Поскольку данные в ходе вычислений округлялись, величина процентов в последней строке найдена балансовым методом, т.е. вначале записываем погашенную часть долга 362972 руб., а затем определяем величину процентов за два года: 567147 - - 362972 - 204175 руб. Если же непосредственно найти сложные проценты за два года от суммы в 362972 руб. исходя из процентной ставки 25%, то получим 204172 руб. Суммируя величины в пятом столбце, получим размер кредита: 900000 руб.
Задачи
3.3.1.Работник заключает с фирмой пенсионный контракт на 20 лет, согласно которому на счет работника в банке в конце каждого двухлетнего периода будет поступать по 1,5 тыс. руб. Требуется определить наращенную сумму к концу действия контракта, если на поступающие суммы будут ежегодно начисляться декурсивные сложные проценты по ставке 18% годовых.
3.3.2.Фирма решила образовать фонд для обеспечения будущих расходов. С этой целью в конце каждых трех лет фирма перечисляет в банк по 25 тыс. руб. Какая сумма будет на счете фирмы через 21 год, если на поступающие суммы будут начисляться: а) по полугодиям сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 20%; б) непрерывные проценты с силой роста 20% за год?
3.3.3.Определите сумму, которую необходимо поместить на счет в банке, чтобы в течение 16 лет в конце каждого двухлетнего периода иметь возможность снимать со счета 5 тыс. руб., причем к концу срока полностью выбрать все деньги со счета, если на находящиеся на счете денежные суммы будут начисляться: а) ежегодно сложные проценты по ставке 24%; б) каждый квартал сложные проценты по ставке 24%; в) непрерывные проценты с силой роста 24%.
3.3.4.На счет в банке в начале каждого трехлетнего периода будет поступать по 10 тыс. руб. Требуется определить наращенную сумму через 15 лет, если на поступающие суммы будут ежегодно начисляться декурсивные сложные проценты по ставке 23% годовых.
3.3.5.В течение 24 лет каждые четыре года в банк вносится по 40 тыс. руб. по схеме: а) постнумерандо; б) пренумеравдо. Банк начисляет сложные проценты каждые полгода из расчета 16% годовых. Какая сумма будет на счете в конце срока?
3.3.6.Страховая компания, заключив на 8 лет договор с некоторой фирмой, получает от нее страховые взносы по 35 тыс. руб.
вконце каждого двухлетнего периода. Эти взносы компания помещает в банк под годовую номинальную процентную ставку 20% годовых. Найдите приведенную стоимость суммы, которую получит страховая компания по данному контракту, если слож-
ные проценты начисляются: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) непрерывно.
3.3.7.Предприятие в целях создания фонда хочет накопить на своем счете 300 тыс. руб., осуществляя в конце каждого третьего года равные вклады в банк под сложную процентную ставку 25% годовых. Какой величины должен быть каждый вклад, чтобы предприятие могло накопить требуемую сумму за: а) 9 лет; б) 18 лет?
3.3.8.Некоторая фирма хочет создать фонд в размере 350 тыс. руб. С этой целью в конце каждого двухлетнего периода фирма предполагает вносить по 20 тыс. руб. в банк под 28% годовых. Найдите срок, необходимый для создания фонда, если банк на-
числяет сложные проценты: |
а) ежегодно; |
б) ежеквартально; |
в) непрерывно. |
|
|
3.3.9. Какую сумму необходимо поместить в банк под номи- |
нальную процентную ставку |
30% годовых, |
чтобы в течение |
20 лет иметь возможность в конце каждого двухлетнего периода снимать со счета по 10 тыс. руб., исчерпав счет полностью, если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) непрерывно?
3.3.10.Имеется переменный аннуитет постнумерандо (тыс. руб.): 4, 2, 1, 8, 5. Рассчитайте: а) будущую стоимость аннуитета; б) приведенную стоимость аннуитета, если его период равен трем годам и начисление процентов осуществляется по сложной процентной ставке 25% годовых. Как изменятся полученные оценки, если исходный поток представляет собой аннуитет пренумерандо?
