29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

года по IS тыс. руб., если банк начисляет: а) ежегодно сложные проценты по ставке 30%; б) по полугодиям сложные проценты по ставке 30%; в) непрерывные проценты с силой роста 30%.

3.1.39.Какую сумму необходимо поместить в банк под номи- нальную процентную ставку 32% годовых, чтобы неограниченно долго иметь возможность ежегодно получать по 80 тыс. руб., снимая деньги равными долями каждые 3 месяца (т.е. по 20 тыс. руб.), если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) непрерывно?

3.1.40.У вас есть возможность инвестировать одинаковую сумму денег в один из двух проектов. Первый проект позволит получить бессрочную ренту постнумерандо с ежегодными вы- платами 15 тыс. руб. Второй проект в течение двух лет принесет

соответственно 30 и 80 тыс. руб. Какой из этих проектов лучше, если процентная ставка составляет 24% годовых? Можно ли так изменить процентную ставку, что ответ изменится на противоположный?

3.1.41.В банке получена ссуда на пять лет в сумме 600 тыс. руб. под 24% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется определить величину годового платежа и составить план погашения долга.

3.1.42.Вы заняли на семь лет 36 тыс. руб. под 30%, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите, какая часть основной суммы кредита будет погашена за первые два года.

3.1.43.Предприниматель занял на шесть лет 45 тыс. руб. под 20%, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите величину процентов, которые будут уплачены предпринимателем в четвертом году.

3.1.44.Вы заняли на пять лет 80 тыс. руб. под 24%, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите общую сумму процентов к выплате.

3.1.45.Предприятие приобрело здание за 840 тыс. руб. на следующих условиях: а) 25% стоимости оплачиваются немедленно; б) оставшаяся часть погашается равными годовыми платежами в

течение 10 лет с начислением 22% годовых на непогашенную часть кредита по схеме сложных процентов. Определите величину годового платежа.

3.1.46.Предприниматель получил ссуду в сумме 400 тыс. руб. под 25% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. В соответствии с финансовым соглашением предприниматель будет возвращать долг равными суммами по 150 тыс. руб. в конце каждого года. Составьте план погашения долга.

3.1.47.Предприниматель хочет приобрести оборудование стоимостью 240 тыс. руб. Долг можно возвратить в течение года равными суммами в конце каждого квартала, причем на непогашенный остаток начисляются сложные проценты из расчета 20% годовых. Определите величину квартального платежа и составьте план погашения долга.

3.1.48.Выдан кредит в сумме 80 тыс. руб. под 24% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Долг нужно возвращать ежемесячно в течение года равными суммами. Определите величину каждого платежа, если он происходит. а) в конце каждого месяца; б) в начале каждого месяца.

3.1.49.Кредитор предоставил ссуду в сумме 120 тыс. руб. под 25% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. В соответствии с финансовым соглашением должник будет возвращать долг равными суммами по 20 тыс. руб. в конце каждого месяца Составьте план погашения долга.

3.1.50.Фермер приобрел в магазине трактор за 300 тыс. руб. в кредит. В соответствии с контрактом долг необходимо возвращать в течение года равными суммами в конце каждого месяца, причем на непогашенный остаток начисляются ежемесячно сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 24%. По какой цене контракт может быть приобретен банком, если он на ссуженные деньги начисляет ежемесячно сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 36%?

3.1.51.В банке получена ссуда на семь лет в сумме 600 тыс. руб. на условиях начисления сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года, причем при изменении процентной ставки меняется и размер годового платежа. Составить план погашения долга, если годовая процентная ставка в первые три года составляет 20%, в следующие два года - 25% и в последние два года - 30%.

292

3.2. Непрерывный и переменный аннуитеты

Основные положения

• Если в течение каждого базового периода денежные посту- пления происходят очень часто, так что промежутки между последовательными поступлениями представляют собой бесконечно малые величины, то аннуитет считают непрерывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью: одно и то же количество денежных единиц в единицу времени.

•Аннуитет называется переменным, если его члены различны по величине. Для оценки переменного аннуитета используют, вообще говоря, общие формулы оценки денежного потока.

•Если члены аннуитета изменяются в соответствии с некоторыми законами (в частности, образуют арифметическую или геометрическую прогрессию), то общие формулы для определения будущей или приведенной стоимости аннуитета можно упростить.

