29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3
.pdfКак и следовало ожидать, с увеличением срока растет и величина нового платежа.
Естественно, решать этот пример можно было, и не используя формулу замены платежей. Так, задание первого пункта можно было сформулировать таким образом: определите сумму, которую необходимо поместить в банк под сложную процентную ставку 30% годовых, чтобы через 2 года она стала равной 10 тыс. руб., Ьосле чего применить формулу (66). Аналогичные соображения можно высказать и по вопросу второго пункта примера.
Пример 2.6.2. Платеж 20 тыс. руб. со сроком уплаты через 8 лет предполагается заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет. Определите величину нового платежа, если применяется: а) сложная процентная ставка 32% годовых; б) сложная учетная ставка 32% годовых; в) непрерывная ставка 32% за год.
Решение, а) В этом случае, как и в предыдущем примере,
пользуемся формулой PQ = Р\(1 + г)п °~т , |
где Р]=20 тыс. руб., |
п\ =8,WQ = 5,Г = 032: |
|
Р0 = 20 • (1 + 032)5"8 = |
= 8,696 тыс. руб. |
(1 + 032) |
|
б) Так как применяется сложная учетная ставка, то в формуле (112) а = (1 - d)"1 и сама формула принимает вид:
Po^Piil-d?*-"0 . Поскольку d = 0,32, то
PQ = 20 -(1 - 032)8"5 = 20 • (1 - 032)3 = 6Д89тыс. руб.
в) В случае непрерывных процентов в формуле (112) а = еб , следовательно,
p^p/t"*)-"!). Полагая 6 = 0,32, получим:
Р0 = 20-е"Ю'32'3 = 7,658 тыс. руб.
251
Заметим, что если в пунктах а) и б) увеличивать число начислений процентов в году, то величина нового платежа в случае а) будет уменьшаться, приближаясь к 7,658 тыс. руб., а в случае б) - увеличиваться, приближаясь также к 7,658 тыс. руб.
Пример 2.63. Определите величину нового срока, если платеж 15 тыс. руб. через 3 года заменяется платежом: а) 8 тыс. руб.; б) 21 тыс. руб. При расчетах учитывать возможность помещения денег под процентную ставку 28% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов.
Решение. Так как можно вложить деньги под сложную про-
|
|
|
|
|
( |
г< |
т т |
||
центную ставку, то в формуле (113) а- |
|
>) |
и формула |
||||||
|
1 + — |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
принимает следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
По |
+ |
у |
1— |
|
|
|
|
|
а) Поскольку в рассматриваемом случае |
= 15 тыс. руб., |
||||||||
Р0 = 8 тыс. руб., |
щ « 3, т = 4 , |
r ( m ) = г( 4 ) |
= 0,28, то согласно |
||||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п0 |
. |
1п81п15 |
= 0,677 года. |
|
|
||||
в 3 + |
у— |
ч |
|
|
|||||
Таким образом, если в году 365 дней, то |
= 247 дней, |
||||||||
б) Полагая Р0 = 21 тыс. руб., получим: |
|
|
|
|
|
||||
|
_ |
1п21 -1п15 |
|
|
|
|
|
|
|
«0=3 + |
? |
—г = 4,243 года. |
|
|
|||||
Таким образом, новый срок составит 4 года 89 дней. Естественно, с ростом величины нового платежа растет и его срок.
Заметим, что если в формуле (113) для сложной процентной ставки перенести щ в левую часть равенства и обозначить
Р\ = Р, Po = Fn, HQ - wj = л, то получим формулу (60). Подобные
252
суждения можно высказать и о связи формулы (113) (при соответствующих обозначениях) с формулами (71) и (79).
Пример 2.6.4. Согласно контракту господин N обязан уплатить кредитору суммы 20,30 и 50 тыс. руб. соответственно через 1 год 6 месяцев, 2 и 4 года. Однако он хочет вернуть долг одним платежом через 3 года 6 месяцев. Найдите величину консолидированного платежа, если применяется сложная процентная ставка 36% годовых. Через какое время господин N должен выплатить весь долг, если консолидированный платеж будет равен сумме выплат по первоначальному контракту? Как изменятся результаты при ежеквартальном начислении сложных процентов?
