29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

т

Воспользуемся последней формулой для нахождения реальной доходности предложения банка при полугодовом начислении сложных процентов:

18 тыс. руб. Найдите реальную доходность этой финансовой операции в виде эффективной учетной ставки, если среднегодовой темп инфляции ожидается равным 14%.

Решение. Так как ивдекс цен за 3 года равен /<3> = (1 + ОД4) =1,4815, то по своей покупательной способности

45 тыс. руб. через 3 года составят величину1,481545 = 30,375 тыс. руб. Подставляя в формулу (75) л = 3, Р = 18, F3 = 30,375, находим:

Можно было решить этот пример, определяя вначале реальную доходность ь виде годовой эффективной процентной ставки:

А затем по формуле (26) при п -1, г = ref или по формуле (3) при r( = ref найти эквивалентную ставку d€f:.

Пример 2.5.14. Господин N получил в банке кредит на 4 года, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5% от величины кредита. Определите действительную доходность для банка такой финансовой операции в виде годовой эффективной процентной ставки, если банк начисляет каждые полгода сложные проценты на исходную сумму кредита по номинальной процентной ставке 42% годовых и прогнозируемый ежегодный темп инфляции составляет 28%.

Решение. Обозначим через Р величину кредита, тогда величина удержанных комиссионных составит 0,0 \5Р, и, следовательно, господину N будет выдана сумма Р-0,015Р = 0,985/*. За 4 года с учетом инфляции величина кредита вместе с начисленными процентами составит (формулы (42) и (104)):

Теперь доходность финансовой операции в виде эффективной процентной ставки находим по формуле (64):

В данном случае вычисления можно несколько сократить,

242

Если инфляции нет, то

т.е. доходность, конечно, больше, чем при наличии инфляции. Пример 2.5.15. Под какую годовую номинальную процент-

ную ставку на условиях начисления ежемесячно сложных процентов необходимо поместить денежную сумму, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась за год на 25% с учетом уплаты налога на проценты, если ставка налога на проценты равна 12% и ежеквартальный темп инфляции равен 10%? Если наращение осуществляется по годовой номинальной учетной ставке с ежеквартальным начислением сложных процентов, то какой величины должна быть эта ставка?

Решение. Годовой индекс инфляции определяем по формуле (42):

искомую процентную ставку. Наращенная сумма без учета инфляции в соответствии с формулой (58) составит

\П

J'(,2)>! и, следовательно, начисленные проценты равны:

К- Л 1 + -

- Ч -

С этой величины в счетЧ-уплатыТГ налога на проценты пойдет сумма ОД2/, и поэтому после уплаты величина наращенной суммы составит:

4 „ 4 2 t „ , s | u _ j

Полученная сумма должна быть больше исходной на 25%, т.е. в 1,25 раза. Таким образом:

Сокращаем обе части уравнения на Р и решаем уравнение

относительно г*12*. После ряда алгебраических преобразований получим:

г<12>=12'11,25-1,4641-ОД 2 -1 = 0,6831,

J 0,88

т.е. /-(12) =68,31% годовых.

Если наращение осуществляется по учетной ставке dS^, то, используя формулу (77), получим:

-•К) \-4 - 1 ] .

После уплаты налога величина наращенной суммы составит:

Р + 0,88/ = Р[0Д2 + 0,88f . - a " 4 , .

Поскольку полученная сумма по своей покупательной способности должна быть больше исходной в 1,25 раза, то

Р[ 0,12 +-0,88К ] ] 1,46411 • 1,25Р.

Сокращая обе части уравнения на Р и решая уравнение относительно , получим:

244

Заметим, что такой же результат получим, и определяя по формуле (92) учетную ставку d , эквивалентную процентной ставке г( 1 2 ) =68,31% при т = 4, / = 12:

12

^)=4[l-(^l + M H j " 4 ] = 0,6121.

Задачи

2.5.1.На вклад начисляются сложные проценты: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежеквартальный темп инфляции составляет 15%?

2.5.2.Номинальная процентная ставка, лишь компенсирующая при наращении действие инфляции, составляет 48% годовых. Определите инфляцию за квартал, если начисление сложных процентов осуществляется каждый месяц.

2.5.3.На некоторую сумму в течение четырех лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время за каждый год последовательно составит 8, 12, 16 и 6%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма по своей покупательной способности не уменьшилась?

2.5.4.Сила роста, лишь компенсирующая при непрерывном начислении процентов действие инфляции, составляет 18% за год. Определите инфляцию в среднем за месяц.

2.5.5.На вклад в течение 18 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна бьггь годовая процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 12%?

