви hi(z), склеить.

Те о р е м а 10. При построении схемы римановой по-

√

верхности функции h(z) = n f(z) по схеме римановой поверхности функции f(z), построенной при тех же разрезах:

а) каждый лист схемы римановой поверхности функ-

104