29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

Так, если в условиях примера начисление сложных процен-

тов происходит в конце каждого квартала (т = 4), то — = 0,05 и

ш

для z « 0,5 получаем:

FM3(5%32) 0,5-8

+0,05.^3(5%,4)] FM3(5%,4) 0,05 - FA/3(5%,4) = 91,854 тыс. руб.

Пример 3.2.6. За 6 лет необходимо накопить 30 тыс. руб. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 800 руб. и процентная ставка равна 25% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года. Определите, на какую величину необходимо увеличивать каждый год денежное поступление, если первый вклад будет равен 2 тыс. руб.

Решение. Полагая в формуле (140) FVgst = 30 тыс. руб., z = 0,8 тыс. руб., п - 6 и г = 0,25, получим уравнение:

30 =V(Л +0,25' . 11^588 - 0,25 » из которого находим размер первого вклада:

Если же известна величина первого вклада А =2 тыс. руб. и неизвестна величина z абсолютного изменения денежных поступлений, то по формуле (140) получим:

откуда:

0,25(30 -2-11,2588) ,

301

Пример 3.2.7. По условиям контракта на счет в банке посту, пают в течение 7 лет в конце года платежи. Первый платеж равен 4 тыс. руб., а каждый следующий по отношению к предыдущему увеличивается на 10%. Оцените этот аннуитет, если банк начисляет в конце каждого года сложные проценты из расчета 28% годовых.

Решение. Поскольку ежегодно платежи увеличиваются в 1,1 раза (на 10%), то денежный поток представляет собой переменный аннуитет постнумерандо с постоянным относительным изменением его членов. Поэтому для оценки аннуитета воспользуемся формулами (143) и (144). Полагая А = 4 тыс. руб., п - 7, г = 0,28 и q «1Д, получим:

2 тыс. руб. на акцию. Согласно прогнозам дивиденды по акциям этой компании будут расти на 100 руб. ежегодно в течение неопределенно долгого времени. Сделайте вывод о целесообразности покупки акций компании по цене 12 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 24% годовых. Изменится ли ситуация, если дивиденды по акциям будут расти на 8% ежегодно в течение неопределенно долгого времени?

Решение. Полагая А - 2 тыс. руб., г = ОД тыс. руб. и г = 0,24, по формуле (142) оценки бессрочного аннуитета найдем истинную стоимость акции:

F V " + = 1 ° ' 0 6 9 ™ C p y 6

Так как истинная стоимость акции меньше ее цены, то не имеет смысла приобретать акцию.

Пусть теперь дивиденды по акциям растут на 8% в год, т.е. увеличиваются ежегодно в 1,08 раза. В этом случае истинная стоимость акции по формуле (145) при q -1,08 составит:

302

Таким образом, истинная стоимость акции больше ее цены, следовательно, имеет смысл ее приобретение.

Пример 3.2.9. Сдан участок в аренду на десять лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих условиях: в первые семь летпо 20 тыс. руб., в оставшиеся три года - по 12 тыс. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 22%.

Решение. Естественно, приведенная стоимость денежного потока должна оцениваться с позиции начала первого временнбго интервала. Решать данный пример можно различными способами в зависимости от того, какие аннуитеты будут выделены аналитиком. Во-первых, можно воспользоваться общей формулой (117). Представим еще три варианта решения.

а) Исходный поток можно представить как сумму двух аннуитетов: первый имеет А = 12 тыс. руб. и продолжается десять лег, второй имеет А = 8 тыс. руб. и продолжается первые семь лет. По формуле (121) можно оценить приведенную стоимость каждого аннуитета, а сумма этих оценок даст значение приведенной стоимости исходного денежного потока:

PV°st -12-FA/4(22%40) + 8- FA/4(22%,7) = = 12 • 3,9232 + 8 • 3,4155 = 74,402 тыс. руб.

б) Исходный поток можно представить как разность двух аннуитетов: первый имеет А = 20 тыс. руб. и продолжается десять лет; второй имеет А = 8 и, начавшись в восьмом году, заканчивается в десятом. По формуле (121) можно оценить приведенную стоимость каждого аннуитета. Однако второй аннуитет в этом случае будет оценен с позиции начала восьмого года, поэтому полученную сумму необходимо дисконтировать с помощью формулы (65) к началу первого года. В этом случае оценки двух аннуитетов будут приведены к одному моменту времени, а их сумма даст оценку приведенной стоимости исходного денежного потока.