2.5.6.На вклад 80 тыс. руб. каждые полгода начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 34%. Оцените сумму вклада через 2,5 года с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции - 1,5%

вмесяц. Какова должна быть величина номинальной положительной процентной ставки? Как изменится ситуация, если темп инфляции будет 3% в месяц?

245

2.5.7.В финансовом соглашении были предусмотрены следующие номинальные процентные ставки: за первый квартал - 30% годовых; за второй квартал - 36% годовых; за третий и четвертый кварталы - 39% годовых. Индексы инфляции за кварталы оказались равными соответственно 1,15; 1,1; 1,2 и 1,25. Определите множитель наращения за год с учетом инфляции, если

втечение года ежемесячно начислялись сложные проценты.

2.5.8.Кредит в сумме 150 тыс. руб. выдается сроком на 5 лет при условии начисления сложных процентов. Какова должна быть процентная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции составляла 20% годовых по ставке сложных процентов? Чему будет равна погашаемая сумма? На этот период прогнозируется рост цен в 2,6 раза.

2.5.9.На выданный кредит в размере 100 тыс. руб. в течение 4 лет будут начисляться сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какую номинальную годовую процентную ставку необходимо установить, чтобы происходило реальное наращение капитала по номинальной процентной ставке 32% годовых, если ожидаемый темп инфляции - 18% в год? Определите наращенную сумму, которую необходимо будет вернуть.

2.5.10.Кредит в размере 180 тыс. руб. выдается сроком на 3 года при условии начисления непрерывных процентов. Какова должна быть непрерывная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции в виде силы роста составляла 24% за год? Чему будет равна погашаемая сумма? Расчетный индекс цен за срок кредита принимается равным 1,9.

2.5.11.Предприниматель получил в банке ссуду на два года.

Впервый год индекс цен составил 1,4, во второй - 1,1. Во сколько раз реальная сумма долга (по своей покупательной способности) к концу срока будет больше выданной банком суммы, если банк начислял: а) ежемесячно сложные проценты по номинальной процентной ставке 40% годовых; б) ежеквартально сложные проценты по номинальной учетной ставке 40% годовых; в) непрерывные проценты с силой роста 40% за год?

2.5.12.При выдаче кредита на несколько лет на условиях начисления сложных процентов банк желает обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 22% годовых по сложной ставке процентов. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, если инфляция прогнозируется в среднем 14% в год?

246

2.5.13.На какой срок при годовом темпе инфляции 15% необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под: а) сложную процентную ставку 30% годовых; б) сложную учетную ставку 30% годовых; в) силу роста 30% за год, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась в 1,4 раза?

2.5.14.На какой срок при годовом темпе инфляции 18% необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под номинальную процентную ставку 44% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась в 1,5 раза?

2.5.15.Господин N, имея 50 тыс. руб., хочет получить, поместив деньги на депозит, через 4 года не менее 80 тыс. руб. с точки зрения их покупательной способности. Имеет ли смысл ему обращаться в банк, использующий номинальную процентную ставку 28% годовых на условиях начисления сложных процентов: а) ежегодно; б) ежемесячно? Прогнозируемый темп инфляции составит 15% в год.

2.5.16.Определите реальную доходность в виде процентной ставки при помещении денежных средств на год под сложную процентную ставку 36% годовых, если предполагаемый уровень инфляции за год составит: а) 20%; б) 36%; в) 55%.

2.5.17.Определите реальную номинальную годовую процентную ставку при годовом темпе инфляции 25%, если объявленная исходная номинальная процентная ставка составляет 30% годовых и сложные проценты начисляются ежемесячно. Какова должна быть номинальная годовая процентная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно исходной номинальной процентной ставке 30% годовых?

2.5.18.Определите реальную номинальную годовую учетную ставку при годовом темпе инфляции 20%, если объявленная исходная номинальная учетная ставка составляет 36% годовых и сложные проценты начисляются ежеквартально. Какова должна быть номинальная годовая учетная ставка, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно исходной номинальной учетной ставке 36% годовых?

2.5.19.Определите реальную силу роста за год в условиях начисления непрерывных процентов и при годовом темпе инфляции 30%, если исходная сила роста составляет 40% за год. Какова должна быть сила роста, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно исходной непрерывной ставке 40%?

247

2.5.20.Банк предлагает клиентам поместить деньги на депозит на 2 года под процентную ставку 44% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Найдите реальную доходность такого предложения в виде годовой эффективной процентной ставки, если предполагаемый индекс цен за 2 года составит 1,6. Чему будет равна реальная доходность при ежемесячном начислении сложных процентов?

