29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

Решение. Поскольку индекс инфляции за первый год равен 1,15, за второй - 1,2 и за третий - 1,1, то индекс инфляции за 3

года составит:

/<3)=1Д5^.Ц = У18.

Пусть 5 - сила роста за год, позволяющая первоначальной сумме только сохранить свою покупательную способность. Приравнивая индекс инфляции за три года к множителю наращения за это же время, получим ез ь = I , отсюда:

5 - - jlnl,518 = ОД391.

Следовательно, сйла роста (интенсивность наращения) должна превышать 13,91 % за год.

Пример 2.5.4. На вклад в течение 15 месяцев начисляются проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 8%?

Решение, а) Так как темп инфляции за каждый квартал равен 8%, то индекс инфляции за каждый квартал (0,25 года) равен 1,08. Поэтому индекс инфляции за 15 месяцев (1,25 года, или 5 кварталов) составит:

/<Р5)=1,085 = 1,4693.

Обозначим через г искомую годовую процентную ставку и приравняем этот индекс инфляции к множителю наращения при использовании схемы сложных процентов:

(иг)1*25 =1,4693.

Отсюда:

1 г « ^ З 1 - 2 5 -1 = 0,3605.

Таким образом, в этом случае ставка должна превышать 36,05% годовых.

При рассмотрении этого случая можно было рассуждать и таким образом. При инфляции 8% за каждый квартал годовой

темп инфляции составит 1,084 -1 = 0,3605 = 36,05%. Реальное же

231

наращение капитала будет происходить, если годовая процентная ставка превышает годовой темп инфляции, т.е. г > 36,05%.

б) Пусть теперь применяется смешанная схема. Приравнивая индекс инфляции за 1,25 года к множителю наращения, получим квадратное уравнение относительно г:

(1 + г)(1 + 0Д5г) = 1,4693.

Решая уравнение, определяем корни: ц = -5,3508, т2 = 0,3508. Очевидно, что по смыслу первый корень не подходит. Следовательно, при использовании смешанной схемы ставка должна превышать 35,08% годовых. "Граничное" значение ставки в этом случае получили почти на 1% меньше, чем в предыдущем, что объясняется большей эффективностью смешанной схемы начисления по сравнению со схемой сложных процентов.

Обратим внимание, что для ответа на вопрос в данном случае необходимо фактически решить неравенство:

(1 + г)(1 + 0£5г) > 1,4693.

Если применяется иного вида смешанная схема наращения, то для определения процентной ставки г получим другое уравнение. В частности, при использовании схемы сложных процентов для двух лет и затем при учете полученной суммы "на 100" за 0,75 года приходим к уравнению:

преобразуя которое получаем квадратное уравнение с корнями i\ =-1,2681, г2 =0,3701. Отбрасывая первый корень, делаем

вывод, что при данной схеме начисления процентов ставка должна превышать 37,01% годовых. Такой же результат полу-

чим, решая неравенство ^ * > 1,4693 и отбрасывая в полу-

1 + 0,75г ченном ответе отрицательную область.

Пример 2.5.5. На вклад 28 тыс. руб. ежеквартально начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 40%. Оцените сумму вклада через 21 месяц с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфля-

232

ции - 2% в месяц. Какова должна быть величина номинальной положительной процентной ставки? Как изменится ситуация, если темп инфляции будет 3,5% в месяц?

Решение. По формуле (58) за л = 1,75 года (21 месяц) сумма вклада составит:

Flls = 28 11 + ^ I = 54,564 тыс. руб.

Индекс инфляции за 1,75 года при темпе инфляции 2% в месяц находим по формуле (42):

/£'7 5 ) =(1 + 0,02)21 =1,5157.

Применяя формулу (104), находим величину вклада с точки зрения ее покупательной способности:

Вычитая из этой величины первоначальную сумму вклада, найдем реальный доход владельца вклада:

^ . 7 5 = 35,999-28 = 7,999 тыс. руб.

Положительная процентная ставка Л4* должна удовлетворять неравенству:

г( 4 ) > 4. ф $ ' 7 5 ) -1) = 4 - (Т&5157 -1) = 0,2448.

Таким образом, при темпе инфляции 2% в месяц и ежеквартальном начислении сложных процентов реальное наращение капитала будет происходить только при процентной ставке, превышающей 24,48%. А поскольку номинальная процентная ставка удовлетворяет этому условию, то владелец вклада, несмотря на инфляцию, получает реальный доход.