Решение. Так как применяется сложная процентная ставка, то формула (114) при а = 1 + г принимает вид:
/
ъ-Лъо+г)9*-**.
1 Полагая Рх = 20 тыс. руб., Р2 = 30 тыс. руб., Ръ = 50 тыс.
руб., /ij = 1,5, П2 - 2, л3 • 4, по = 3,5, г = 0,36, находим величину консолидированного платежа:
Р0 =20 (1 + 036)3-5"1-5 +30.(1 + 036)3 ^2 +50.0 + 036)3-5"4 = = 127,447 тыс. руб.
Если же господин N решает выплатить весь долг суммой 20 + 30 + 50 = 100 тыс. руб., то для определения срока выплаты воспользуемся формулой (115), где а = 1 + г и Р0 = 100 тыс. руб.:
и |
InlOO - 1п[20 • Q36у » + 30 • (U6)"2 + 50 • (1,36)-* ] ~ 7 1 1 r n m i |
*0= |
= 2,711 года. |
Обратим внимание, что срок щ можно найти, используя уже известную величину консолидированного платежа, а именно исходя из условия, что платеж в сумме 127,447 тыс. руб. через 3 года 6 месяцев заменяется платежом в сумме 100 тыс. руб. Тогда можно воспользоваться формулой (113):
Id 100-In127,447 |
0 < | | . |
|
лл =3,5 + |
—-—: |
= 2,711 года. |
ю |
1п(1 + 0,36) |
|
Естественно, получили тот же результат.
253
Если же в расчетах используется годовая номинальная про-
центная ставка |
, то а =f,1+ ' ( |
m ) f ,и формула (114) прини- |
мает вид: |
т |
) |
|
|
т(л0-л*)
S i "И
Полагая т = 4, Л4* = 036, определяем выплату через 3 года 6 месяцев:
4(3.5-2)
+50 |
( ПЧЙ^3 |
'5-4) |
|
= 132,248 тыс. руб. |
|
|
|
В случае выплаты всего долга в сумме 100 тыс. руб. для определения срока выплаты воспользуемся формулой (115), которая в этих условиях принимает вид:
|
|
I |
f .(»>) |
-тпк |
|
|
to^o-lnJV* |
1 + - |
|
|
«0 = |
к=\ |
т |
|
|
|
Лт) |
/ |
|
|
|
/м1п(1+——) |
|
|
|
|
|
т |
|
и, следовательно, искомый срок будет равен: |
||||
"0 |
lnlOO - 1п[20 • (1,09)~6 + 30 • (1,09)~8 + 50(Ц)9)-16] = |
|||
|
4lnl,09 |
|
|
|
Конечно, этот же результат можно было получить и по формуле (113), полагая Р0 = 100 тыс. руб., Р\ =132,248 тыс. руб., i»t =3,5:
, в |
In 100-In132,248 |
0 , 0 0 |
«0 = 3,5 + |
Т |
= 2,689 года. |
|
4 In1,09 |
|
254
Пример 2.6.5. В соответствии с контрактом предприниматель обязан выплатить кредитору 12 тыс. руб. через 9 месяцев, после этого через 1 год - 15 тыс. руб. и еще через 1 год 6 месяцев - 18 тыс. руб. Предприниматель предлагает выплатить 30 тыс. руб. через 2 года и еще 20 тыс. руб. - через 2 года после первой выплаты. Являются ли эти контракты эквивалентными, если есть возможность помещения денег в банк под номинальную процентную ставку 32% годовых с начислением сложных процентов по полугодиям?
Решение. Как известно, два контракта считаются эквивалентными, если приведенные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинаковы. В качестве даты приведения примем дату, от которой измеряются все сроки.