3.3.11.Получена ссуда на 15 лет в сумме 1 200 тыс. руб. под 20% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на не-
погашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого трехлетнего периода. Требуется определить величину каждого платежа и составить план погашения долга.
3.3.12.Перед выходом на пенсию господин N хочет обеспечить себе дополнительно по прошествии каждых двух лет доход
всумме 8 тыс. руб. неограниченно долго. Какую сумму он должен поместить в банк, начисляющий сложные проценты по ставке 24% годовых?
3.3.13.Определите текущую (приведенную) стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с поступлением 4,2 тыс. руб. через каждые четыре года, если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 28% годовых, причем сложные проценты начисляются ежеквартально.
3.3.14.Кредитор заключил контракт, согласно которому должник обязуется выплатить 100 тыс. руб. за 8 лет равными суммами в конце каждого двухлетнего периода, причем на непогашенный остаток будут начисляться сложные проценты по процентной ставке 20% годовых. По какой цене кредитор может продать этот контракт банку, который на ссуженные деньги начисляет сложные проценты по процентной ставке 25% годовых?
РОЛЬ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ОБУЧЕНИИ БУХГАЛТЕРОВ И ФИНАНСИСТОВ
(вместо послесловия)
Управление бизнесом в рыночной экономике характеризуется многими особенностями; выделим некоторые из них. Во-первых, в общей совокупности ресурсов предприятия доминирующее значение приобретают финансовые ресурсы. Во-вторых, принятие управленческих решений финансового характера всегда осуществляется в условиях неопределенности. В-третьих, следствием реальной самостоятельности предприятий становится постоянная забота руководителей по поводу поиска источников финансирования и оптимизации инвестиционной политики. В-четвертых, устанавливая коммерческие отношения с каким-либо контрагентом, можно полагаться исключительно на собственную оценку его финансовой состоятельности.
В этих условиях обоснованность принимаемых управленческих решений, а многие из них, по сути, имеют финансовую природу, в значительной степени определяется качеством фи- нансово-аналитических расчетов. О необходимости систематизации финансовых вычислений и повсеместном их внедрении через систему образования еще в дореволюционной России говорили многие теоретики бухгалтерского учета и финансов. Программа курса "Высшие финансовые вычисления", разработанная проф. Н.С. Лунским, очень высоко оценивалась современниками. Методики анализа баланса, предложенные А.П. Рудановским и Н.А. Блатовым, до настоящего времени не утратили своей актуальности.
По мере строительства планового социалистического хозяйства в СССР анализ баланса и финансовые вычисления сравнительно быстро были трансформированы в анализ хозяйственной деятельности - направление, "теоретически11 обосновывавшее методики управления предприятием в условиях централизованного планирования; что касается блока финансовых дисциплин в целом, то его значимость была существенно принижена. Достаточно упомянуть о том, что курс финансовых вычислений был
выхолощен и низведен с университетского уровня до уровня техникумов - вероятно считалось, что среднего специального образования достаточно для того, чтобы заниматься финансовыми операциями в СССР.
К сожалению, до сих пор еще встречаются рецидивы подобного подхода, проявляющиеся, прежде всего, в высказываниях либо некоторых "чистых" математиков, не нашедших своего места в собственной классической науке и пытающихся "прислониться" к прикладным экономическим разработкам путем бездумной их математизации, когда в угоду красоте математических выкладок выхолащивается экономическая природа изучаемого явления, либо отдельных специалистов, работающих в смежных с бухгалтерско-финансовым блоком дисциплинах (автоматизированные системы управления, математическое моделирование экономических процессов и т.п.). Выдвигаемый ими в качестве аргумента тезис как "заезженная пластинка" повторяет уже не раз слышанное: "в финансовых и коммерческих вычислениях пользуются простым инструментарием, доступным даже школьнику, а потому в университетах следует читать не финансовые вычисления, а финансовую математику".
Здесь возникают, по крайней мере, два вопроса: во-первых, об экономической обоснованности применения тех или иных математических методов и, во-вторых, о допустимой сложности математического аппарата.