PVpst «20• FM4(22%,10)-8• FA/4(22%3)• FM2(22%,7) «

= 20 • 3,9232 - 8 • 2,0422 • 0,2486 = 74,402 тыс. руб.

303

в) Исходный поток можно представить как сумму двух аннуитетов: первый имеет А - 20 тыс. руб. и продолжается семь лет; второй имеет А = 12 тыс. руб. и продолжается последние три года (т.е. является отсроченным аннуитетом). Поэтому по формулам (121) и (125) при Л = 7, получим:

PVpst = 20 • FM 4(22% J) + 12FAf 4(22%3) * FM2(22%J) =

= 20 • 3,4155 +12 • 2,0422 - 0,2486 = 74,402 тыс. руб.

Задачи

3.2.1.В течение 7 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 30 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу седьмого года при использовании сложной процентной ставки 24% годовых, считая, что платежи поступают непрерывным образом.

3.2.2.В течение 3 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 15 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу третьего года при использовании процентной ставки 18% годовых, если начисление сложных процентов осуществляется: а) по полугодиям; б) ежемесячно. Рассмотрите схемы постнумерандо и пренумерандо, полагая в году 360 дней. Можно ли в качестве приближения считать, что имеем дело с непрерывным аннуитетом?

3.2.3.Некоторое месторождение полезных ископаемых будет разрабатываться в течение 8 лет, при этом ожидается, что доходы от эксплуатации месторождения составят в среднем 300 млн руб. в год. Определите капитализированную (приведенную) стоимость ожидаемого дохода при использовании сложной процентной ставки 20% годовых и в предположении, что отгрузка и реализация продукции будут непрерывны и равномерны.

3.2.4.Финансовая компания в течение трех лет в соответствии со своими обязательствами должна выплачивать вкладчикам по 8 млн руб. ежегодно. Какой суммой должна располагать

304

компания, чтобы иметь возможность выполнить обязательства, если норма доходности составляет 25% за год н выплаты проис- ходят постоянно и достаточно равномерно?

3.2.5.Фирма намеревается выпускать некоторую продукцию

втечение четырех лет, получая ежегодно выручку в размере 40 млн руб. Предполагается, что продукция в течение года будет продаваться более или менее равномерно. Оцените ожидаемые денежные поступления, если применяется: а) сложная процентная ставка 22% годовых; б) непрерывная ставка 22% за год.

3.2.6.Определите приведенную стоимость непрерывного бессрочного аннуитета с суммарной величиной денежных поступлений, равной 50 тыс. руб. ежегодно, если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 30% годовых, причем сложные проценты начисляются: а) ежеквартально; б) непрерывно.

3.2.7.Имеется переменный аннуитет постнумерандо (тыс. руб.): 14, 40, 25, 10. Рассчитайте: а) будущую стоимость аннуитета; б) приведенную стоимость аннуитета, если его период совпадает с базовым периодом начисления процентов по сложной процентной ставке 30% годовых, т.е. равен одному году. Как изменятся полученные оценки, если исходный поток представляет собой аннуитет пренумерандо?

3.2.8.Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 7 лет: а) в конце года; б) в начале года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 6 тыс. руб., а каждая следующая будет увеличиваться на 0,3 тыс. руб. Оцените этот аннуитет, если банк применяет процентную ставку 22% годовых и сложные проценты начисляются один раз в конце года. Как изменятся оценки аннуитета, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,3 тыс. руб.?

3.2.9.За 10 лет необходимо накопить 50 тыс. руб. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 400 руб. и процентная ставка равна 20% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются

вконце года. Определите, на какую величину необходимо увеличивать каждый год денежное поступление, если первый вклад будет равен 1,5 тыс. руб.

20-*" 305

3.2.10.Компания за предыдущий год выплатила 3,2 тыс. руб. на акцию. Согласно прогнозам дивиденды по акциям этой компании будут расти на 200 руб. ежегодно в течение неопределенно долгого времени. Сделайте вывод о целесообразности покупки акций компании по цене 15 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 25% годовых.

3.2.11.По условиям контракта на счет в банке поступают в течение 6 лет в конце года платежи. Первый платеж равен 5 тыс. руб., а каждый следующий по отношению к предыдущему увеличивается на 12%. Оцените этот аннуитет, если банк начисляет

вконце каждого года сложные проценты из расчета 20% годовых. Оцените аннуитет, если платежи поступают в начале года.