Поскольку сроки выплат по первому контракту соответственно равны 0,75 года (9 месяцев), 1,75 года (9 месяцев + 1 год), 3,25 года (9 месяцев + 1 год + 1,5 года), то сумма приведенных стоимостей потоков платежей по первому контракту составит:
1 2 |
1 5 |
1 8 |
=25387 тыс. руб. |
+( 1 + 0 | 2 ) Н "
Аналогичным образом для второго контракта получим (за032
писывая 1 + -Z— = 1Д6)
2
3 0 |
2 0 |
= 22,669 тыс. руб. |
1Д622 |
1Д624 |
Следовательно, контракты не эквивалентны: первый контракт для кредитора выгоднее.
Пример 2.6.6. Предприниматель купил у господина N грузовой автомобиль, заключив контракт, согласно которому предприниматель должен уплатить господину N 22 тыс. руб. через 9 месяцев, 40 тыс. руб. - через 3 года и 28 тыс. руб. - через 4 года 6 месяцев с момента покупки. Господин N хочет сразу же продать этот контракт банку. Какую сумму может заплатить банк господину N, если банк за предоставленный кредит начисляет: а) сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 30%; б) непрерывные проценты с силой роста 30%?
255
Решение. По существу необходимо решить задачу консоли-
дации платежей: заменить платежи /| = 22 |
тыс. руб., |
Р2 = 40 |
|||||
тыс. руб., Р3 =28 тыс. руб. со сроками соответственно |
пх =0,75 |
||||||
года, п2 = 3 года, л3 = 4,5 |
года одним платежом |
с о сроком |
|||||
«о - 0 (т.е. сразу осуществить выплату всего долга). |
|
|
|||||
а) В этом случае пользуемся формулой (114) при |
|
д = 1 + г, |
|||||
где г = 03 : |
|
|
|
|
|
|
|
Ль« |
2 2 _ + _ 4 0 |
+ |
28 |
= |
5 т ы с |
||
0 |
(i+оз)0'75 (1+оз) |
0+оз)4-5 |
|
|
|
||
Таким образом, банк может заплатить за контракт не более 44,875 тыс. руб.
б) Так как здесь используется непрерывная ставка, то формула (114) при а = еъ принимает вид:
/
кш1 Полагая 6 = 03, определяем искомую сумму:
Р0 =22.е0-3(ч,'75)+40 е 0 ' 3 ^ 3 > + 2 8 = 4 1 f 0 8 9 тыс.руб.
Пример 2.6.7. Согласно финансовому соглашению господин N должен выплатить банку 10 тыс. руб. через 2 года и 30 тыс. руб. - через 5 лет с момента заключения соглашения. Господин N предлагает заменить это соглашение эквивалентным: осуществить выплаты тремя равными платежами, сделав первый платеж через 1 год. второй - через 3 года 6 месяцев и третий - через 8 лет. Какой величины должен быть каждый из этих платежей, если банк на предоставленный кредит начисляет каждые полгода сложные проценты по номинальной процентной ставке 36% годовых?
Решение. Обозначим через х величину каждого нового платежа. Схематично условие задачи можно изобразить на оси времени (одно деление равно полугодию, т.е. равно периоду начисления процентов) следующим образом: над осью помещаются платежи (в тыс. руб.) по первому контракту, а под осью - по новому контракту.
256
10 |
30 |
|
L 1 1 1 1 1 1 |
I I I I I I I I I ! |
• |
о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 / п о л у . x x x годий
Приведем все платежи к моменту 0 и приравняем суммы приведенных платежей по первому и по новому контрактам:
10 30 х х х
Отсюда следует: |
|
|
|
|
|
( 10 |
30 |
V 1 |
1 |
I ) П П 1 П |
- |
х = — - +—тг |
• — y + |
=- +—тт- =12,010 тыс.руб. |
|
||
,Ц84 |
1Д8 |
J |
1Д8 |
1Д8 J |
|
Обратим внимание, что такой же результат получим, выбрав в качестве момента приведения любой другой момент времени. Пусть, например, в качестве момента приведения выбрано начало шестого года (т.е. конец пятого года). В этом случае уравнение эквивалентности примет вид:
10-1Д86 +30 = Х-1Д88 + Х-1Д83 + _ . 1Д8
Поделив обе части уравнения на 1Д810, получим такое же
уравнение, что и раньше.