Естественно, к такому же ответу можно было прийти, используя условие: относительный рост вклада за квартал должен превышать темп инфляции за это время, т.е. должно выполняться неравенство:

233

реальный доход вкладчика составит 26,495 - 28 = - 1,505 тыс. руб., т.е. в этом случае вкладчик с точки зрения покупательной способности потерпит убытки. В данных условиях для положительной процентной ставки должно выполняться неравенство

г( 4 ) > 4 • $2,0594 -1) = 0,4349, т.е. г( 4 ) > 43,49%. Следовательно, номинальная процентная ставка (40%) меньше положительной процентной ставки.

Пример 2.5.6. Кредит 120 тыс. руб. выдается сроком на 4 года при условии начисления сложных процентов. Какова должна быть процентная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции составляла 18% годовых по ставке сложных процентов? Чему будет равна погашаемая сумма? Расчетный индекс цен за срок кредита принимается равным 2,3.

Решение. Полагая в формуле (105) т = 1, г ( т ) =0Д8, п = 4, = 2,3, находим:

г0) =г =(1 + 0,18)3/23 -1 = 0,4532,

т.е. ставка 45,32% годовых при ежегодном начислении сложных процентов и индексе цен, равном 2,3, обеспечивает реальную доходность в 18% годовых.

Погашаемую сумму находим по формуле (55) при Р = 120 тыс. руб., п =4, г = 0,4532:

F4 = 120(1 + 0,4532)4 = 535,159 тыс. руб.

Пример 2.5.7. На выданный кредит в 90 тыс. руб. в течение трех лет будут начисляться сложные проценты: а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какую номинальную годовую процентную ставку необходимо установить, чтобы происходило реальное наращение капитала по номинальной

234

процентной ставке 24% годовых, если ожидается темп инфляции 14% в год? Определите наращенную сумму, которую необходимо будет вернуть.

Решение» Во всех случаях при определении величины устанавливаемой процентной ставки можно воспользоваться формулой (105). Однако эта формула в силу соотношения / И =(1 + Л)Л, справедливого для данного примера, приобретает более простой вид:

г<т>=ж[( 1+-—У$7л-1].

т

а) Полагая т = 2, № = 0,24, Л = 0,14, из последней формулы получим:

г™ - 21(1 + ^ W l T 0 j 4 -1] = 0,3917.

Следовательно, возвращаемая через 3 года сумма составит:

б) В этом случае т = 4, г( 4 ) = 0,24, и поэтому величины устанавливаемой номинальной процентной ставки и возвращаемой суммы равны:

в) Полагая т = 12, г*12* = 0,24, получим:

r ( , 2 ) = 12№ + ^ Я 1 + 0,14 -1] = 03744,

235

Пример 2.5.8. На какой срок при годовом темпе инфляции 20% необходимо поместить имеющуюся денежную сумму под: а) сложную процентную ставку 36% годовых; б) сложную учетную ставку 36% годовых; в) силу роста 36% за год, чтобы она реально (по своей покупательной способности) увеличилась в 1,6 раза?

Решение, а) Обозначим через Р величину денежной суммы, через г - годовую процентную ставку, через Л - темп инфляции за год и воспользуемся формулой (104), принимающей в этом случае следующий вид:

F+

"(1 + А)" '

Полагая г = 0,36, А = ОД, получим равенство:

(1+ОД)"

из которого следует уравнение для определения искомого срока:

(U)"

Логарифмируя это уравнение, получим:

6) Для сложной годовой учетной ставки d формула (104) принимает вид:

Fn~(l-J)n(l+h)n '

При d = 0,36 приходим к уравнению:

1 (1-0,36)"(1 + 0,2)"=1,6

откуда:

236

в) Обозначим через б силу роста, тогда:

т, Ре*"

(1 + Л)" Следовательно, при 6 = 0,36 получаем уравнение:

(1 + 0,2)"

из которого следует:

п = — — = 2,645 года. 0,36-In 1,2

При решении этого примера можно бьшо вначале вывести общую формулу для определения срока. Полагая в формуле (110)

=(1 + Л)я, Fn =\f6P и разрешая полученное уравнение относительно п, находим:

ID1,6

Ив1пд-1п(1 + Л)*

Затем вместо а последовательно подставляем 1 + г, 1 -d и еь. Пример 2.5.9. Определите реальную силу роста за год в ус-

ловиях начисления непрерывных процентов и при годовом темпе инфляции 40%, если исходная сила роста составляет 50% за год. Какова должна быть сила роста, чтобы при такой инфляции обеспечить реальную доходность согласно исходной непрерывной ставке 50%?

