и степень многочлена Rs(x) будет меньше, чем степень многочлена Q(x) или Rs(x) = 0. Тогда получим

+d0 xl−mQ(x) + Rs(x) = b0

=a0 xn−m + c0 xk−m + . . . + d0 xl−m · Q(x) + Rs(x). b0 b0 b0

Таким образом, выражение, стоящее в скобках, является частным от деления многочлена () на Q(x) и Rs(x) — остатком. Описанный здесь процесс деления многочлена на многочлен представляет собой процесс деления столбиком.

Следующая задача показывает, что если () и Q(x) — два многочлена и Q(x) 6= 0, то каким бы способом мы не делили () на Q(x) с остатком, частное и остаток определяются однозначно.

201. Пусть

P (x) = S1(x) · Q(x) + R1(x),

P (x) = S2(x) · Q(x) + R2(x),

причем степени многочленов R1(x) и R2() меньше, чем степень многочлена Q(x) (может быть R1(x) = 0 или R2(x) = 0). Доказать, что

S1(x) = S2(x), R1(x) = R2(x).

§ 2. Поле комплексных чисел

Из решения задачи 194 вытекает, что существуют поля, более узкие, чем поле действительных чисел, например, поле рациональных чисел. Мы же сейчас построим поле более широкое, чем поле действительных чисел, а именно, поле комплексных чисел.

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары действительных чисел, т. е. пары вида (a, b), где a и b — произвольные действительные числа. Будем считать, что (a, b) = (c, d) тогда и только тогда, когда a = c и b = d.

57

На множестве всех таких пар определим две бинарные операции — сложение и умножение — следующим образом:

(здесь в скобках в правых частях равенств обычные операции над действительными числами). Например, получаем

ченных пар действительных чисел с операциями сложения и умножения, определенными согласно (2.1) и (2.2), называется множеством комплексных чисел.

Из этого определения видно, что в комплексных числах нет ничего «сверхестественного»: комплексные числа — это вполне реально существующие пары действительных чисел. Однако может возникнуть вопрос: правомерно ли называть такие объекты числами? Этот вопрос мы обсудим в конце данного параграфа. Другой вопрос, который может возникнуть у читателя, — почему именно так, а не иначе определяются операции сложения и умножения комплексных чисел (особенно странной выглядит операция умножения)? На этот вопрос мы ответим в § 3.

Выясним, какими хорошими свойствами обладает определенное выше множество комплексных чисел.

202.Доказать, что комплексные числа образуют по сложению коммутативную группу. Какое комплексное число является единичным элементом (нулем) этой группы?

В дальнейшем комплексные числа будет удобно обозначать одной буквой, например z (или w).

203.Доказать, что операция умножения комплексных чисел коммутативна и ассоциативна, т. е. z1 · z2 = z2 · z1 и

(z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3) для любых комплексных чисел z1, z2, z3.

Легко проверить, что

(a, b) · (1, 0) = (1, 0) · (a, b) = (a, b)

для любого комплексного числа (a, b). Таким образом, комплексное число (1, 0) является единичным элементом в множестве комплексных чисел относительно умножения.

58

204. Пусть z — произвольное комплексное число и z 6= 6= (0, 0). Доказать, что существует комплексное число z−1

такое, что

z · z−1 = z−1 · z = (1, 0).

Результаты задач 203 и 204 показывают, что комплексные числа образуют относительно операции умножения коммутативную группу.

205. Доказать, что для операций сложения и умножения комплексных чисел выполняется закон дистрибутивности, т. е. (z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3 для любых комплексных

чисел z1, z2, z3.

Из результатов задач 202–205 вытекает, что комплексные числа с операциями сложения и умножения, определенными согласно (2.1) и (2.2), образуют поле. Это и есть поле комплексных чисел.

Для комплексных чисел вида (a, 0), где a— произвольное действительное число, формулы (2.1) и (2.2) дают

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0),

(a, 0) · (b, 0) = (a · b, 0).

Таким образом, если сопоставить каждому комплексному числу вида (a, 0) действительное число a, то операциям над числами вида (a, 0) будут соответствовать обычные операции над действительными числами. Поэтому мы просто отождествим комплексное число (a, 0) и действительное число a*) и будем говорить, что поле комплексных чисел содержит в себе поле действительных чисел.