•Чтобы при оценке переменного аннуитета без явно выраженной зависимости между его членами пользоваться стандартными формулами, надо стараться представить этот аннуитет в виде суммы или разности постоянных аннуитетов.

Вопросы для обсуждения

1.Какой аннуитет называется непрерывным?

2.В каких случаях р-срочный аннуитет можно практически считать непрерывным? Приведите пример.

3.Каким образом можно получить формулы для оценки непрерывного аннуитета?

4.Имеет ли смысл говорить о непрерывном аннуитете как об аннуитете постнумерандо или пренумерандо?

5.Какой аннуитет называется переменным?

6.Приведите пример переменного аннуитета с постоянным абсолютным изменением его членов. Какую зависимость образуют члены такого аннуитета?

293

7.Приведите пример переменного аннуитета с постоянным относительным изменением его членов. Какую зависимость образуют члены такого аннуитета?

8.Приведите пример переменного аннуитета, при оценке которого можно воспользоваться формулами оценки постоянного аннуитета.

Типовые примеры и методы их решения

Пример 3.2.1. В течение 4 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 10 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу четвертого года при использовании процентной ставки 15% годовых, если начисление сложных процентов осуществляется: а) ежегодно; б) ежемесячно.

Решение, а) Полагаем л = 4, т = 1, г = 15%. Поскольку платежи поступают достаточно часто, будем считать, что они поступают непрерывным образом. Тогда можно воспользоваться формулой (134) при А-10 тыс. руб.:

1п(1 + ОД5)

Сравним этот результат со значением, полученным по формуле (122), полагая, что в году 360 дней и дан аннуитет постну-

Видим, что полученные величины отличаются незначительно (всего на 11 руб.). Кстати, считая, что имеем дело с аннуитетом пренумерандо, по формуле (126) находим:

i

FV* =53,581-(1 + ОД5)360 =53,602 тыс.руб.

294

Эта величина также мало отличается от 53,592 тыс. руб. (на Ю руб.). Значения же FY^ и FV£re незначительно отличаются

друг от друга, поскольку при частом (в данном случае - еже- дневном) поступлении денег разница между аннуитетами постнумерандо и пренумерандо начинает исчезать.

б) Так же как и в предыдущем случае, будем считать, что платежи поступают непрерывным образом. Поскольку при

т= 12 (и поэтому — = = 0,0125 ) табличным значением ко-

т12

эффициента наращения аннуитета воспользоваться нельзя, перед вычислением преобразуем немного формулу (134):

Предполагая же, что в условии говорится о постоянном аннуитете постнумерандо или пренумерандо, соответственно по

продукцию в течение трех лет, получая ежегодно выручку в размере 30 млн руб. Предполагается, что продукция в течение года будет продаваться более или менее равномерно. Оцените ожидаемые денежные поступления, если применяется непрерывная ставка 20% за год.

295

Решение. Поскольку в условии говорится о более или менее равномерном распределении продаж в течение года, то логично предполагать, что интенсивность потока выручки будет в какойто мере постоянной величиной, равной 30 млн руб. в год. Считая, что денежные поступления происходят непрерывно, воспользуемся формулами (137) и (138), определяющими соответственно будущую и приведенную стоимости непрерывного аннуитета. Полагая А = 30 млн руб., п = 3 , 5 = ОД, получим:

0.2 3 _ 1

FV<*b) = зо£ i = 123318 млн руб.; ОД

у _ -0,2-3

ваться уже найденным значением F V a ^ и формулой (78), из которой следует:

руо(Ь) = FVa(6) е-Ьп = 123318-е"0'6 = 67,678 млн руб.

Пример 3.2.3. Финансовая компания в течение пяти лет в соответствии со своими обязательствами должна выплачивать вкладчикам по 20 млн руб. ежегодно. Какой суммой должна располагать компания, чтобы иметь возможность выполнить обязательства, если норма доходности составляет 30% за год и выплаты происходят постоянно и достаточно равномерно?

Решение. Полагая, что выплаты происходят непрерывно с постоянной интенсивностью (т.е. моделируя ситуацию с помощью непрерывного аннуитета), для нахождения необходимой суммы воспользуемся формулой (135) определения приведенной стоимости аннуитета. Так как А =20 млн руб., п = 5, m = 1 и г = 30%, то:

Таким образом, обладая 55,7 млн руб., компания способна выполнить свои обязательства перед вкладчиками.

