29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

вой номинальной процентной ставке 24%: а) с ежеквартальным начислением сложных процентов; 6) с полугодовым начислени-

Заметим, что при т = / из формул (91) и (92) получим соответственно равенства:

которые по существу являются иной записью равенств (3). Пример 2.4.5. Определите величину силы роста при начисле-

нии непрерывных процентов в течение двух лет, которая эквивалентна: а) простой процентной ставке 26% годовых; б) сложной процентной ставке 26% годовых с ежемесячным начислением процентов.

Решение, а) Полагая в формуле (94) п = 2, г = 0,26, находим:

6=1п(1+2-016)=0>2094> или 20,94%.

221

Проверку полученного ответа можно осуществить по форцуле (93):

г = -0,2094-2 . « 0,26007 » 0,26.

Из формулы (94) следует, что с ростом срока п величина эк1Ивалентной непрерывной ставки будет уменьшаться. Например, при п = Шлет сила роста 6 = 12,81%; при п = 100 лет - 8 = 3,3%.

б) По формуле (97) при т = 12, г( 1 2 ) = 0Д6:

6 = 121п(1 + = 0,2572 = 25,72%. Для проверки воспользуемся формулой (98):

0,2572

г( 1 2 ) - Ще 1 2 -1) « 0,25998 « 0,26.

Заметим, что в отличие от предыдущего случая величина экдаалентной непрерывной ставки не зависит от величины срока, Iтечение которого происходит наращение.

Как вцдно из решения случая б), 8<г*12). Вообще можно

Пример 2.4.6. Банк предоставляет ссуду на 25 месяцев под )0% годовых с ежеквартальным начислением процентов по смешанной схеме. Определите эквивалентную годовую простую фоцентную ставку, обеспечивающую такой же доход банку от федостаапения ссуды.

Решение. Покажем, что для данпой ситуации нетрудно по- 1/чить формулу в общем виде. Пусть в течение времени п используется сложная процентная ставка r ( m ) , но при начислении доцентов применяется смешанная схема. Тогда по формуле

? = [/ял] (напомним, что квадратные скобки означают целую

петь числа), / = тп~[тп), п = . Множитель наращения

222

при использовании простой процентной ставки согласно формуле (9) имеет вид 1+лг. Приравнивая эти множители наращения, находим, что эквивалентная простая процентная ставка находится по формуле:

т.е. эквивалентная простая процентная ставка равна 45,48%. Таким образом, из полученной выше формулы следует, что

простая процентная ставка г эквивалентна по существу двум

г<т>, применяемой за время, равное дробной части подпериода. При этом если дробная часть подпериода равна нулю ( / =0), то w = [тп] = тп и полученная выше формула совпадает с формулой (81), а если целое число подпериодов равно нулю (w =0 ), то

— « п и полученная формула примет вид г «= .

т

Если бы начислялись только сложные проценты, то воспользовались бы формулой (81):

1

- = 0,4543.

35/12

Пример 2.4.7. Банк принимает вклады до востребования под сложную процентную ставку 20% годовых при временнбй базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен применить банк при учете векселя за 250 дней до срока его погаше-

223

ния, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкладам до востребования? При учете используется временная база 360 дней.

Решение. Для определения эквивалентной простой годовой учетной ставки нельзя воспользоваться формулой (87), поскольку при ее выводе считалось, что временные базы ставок одинаковы. Однако необходимую для решения данного примера формулу нетрудно получить, приравнивая соответствующие множители наращения. Пусть Td и Тг - временные базы соответственно учетной и процентной ставок, тогда из

t

Задачи

2.4.1.Предлагается поместить капитал: а) на 5 лет; б) на 3 года либо под сложную процентную ставку 18% с ежемесячным начислением процентов, либо под простую процентную ставку 24% годовых. Выясните, как выгоднее поступить.

2.4.2.Банком выдан кредит на 9 месяцев под 26% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Определите величину простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов.

224

2.4.12.Банк выдает ссуду под сложную процентную ставку 20% годовых. Какую номинальную годовую процентную ставку должен установить банк, чтобы его доход не изменился, если начисление процентов происходит: а) по полугодиям; б) каждые два месяца; в) ежемесячно; г) непрерывно.

2.4.13.Банк учитывает долговое обязательство по сложной

учетной ставке 18% годовых. По какой номинальной годовой

ство, чтобы доход банка не изменился, если: a) m = 4; б) т- 6;

в) т = 12?

2.4.14. Определите величину силы роста при начислении непрерывных процентов в течение трех лет, которая эквивалентна: а) простой процентной ставке 24% годовых; б) сложной процентной ставке 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов. ,

2.4.15.Банк предоставляет ссуду на 39 месяцев под 16% годовых с полугодовым начислением процентов по смешанной схеме. Определите эквивалентную простую процентную ставку. Как изменится результат в случае начисления только сложных процентов?

2.4.16.Вексель учтен в банке за 26 месяцев по номинальной учетной ставке d ^ = 28% годовых, причем дисконтирование осуществлялось по смешанной схеме. Определите эквивалентную простую учетную ставку.

2.4.17.Банк принимает вклады до востребования под сложную процентную ставку 28% годовых при временнбй базе 365 дней. Какую простую годовую учетную ставку должен применить банк при учете векселя за 190 дней до срока его погашения, чтобы обеспечить себе такую же доходность, как и по вкладам до востребования? При учете используется временная база 360 дней.