Пример 2.6.8. Имеется обязательство выплатить суммы 30 тыс. руб. и 80 тыс. руб. соответственно через 2 года и 6 лет. По обоюдному согласию стороны пересматривают порядок выплат: 20 тыс.
руб. выплачивается через 1 год, 40 тыс. руб. - через 4 года, остаток долга погашается через 8 лет. Определите величину третьего платежа, если в расчетах используется сложная процентная ставка 28% годовых.
Решение. Обозначим через х величину остатка долга. Изобразим схематично условие задачи на оси времени (одно деление равно одному году): над осью помещаем платежи (в тыс. руб.) по первоначальному обязательству, а под осью - по пересмотренному обязательству.
17-»- |
257 |
|
|
30 |
|
|
|
80 |
|
|
|
|
J |
I |
I |
I |
I |
I |
I |
I |
1 I |
I |
* |
|
0 1 |
2 3 4 5 6 7 8 9 |
10 |
/ л е т |
||||||
|
20 |
|
|
40 |
|
|
|
x |
|
|
Выбирая за дату приведения момент заключения финансового соглашения, запишем уравнение эквивалентности:
30 |
^ 80 |
_ |
20 ^ |
40 |
^ |
х |
(1 + 0Д8)2 |
(1 + 0Д8)6 ~ 1 + 0,28 |
(1+0Д8)4 |
(1+0,28)® " |
|||
Решая это |
уравнение |
относительно |
|
х, находим |
||
х = 43,049 тыс. руб.
Задачи
2.6.1.Платеж 18 тыс. руб. и со сроком уплаты через 5 лет требуется заменить платежом со сроком уплаты через: а) 3 года; б) 8 лет. Определите величину нового платежа, если применяется сложная процентная ставка 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов.
2.6.2.Платеж 30 тыс. руб. со сроком уплаты через 7 лет предполагается заменить платежом со сроком уплаты через 3 года . Определите величину нового платежа, если применяется: а) сложная процентная ставка 40% годовых; б) сложная учетная ставка 40% годовых; б) непрерывная ставка 40% за год.
2.6.3.Определите величину нового срока, если платеж 12 тыс. руб. через 4 года заменяется платежом: а) 6 тыс. руб.; б) 16 тыс. руб. При расчетах учитывать возможность помещения денег под сложную процентную ставку 32% годовых.
2.6.4.Платеж 24 тыс. руб. со сроком уплаты через 5 лет предполагается заменить платежом 1S тыс. руб. Определите величину нового срока, если применяется: а) процентная ставка 34% годовых с полугодовым начислением сложных процентов; б) учетная ставка 34% годовых с полугодовым начислением сложных процентов; б) непрерывная ставка 34% за год.
2.6.5.Три платежа 8, 15 и 25 тыс. руб. со сроками выплат соответственно через 1 год, 2 года 6 месяцев и 3 года заменяются
258
одним платежом, выплачиваемым через 2 года, при этом применяется сложная процентная ставка 32% годовых. Найдите величину консолидированного платежа. Какой будет срок выплаты, если консолидированный платеж будет равен сумме исходных платежей? Как изменятся результаты при ежемесячном начислении сложных процентов?
2.6.6.Платежи 10, 40, 20 и 3S тыс. руб. со сроками выплат соответственно через 1 год 6 месяцев, 3 года 6 месяцев, 4 и 5 лет заменяются одним платежом 70 тыс. руб. Определите срок консолидированного платежа, если в расчетах применяется: а) процентная ставка 28% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов; б) учетная ставка 28% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов; в) непрерывная ставка с силой роста 28% за год.