3.2.12.За 5 лет необходимо накопить 40 тыс. руб. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 15% и процентная ставка равна 24% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года.

3.2.13.Компания за предыдущий год выплатила 1,5 тыс. руб. на акцию. Согласно прогнозам дивиденды по акциям этой компании будут расти на 6% ежегодно в течение неопределенно долгого времени. Сделайте вывод о целесообразности покупки акций компании по цене 14 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 18% годовых.

3.2.14.Сдан участок в аренду на 15 лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих условиях: в первые 10 лет - по 30 тыс. руб., в оставшиеся 5 лет - по 24 тыс. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 20%. Приведите несколько вариантов решения.

3.2.15.Арендовано оборудование сроком на десять лет. Плата за эксплуатацию оборудования будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих условиях: в первые 4 года - по 40 тыс. руб., в оставшиеся 6 лет - по 45 тыс. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 23%. Приведите несколько вариантов решения.

306

а) ежегодно сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 24%; б) ежеквартально сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 24%; в) непрерывные проценты с силой роста 24% за год.

Решение. Денежные поступления образуют постоянный аннуитет постнумерандо с А = 3 тыс. руб., сроком п = 12 лет и периодом и-2 года. Следовательно, период аннуитета больше базового периода начисления процентов, равного году. Схематично это выглядит таким образом:

а) В этом случае г = 24%, т = 1 и по формуле (146) получим:

б) Поскольку в этом случае начисление процентов ежеквартальное, то т = 4 и по формуле (146) получим:

Пример 3.3.2. Определите сумму, которую необходимо поместить на счет в банке, чтобы в течение 15 лет в конце каждого трехлетнего периода иметь возможность снимать со счета 8 тыс. руб., причем к концу срока полностью выбрать все деньги со счета, если на находящиеся на счете денежные суммы будут начисляться: а) ежегодно сложные проценты по ставке 20%; б) каждые полгода сложные проценты по ставке 20%; в) непрерывные проценты с силой роста 20%.

Решение. Во всех случаях надо определить приведенную стоимость постоянного аннуитета с Л = 8 тыс. руб., периодом и = 3 года и сроком л = 15 лет.

308

а) Так как г =20%, то, применяя формулу (147) при m = 1, получим:

в) Поскольку в этом случае начисляются непрерывные проценты с силой роста 6 « ОД, то по формуле (150) получим:

PVpst 1-е-**15 ~9'246

Пример 33.3. На счет в банке в начале каждого двухлетнего периода будет поступать по 8 тыс. руб. в течение 10 лет. Требуется определить: а) будущую стоимость аннуитета; б) приведенную стоимость аннуитета, если на поступающие суммы будут ежегодно начисляться декурсивные сложные проценты по ставке 22% годовых.

Решение. Согласно условию имеем аннуитет пренумерандо с членом А -14 тыс. руб., периодом и = 2 года и сроком л = 10

Пример 3.3.4. Предприниматель приобрел оборудование в кредит за 900 тыс. руб. под 25% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать долг

309

нужно равными суммами в конце каждого второго года и выплатить весь долг за 10 лет. Требуется определить величину каждого платежа и составить план погашения долга.

Решение. Обозначим через А величину каждого искомого платежа. Поток этих платежей представляет собой аннуитет постнумерандо, для которого PVpSt = 900000 руб., г = 25%, п = 10, m = 1, и-2. Поэтому для нахождения величины А можно воспользоваться формулой (147), из которой следует:

Теперь поясним составление плана погашения долга. Поскольку в течение первых двух лет предприниматель пользовался кредитом в размере 900000 руб., то платеж, который равен 567147 руб. и будет сделан в конце второго года, состоит из следующих двух частей: сложных процентов за два года в сумме 506250 руб.

(900000 • [(1 + 0Д5)2-1] руб.) и погашаемой часта долга в сумме 567147 - 506250 = 60897 руб. В следующем двухлетии расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользуется предприниматель, составит уже меньшую сумму по сравнению с первыми двумя годами, а именно: 900000 - 60897 = 839103 руб. Таким образом, сложные проценты за два года будут равны 471995 руб. (839103 -[(1 + 0.25)2 -1]руб.), а погашаемая часть долга

будет равна 567147 - 471995 = 95152 руб. и т.д. Ясно, что с течением времени сумма уплачиваемых процентов снижается, а доля платежа в счет погашения долга возрастает.

План погашения долга представим в виде таблицы.

310