2.4.18.Банк учитывает вексель за 300 дней по сложной учетной ставке 24% годовых при временнбй базе 360 дней. Какая простая годовая процентная ставка должна быть применена при выдаче кредита, чтобы обеспечить получение банком такого же дохода? При выдаче кредита используется времени&я база 365 дней.

226

2.5.Инфляция и начисление сложных

инепрерывных процентов

Основные положения

•Подобно тому как это делается при наращении простыми процентами, в условиях начисления сложных или непрерывных процентов для оценки наращенной суммы с учетом ее обесценения полученную величину делят на индекс инфляции за время осуществления наращения.

•Если множитель наращения равен индексу инфляции, то соответствующее наращение лишь нейтрализует действие инфляции.

•Как и в случае простых процентов, в случае сложных или непрерывных: процентов при инфляции выделяют следующие виды процентных ставок: номинальную, реальную, положительную. Иногда ставку с поправкой на инфляцию называют брутго-ставкой.

•Для обеспечения реального роста стоимости первоначального капитала при инфляции необходимо исходную ставку увеличивать (индексировать). Выбор величины такой индексированной ставки определяется поставленными целями. Для обеспечения реальной доходности согласно исходному коэффициенту наращения необходимо так индексировать исходную ставку (увеличить на инфляционную премию), чтобы новый коэффициент наращения полностью компенсировал потери из-за инфляции.

•Формула Фишера определяет значение сложной годовой процентной ставки, обеспечивающей при известном годовом темпе инфляции реальную эффективность кредитной операции. Эта формула по существу показывает ту величину, называемую инфляционной премией, которую необходимо прибавить к исходной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. При малом темпе инфляции и невысокой процентной ставке (эта ситуация типична для стран с развитой рыночной экономикой) пользуются и приближенным вариантом формулы Фишера.

Вопросы для обсуждения

1.Как оценить наращенную сумму с учетом ее обесценения в условиях инфляции?

2.Как можно определить множитель наращения какими-либо процентами в условиях инфляции?

3.Из каких соображений определяется та или иная положительная ставка?

4.Каким образом изменяется значение процентной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, если число начислений сложных процентов увеличивается?

5.Какая ставка называется брутто-ставкой?

6.Как обеспечить в условиях инфляции реальную доходность согласно исходному коэффициенту наращения?

7.Что определяет формула Фишера?

8.Какая величина в формуле Фишера называется инфляционной премией?

9.В каких случаях можно пользоваться приближенным вариантом формулы Фишера?

10.Кому выгоднее использовать в контракте приближенный вариант формулы Фишера: кредитору или заемщику?

11.Если за год ваш номинальный доход возрастет на 6%, а темп инфляции за тот же период составит 3%, то как приблизительно изменится ваш реальный доход?

12.Если за год ваш номинальный доход возрастет на 3%, а темп инфляции за тот же период составит 6%, то как приблизительно изменится ваш реальный доход?

Типовые примеры и методы их решения

Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежемесячный темп инфляции составляет 3%?

228

Уа года) индекс инфляции, тогда Z*12* =1,03 и по формуле (42) при к -12 находим индекс инфляции за год:

Пусть г - процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда в соответствии с формулой (104) значение ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, находится из равенства 1 + г = (т.е. множитель наращения за год приравнивается к годовому индексу инфляции). Таким образом:

г = /£> -1 = 1,4258 -1 = 0,4258 - 42,58%.

Следовательно, реальное наращение капитала будет происходить только при процентной ставке, превышающей 42,58% годовых.

б) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, согласно формуле (104) пользуемся равенством

Таким образом, положительная процентная ставка при ежеквартальном начислении сложных процентов превышает 37,09% годовых.

в) В случае ежемесячного начисления процентов пользуемся

'Г(12>У2

г<4> = 1 2 ( ^ > -1) »12(1,03 -1) = 036 - 36%.

229

Итак, в данной ситуации реальное наращение капитала происходит при номинальной процентной ставке, большей чем 36% годовых. В этом случае ответ можно было дать сразу, поскольку для осуществления реального наращения капитала его относительный рост за месяц должен превышать темп инфляции за это

же время. Следовательно, г<12>> 0,03, поэтому ry , т} > 0,36. 1л*

Заметим, что величину сложной процентной ставки, лишь ней-

трализующей действие инфляции, можно найти из формулы (105), при r ( m ) = 0:

г М - ж р ^ - Ц .

Полагая п-\у ответы для случаев а), б), в) получим соответственно при т = 1, 4, 12.

Пример 2.5.2. Номинальная процентная ставка, лишь компенсирующая при наращении действие инфляции, составляет 52% годовых. Определите полугодовую инфляцию, если начисление сложных процентов осуществляется каждый квартал.

Решение. Приравняем годовой индекс инфляции /Ю к множителю наращения за год. Полагая г*4* 0,52, получим:

Поэтому индекс инфляции за полгода (0,5 года) составит:

Следовательно, темп инфляции за полгода в среднем равен

27,69%.

Пример 2.5.3. На некоторую сумму в течение трех лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время за каждый год последовательно составит 15,20 и 10%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма по своей покупательной способности не уменьшилась?

230