296

Пример 3.2.4. Имеется переменный аннуитет постнумерандо (тыс. руб.): 20, 12, 8, 45, 30. Рассчитайте: а) будущую стои- мость аннуитета; б) приведенную стоимость аннуитета, если его период совпадает с базовым периодом начисления процентов по сложной процентной ставке 25% годовых, т.е. равен одному году. Как изменятся полученные оценки, если исходный поток представляет собой аннуитет пренумерандо?

Решение, а) Обозначим (в тыс. руб.) Q =20, С2=12, С3 = 8, С4 = 45, С5 =30 и г = 0,25 . Изобразим схематично условие задачи на оси времени (одно деление равно одному году), помещая над осью члены аннуитета.

Для определения будущей стоимости аннуитета можно воспользоваться формулой (116). Для наглядности представим результаты расчетов в табличном виде.

Из таблицы видно, что на первое денежное поступление в размере 20 тыс. руб. начисляются сложные проценты за 4 года и оно в конце пятого года станет равным 20 -2,4414 = 48,828 тыс. руб.; на второе денежное поступление в размере 12 тыс. руб. начисляются сложные проценты за 3 года и оно в конце пятого года станет равным 12 1,9531 = 23,4372 тыс. руб. и т.д. Будущая стоимость аннуитета равна сумме наращенных поступлений, т.е. РУра =171,0152 тыс. руб.

297

б) Для определения приведенной стоимости аннуитета можно воспользоваться формулой (117). Как и в предыдущем случае, для наглядности представим результаты расчетов в табличном виде:

Таким образом, с позиции начала первого года приведенная стоимость 20 тыс. руб. составляет 20-0,8 = 16 тыс. руб., приведенная стоимость 12 тыс. руб. составляет 12 -0,64 » 7,68 тыс. руб. и т.д. Суммируя приведенные стоимости всех денежных поступлений, получим приведенную стоимость аннуитета

PVpst = 56,039 тыс. руб.

Конечно, при рассмотрении этого случая можно было воспользоваться уже ранее найденной будущей стоимостью FV^t,

аименно:

=• FA/2(25%.5) -171,0152 0^277 = 56,0417 тыс. руб.

Расхождение в 2 руб. 70 коп. (0,0027 тыс. руб.) является следствием по!решности вычислений.

Если же исходный поток является аннуитетом пренумерандо, то схематично условие задачи выглядит таким образом:

298

Для определения будущей и приведенной стоимости этого аннуитета пренумерандо можно воспользоваться полученными результатами и формулами (118) и (119):

FVpre = (1 + 0,25) = 171,0152-1,25 = 213,769 тыс. руб.;

PVp€ = PV$st • (1 + 0,25) = 56,039• 1,25 = 70,0488 тыс. руб.

Пример 3.2.5. Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 8 лет: а) в конце года; б) в начале года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 4 тыс. руб., а каждая следующая будет увеличиваться на 0,5 тыс. руб. Оцените этот аннуитет, если банк применяет процентную ставку 20% годовых и сложные проценты начисляются один раз в конце года. Как изменятся оценки аннуитета, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,5 тыс. руб.?

Решение, а) Согласно условию имеем переменный аннуитет постнумерандо с постоянным абсолютным изменением его членов и, следовательно, для оценки аннуитета воспользуемся формулами (140) и (141). По условиям соглашения >4=4 тыс. руб.,

т.е. результаты вычислений совпадают с точностью до второго знака после запятой (отличие на 3 руб.).

Если суммы будут уменьшаться, то z = -0,5 и, следовательно,

FV»i = ( 4 - ^ ) F7l/3(20%^)+^-44,749 тыс.руб.;

299

z

платежи, что лишено смысла, т.е. должно выполняться условие 4

п < 1 + — = 9. Таким образом, в данной ситуации (при л = 8) все платежи положительны.

б) Оценки аннуитета пренумерандо нетрудно получить, ис-

.Если же z = -0,5, то

РУрге = 44,749 • 1Д = 53,699 тыс. руб.;

РУрге = 10,408 1Д = 12,490 тыс. руб.

Нетрудно получить формулы оценки аннуитета, аналогичные формулам (140), (141), и для других ситуаций. Однако эти формулы приобретают несколько громоздкий вид. Например, если в переменном аннуитете постнумерандо с постоянным абсолютным изменением его членов начисление сложных процентов происходит m раз за период, то можно показать, что

300