Решение. Полагая в формуле (110) п = 1, / ^ =1,4, 6 = 0,5 ,

получим:

5„в/=0,5-1п1,4 = 0Д635,

т.е. реальная интенсивность наращения при начислении непрерывных процентов составляет 16,35% за год.

237

Чтобы иметь доходность согласно силе роста 50% в условиях инфляции, необходимо установить непрерывную ставку большую, чем 50%. Значение такой ставки находим по формуле (109):

6 = 0,5 + In1,4 = 0,8365 = 83,65%.

Заметим, что даже при темпе инфляции 50% сила роста &reaj

будет все еще положительной непрерывной ставкой. Действительно:

^real = 0,5 - 1п1,5 = 0,0945 .

Пример 2.5.10. При выдаче кредита на несколько лет на условиях начисления сложных процентов банк желает обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 16% годовых по сложной ставке процентов. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, если инфляция прогнозируется в среднем 10% в год?

Решение. Для определения искомой процентной ставки воспользуемся формулой Фишера (111) при г = ОД6 и Л = ОД:

г = ОД6 + ОД + ОД6 • ОД = 0,276 = 27,6%.

При малом темпе инфляции и невысокой процентной ставке применяют и приближенную формулу: г » г + А. В данном случае г « ОД 6 + ОД = 0,26 = 26% и разница в 1,6% при достаточно больших суммах ощутима. Конечно, для должника желательно использование приближенной формулы, а для банка, предоставляющего кредит, выгоднее применять точную формулу (111).

Полезно отметить, что при решении примера можно было воспользоваться формулой (105). Действительно, так как т = 1,

/<л)=(И-Л)\то

F(1> = [(1 + г(1>)^(1 + А)л -1] = (1 + г(,)Х1 + Л)-1 = r<!) + А + г(,)А,

т.е. формула Фишера является частным случаем формулы (105). При п = 1 формула (44) совпадает с формулой Фишера.

Пример 2.5.11. Определите реальную доходность в виде процентной ставки при помещении денежных средств на год под сложную процентную ставку 45% годовых, если предполагаемый уровень инфляции за год составит, а) 15%; б) 45%; в) 60%.

238

Решение. Воспользуемся формулой (106), которая в услови-

где г ,ы = r ^ , г = г( 1 ) . Во всех случаях г = 0,45. а) При инфляции Л =0Д5 получим:

т.е. реальный доход от финансовой операции составит 26,09% от каждой единицы вложенных средств.

б) При А = 0,45, как и следовало ожидать, ггеЫ = 0, т.е. ставка 45% лишь нейтрализует действие инфляции.

в) Полагая Л « 0,6, получим:

т е Ы 1 + 0,6

Таким образом, при инфляции 60% данная финансовая операция будет приносить убыток, т.е. реально по своей покупательной способности помещенные денежные средства уменьшатся на 9,38%.

Обратим внимание, что при решении этого примера можно было воспользоваться и формулой (46). Очевидно, и формула Фишера позволяет ответить на вопросы примера. В частности, подставляя в нее значения процентной ставки и инфляции пер-

Пример 2.5.12. Банк предлагает клиентам поместить деньги на депозит на 3 года под процентную ставку 40% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов. Найдите реальную доходность такого предложения в виде годовой эффективной процентной ставки, если предполагаемый индекс цен за

239

3 года составит 2,1. Чему будет равна реальная доходность при полугодовом начислении сложных процентов?

формуле (106) определяем реальную номинальную процентную ставку:

Поэтому согласно формуле (63) реальная доходность в виде годовой эффективной процентной ставки составит:

v - ( i » a s p f - I - * » .

т.е. 15,74% годовых. Если же инфляцию не учитывать, то

г'/=(1+т£Г-1=0,4821'

что существенно больше, чем реальная доходность.

Можно было решить пример и несколько иным способом. Вначале, обозначая величину вклада через Р9 по формуле (104)

v - p s ^ - i - w » .

Естественно, получили такой же ответ. Если при втором способе решения действия провести в общем виде, то полученная формула покажет, что на самом деле можно было сделать меньше вы-

240