2.5.21.Банк предлагает клиентам поместить деньги на депозит на 2,5 года на условиях начисления непрерывных процентов

ссилой роста 38% за год. Найдите реальную доходность такого предложения в виде годовой эффективной процентной ставки, если предполагаемый индекс цен за 2,5 года составит 1,8.

2.5.22.Индексы роста вклада за 3 года, следующие друг за другом, составили 1,52; 1,41 и 1,64. Какова реальная доходность такого использования денежных средств в виде годовой эффективной процентной ставки при среднегодовой инфляции 30%?

2.5.23.На сумму 50 тыс. руб. в течение трех лет начислялись ежеквартально сложные проценты по следующим номинальным процентным ставкам: в первом году - 36% годовых, во втором - 40% годовых, в третьем - 44% годовых. Темпы инфляции по годам соответственно составили 20, 10 и 30%. Определите наращенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность владельца счета в виде годовой эффективной процентной ставки.

2.5.24.На сумму 20 тыс. руб. в течение четырех кварталов начислялись непрерывные проценты со следующими значениями силы роста за год: в первом квартале - 35%, во втором - 42%, в третьем - 48% и в четвертом - 55%. Среднемесячные темпы инфляции за кварталы оказались равными соответственно 3, 1, 1,5 и 2%. Найдите наращенную сумму с учетом инфляции и реальную доходность владельца счета в виде годовой процентной ставки.

2.5.25.Вексель на сумму 60 тыс. руб. был учтен за 4 года до срока погашения, и предъявитель векселя получил 25 тыс. руб. Найдите реальную доходность этой финансовой операции в виде эффективной учетной ставки, если среднегодовой темп инфляции ожидается равным 15%.

2.5.26.Банк начисляет ежеквартально сложные проценты на вклады по номинальной годовой процентной ставке 42%. Опре-

248

делите в виде простой годовой процентной ставки реальную стоимость привлеченных средств для банка при их размещении на 15 месяцев, если среднемесячный темп инфляции равен 2%.

2.5.27.Предприниматель получил в банке кредит на 2 года, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 2% от величины кредита. Определите действительную доходность для банка такой финансовой операции в виде годовой эффективной процентной ставки, если банк начисляет ежемесячно сложные проценты на исходную сумму кредита по номинальной процентной ставке 45% годовых и прогнозируемый ежегодный темп инфляции составляет 30%.

2.5.28.Господин N получил в банке кредит на 5 лет, при этом банком были удержаны комиссионные в размере 1,5% от величины кредита. Какова действительная доходность для банка такой финансовой операции в виде годовой эффективной процентной ставки, если банк начисляет непрерывные проценты на исходную сумму кредита с силой роста 30% за год и ожидается ежегодный темп инфляции, равный 26%?

2.6.Замена платежей и сроков их выплат

Основные положения

•Как и в случае простых процентов, при любой замене платежей в условиях использования сложных процентов должен выполняться принцип финансовой эквивалентности, соблюдение которого обосновывается составлением соответствующего уравпения эквивалентности. Согласно этому уравнению сумма заменяемых платежей, приведенных к одному моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому соглашению, приведенных к тому же моменту времени.

•В отличие от случая простых процентов при использовании сложных процентов расчет приведенных стоимостей можно осуществлять на любой момент времени. От изменения момента приведения в случае сложных процентов значения новых искомых характеристик не меняются.

249

•При консолидации (объединении) платежей (в случаях и сложных, и простых процентов) возникают две задачи: либо определение величины консолидированного платежа при известном сроке, когда этот платеж должен быть сделан, либо определение срока известного консолидированного платежа.

•Два контракта считаются эквивалентными, если приведенные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинаковы.

Вопросы для обсуждения

1.Что можно сказать о моменте приведения при составлении уравнения эквивалентности, решающего задачу замены платежей в случае использования сложных процентов? Верны ли аналогичные выводы для случая простых процентов?

2.Какие две задачи возникают при консолидации платежей?

3.Можно ли трактовать формулы наращения сложными и непрерывными процентами как один из случаев замены одного платежа другим?

Типовые примеры и методы их решения

Пример 2.6Л, Платеж 10 тыс. руб. и со сроком уплаты через 4 года требуется заменить платежом со сроком уплаты через: а) 2 года; б) 9 лет. Определите величину нового платежа, если применяется сложная процентная ставка 30% годовых.

Решение, а) Поскольку применяется сложная процентная ставка, то в формуле (112) а = 1 + г и сама формула принимает вид:

Р0 = Рх(1 + г)п*-п*

Полагая Рх = 10 тыс. руб., пх = 4,hq = 2,г = 0,3, получим:

/>0 = Ю • (1 + 03)9"4 = Ю • (1 + 03)5 = 37Д29 тыс. руб.

250