Комплексное число (0, 1) не является действительным (при нашем отождествлении), и мы обозначим его через i, т. е. i = (0, 1). Так как поле комплексных чисел содержит все действительные числа и число i, то оно содержит также числа вида b · i и a + b · i, где a и b — произвольные действительные числа и операции сложения и умножения понимаются как операции над комплексными числами.

206. Пусть (a, b) — комплексное число. Доказать, что

(a, b) = a + b · i.

*) Точно так же, например, рациональное число n отождествля-

59

Из результата задачи 206, очевидно, получаем, что a + bi = c + di тогда и только тогда, когда a = c и b = d.

Таким образом, любое комплексное число можно, и причем единственным образом, представить в виде a + bi, где a и b — действительные числа. Если z = a + bi, то, следуя историческим традициям, принято a называть действительной частью комплексного числа z, bi — мнимой частью, b — коэффициентом при мнимой части.

Представление комплексного числа z в виде z = a + bi называют алгебраической формой комплексного числа z.

Для комплексных чисел в алгебраической форме фор-

(a + bi) · (x + yi) = (c + di), где a + bi 6= 0.

Легко проверить, что

i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.

т. е. i2 = 1. Таким образом, в поле комплексных чисел извлекаются квадратные корни и из некоторых отрицательных действительных чисел.

209.Вычислить: а) i3, б) i4, в) in.

210.Найти все комплексные числа z = x + yi такие, что: а) z2 = 1, б) z2 = −1, в) z2 = a2, г) z2 = −a2 (a — некоторое

действительное число).

О п р е д е л е н и е. Комплексное число a − bi называется сопряженным комплексному числу z = a + bi и обозначается z. Легко проверить, что

z + z = 2a, z · z = a2 + b2.

211. Пусть z1 и z2 — произвольные комплексные числа. Доказать, что: a) z1 + z2 = z1 + z2, б) z1 − z2 = z1 − z2,

в) z1 · z2 = z1 · z2, г) z1/z2 = z1/z2.

212. Пусть

P (z) = a0z2 + a1zn−1 + . . . + an−1z + an,

60

z — комплексное число и все ai, — действительные числа.

Доказать, что P (z) = P (z).

Переход к комплексным числам является очередным шагом в последовательности: натуральные числа — целые числа — рациональные числа — действительные числа — комплексные числа. У читателя может сложиться мнение, что до действительных чисел это на самом деле числа, а комплексные числа — это уже не числа, а объекты более сложной природы. Конечно, терминология может быть принята любая, однако в действительности комплексные числа вполне заслуживают, чтобы их называли числами.

Первое возражение против этого может состоять в том, что это не числа, а пары чисел. Вспомним, однако, что подобным же образом вводятся рациональные числа Рациональное число — это класс равных дробей, а дроби — это пары целых чисел, записываемых в виде m/n (где n 6= 0); при этом действия над рациональными числами — это просто действия над парами целых чисел. Поэтому первое возражение оказывается несостоятельным. Другое возражение может состоять в том, что числа — это то, чем можно что-то измерять. Если понимать под этим, что числа — это то, чем можно измерять все, что угодно, то тогда надо запретить, например, отрицательные числа, так как не бывает отрезков длиной −3 см, а поезд не может ехать −4 дня. Если же считать, что числа — это то, чем можно (или удобно) измерять хоть чтонибудь, то тогда комплексные числа оказываются ничем не хуже других чисел — ими очень удобно описывать, например, ток, напряжение и сопротивление в электрических цепях переменного тока и это широко используется в электротехнике*). Комплексные числа также очень полезны, а порой и незаменимы в гидро- и аэромеханике*).

Таким образом, переход от действительных чисел к комплексным является таким же естественным, как, например,

*) См., например, «Теоретические основы электротехники», под общей редакцией Поливанова К. М., т. 1., Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными, «Энергия», 1972.

*) М а р к у ш е в и ч А. И., Краткий курс теории аналитических функций, М., Наука, 1979.

61