Что касается первого вопроса, то в качестве примера, по крайней мере, не вполне оправданного применения математики в экономике можно привести известный в анализе хозяйственной деятельности интегральный метод факторного анализа. Его разработчики, безжалостно критикуя простой и наглядный метод цепных подстановок, говорят о том, что интегральный метод "обеспечивает более высокую точность". Не вдаваясь в комментарий относительно точности в рамках ретроспективного анализа, отмечу только, что обоснованность применения интехрального метода в экономике является исключительно условной, поскольку он требует непрерывности функции, описывающей факторную связь, и бесконечно малого изменения признаков, чего в экономических явлениях часто не может быть в принципе, поскольку многие показатели изменяются дискретно.
По второму вопросу хочется, прежде всего, напомнить, что любые самые сложные вычислительные операции сводятся к четырем элементарным арифметическим действиям. Кроме того, с позиции бухгалтеров и финансистов не абстрактная финансовая математика, а именно финансовые вычисления представляют практический интерес. Финансовые стохастические модели безусловно можно, а для некоторых узких специалистов и следует рассматривать в спецкурсах, что же касается базового математико-аналитического аппарата, к которому, с очевидностью, относятся методы, обсуждаемые в курсе финансовых вычислений, то им должен владеть любой экономист высшей квалификации.
Как мне представляется, научность и значимость любой университетской дисциплины в области прикладной экономики отнюдь не определяются одной лишь сложностью используемого в ней математического инструментария, а пробелы в базовом экономическом образовании, да и в математическом тоже, нигде не проявляются так явно, как в необоснованной математизации процесса принятия управленческого решения. Именно поэтому хочется подчеркнуть, что, обосновывая базовые методы финансовой аналитики, во главу угла нужно ставить экономическую, финансовую природу операции; что касается используемого математического аппарата, то он имеет лишь вспомогательное значение.
Несмотря на кажущуюся простоту расчетов методы финансовых вычислений исключительно важны именно в практической плоскости, и кроме того, они не приходят к специалисту автоматически вместе с дипломом о высшем или специальном образовании. Невозможно стать финансовым менеджером, лишь читая общетеоретические монографии, учебники и руководства, - нужна рутинная вычислительная практика, умение ориентироваться в методах, привлекаемых.для получения рада оценок, которые можно использовать как формализованное обоснование принимаемого решения в области кредитования и финансирования. Именно этому и посвящено данное пособие - решая задачи, можно, образно говоря, "набить руку" на исчислении подобных оценок.
Следует особо подчеркнуть, что изложение аналитического аппарата финансовых операций ни в коем случае нельзя отдавать на откуп "чистым" математикам. Сложность и обоснован-
ность решений финансового характера определяются вовсе не сложностью привлекаемого аппарата; приоритет здесь имеет другое измерение - ответственность за возможные последствия. Так, непродуманно составленный договор о некоторой финансовой операции (ставка, частота и схема начисления, поправка на инфляцию и т.п.) может привести к существенным финансовым потерям независимо от того, какой сложности модель была использована, например, для прогнозирования денежного потока. Какими методами обосновано решение - это уже другой вопрос; ясно только одно: обоснование с помощью хитроумной математической модели далеко не всегда минимизирует негативные последствия. Предлагаемое пособие как раз и учит тому, как избежать подобных ошибок.
Повышение правовой, бухгалтерской и финансово-анали- тической подготовки экономистов - одно из важнейших направлений совершенствования системы высшего экономического образования. Хочется надеяться, что со временем в нашей стране культура обоснования и оформления решений финансового характера повысится, а любой грамотный бизнесмен будет понимать, что, например в договоре, содержащем упоминание о процентных платежах, следует указывать не номинальную, а эффективную ставку. Печальный опыт российских финансовых пирамид, в частности, говорит и о том, что введение полноценного курса "Финансовые (и коммерческие) вычисления" в университетские программы в духе дореволюционной российской традиции представляется не только оправданным, но и жизненно необходимым.