2.6.7.В соответствии с контрактом господин N обязан выплатить банку 16 тыс. руб. через полгода, после этого через 1 год - 12 тыс. руб. и еще через 2 года - 24 тыс. руб. Господин N предлагает выплатить 35 тыс. руб. через 3 года и еще 60 тыс. руб. - через 2 года после первой выплаты. Являются ли эти контракты эквивалентными, если банк на предоставленный кредит каждый квартал начисляет сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 36%? В случае неэквивалентности контрактов укажите, какой из них выгоднее для господина N.
2.6.8.В соответствии с контрактом предприниматель обязан выплатить кредитору 12 тыс. руб. через 9 месяцев, после этого через 1 год - 15 тыс. руб. и еще через 1 год 6 месяцев - 18 тыс. руб. Предприниматель предлагает выплатить долг равными платежами через 2 года и еще через 2 года после первой выплаты. Какой величины должна быть каждая выплата, чтобы эти контракты были эквивалентными, если есть возможность помещения денег в банк под номинальную процентную ставку 32% годовых с начислением сложных процентов по полугодиям?
2.6.9.Предприниматель купил у поставщика сырье, заключив контракт, согласно которому предприниматель должен уплатить поставщику 50 тыс. руб. через 3 месяца, 25 тыс. руб. - через 9 месяцев и 35 тыс. руб. - через 1 год 6 месяцев с момента покупки. Поставщику необходимы деньги, поэтому он хочет продать контракт финансовой компании. Компания купит контракт при условии начисления на свои деньги ежемесячно
17* |
259 |
сложных процентов по номинальной процентной ставке 30% годовых. Какую сумму получит предприниматель от финансовой компании, если он продаст контракт: а) в момент его заключения; б) через 2 месяца после его заключения?
2.6.10.Согласно финансовому соглашению господин N должен выплатить банку 5 тыс. руб. через 1 год, 15 тыс. руб. - через 2 года 6 месяцев и 10 тыс. руб. - через 4 года с момента заключения соглашения. Господин N предлагает заменить это соглашение эквивалентным: осуществить выплаты четырьмя равными платежами, сделав первый платеж через полгода, второй - через 1 год 6 месяцев, третий - через 3 года и четвертый - через 5 лет. Какой величины должен быть каждый из этих платежей, если банк начисляет на предоставленный кредит по полугодиям сложные проценты по номинальной процентной ставке 28% годовых?
2.6.11.Имеется обязательство выплатить суммы 60 тыс. руб.
и90 тыс. руб. соответственно через 3 года и 5 лет. По обоюдному согласию стороны пересматривают порядок выплат: 15 тыс.
руб. выплачиваются через 1 год 6 месяцев, 45 тыс. руб. - через 2 года, 50 тыс. руб. - через 6 лет, остаток долга погашается через 7 лет. Определите величину четвертого платежа, если на деньги начисляются ежеквартально сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 32%.
2.6.12.Платеж в 120 тыс. руб. со сроком уплаты через 5 лет заменяется на четыре равных платежа с выплатами соответственно через 2, 4, 6 и 9 лет. Какова величина этих платежей, если
врасчетах применяется непрерывная ставка с силой роста 26%?
2.6.13.В соответствии с соглашением заемщик обязан выплачивать долг кредитору в конце каждого квартала в течение двух лет платежами 8 тыс. руб. Какова должна быть величина платежей при выплате этого долга равными полугодовыми платежами, если в расчетах используется годовая номинальная процентная ставка 32% с ежеквартальным начислением сложных процентов?
2.6.14.По условиям контракта предприниматель в течение трех лет в конце каждого квартала должен выплачивать некоторой фирме по 30 тыс. руб. Через год, сделав четыре платежа, предприниматель предложил через квартал выплатить весь оставшийся долг. Какая сумма должна быть выплачена, если расчеты осуществляются по годовой номинальной процентной ставке 36% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов?
260