А Ковалев
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
СВОДКА ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
Часто используемые в формулах обозначения: г (d) - годовая
процентная (учетная) ставка (в десятичных дробях); r ^ - номинальная годовая процентная (учетная) ставка (в десятичных дробях, индекс m указывает, сколько раз в течение года происходит наг ращение или дисконтирование); и, / - продолжительность финансовой операции в годах; t - продолжительность финансовой операции в днях; Т - количество дней в году, Р - первоначальный капитал; F - наращенный капитал; Fn - наращенный капитал за п лет.
FV-PV
• Процентная ставка: rt = —j^p—, |
(1) |
где PV - предоставляемая в долг сумма, |
|
FV - возвращаемая сумма. |
|
v |
f |
FV-PV |
|
|
|
|
• Учетная ставка: И/ |
|
. |
|
|
|
(7) |
|
|
FV |
di |
|
Те |
|
|
|
|
|
|
|
• Соотношение между ставками: г, = — — или |
dt =—-—. |
(3) |
|
|
PV |
|
1 -d( |
|
1 + i j |
|
• Дисконт-фактор: v( |
|
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
(4) |
|
|
FV |
FV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Индекс роста капитала: Bt |
= |
. |
|
|
(5) |
• Формула вычисления процентов "со 100": Q' = Qr. |
. |
(6) |
• Формула вычисления процентов "во 100": К' |
|
(8) |
• Формула вычисления процентов "на 100": S' = 1 - г . |
(7) |
|
|
|
318 |
|
1 + г |
|
|
• Формула наращения простыми процентами: F = P(1+/!/•). |
(9) |
• Формула простых процентов в случае нецелого числа лет: |
|
F = |
+ |
(10) |
Возможны три варианта начисления:
а) точный процент и точная продолжительность периода (Т - 365 или 366 дней, t - точное);
б) обыкновенный процент и точная продолжительность периода
(Г= 360, t -точное);
в) обыкновенный процент и приблизительная продолжительность периода
(Т= 360, t - приблизительное, когда считается, что в месяце 30 дней).
Т
• Дивизор: D' = —. |
|
|
(11) |
• Формулы для вычисления процентного платежа (при использо- |
вании простой ставки): |
|
|
|
а) если известна величина капитала (Р): |
I = Plr ; |
(12) |
б) если известна величина капитала, увеличенного на процентный |
платеж ( Р + /): |
|
|
|
/ = - |
или I = -—-——; |
(13) |
1 + /г |
+ / |
|
в) если известна величина капитала, уменьшенного на процентный |
платеж ( Р - / ) : |
|
|
|
. (P-I)lr |
, (P-I)t |
|
п л . |
|
™ |
|
( 1 4 ) |
• Формула наращения простыми процентами по переменной |
|
процентной ставке: |
|
|
|
F = P { \ + Y n k i k ) , |
|
(15) |
|
i=l |
|
|
где на период и* установлен» процентная ставка |
и таких периодов m. |
• Формула определения простой процентной ставки, доставляющей при наращении такой же результат, как и несколько простых процентных ставок:
т |
|
, |
(16) |
к*1 |
|
где на период щ установлена процентная ставка I* и таких периодов |
т . |
• Формула определения величины начисленных процентов за пользование кредитом с учетом уменьшения долга с течением времени:
2к
где к - число погасительных платежей в год, п -срок кредита.
• Формула приведенной стоимости (при использовании
ставки): Р = 1 + w
• Формула дисконтирования по простой учетной ставке:
|
р |
• Формула наращения по простой учетной ставке: F = |
. (20) |
1 -nd
• Формулы для определения срока ссуды (при использовании простой ставки):
F-Р |
F-P |
|
(21) |
п = — - |
или f — ~ Т ; |
Рг |
Рт |
|
|
F-P |
F-Р |
Т. |
(22) |
п = — - |
или t = —- |
Fd |
Fd |
|
V |
• Формулы для определения простой ставки:
F-Р |
F-P |
— |
( |
2 |
3 |
|
) |
r = — |
- или г = |
Р t |
4 |
Р |
п |
|
|
|
|
|
