вышка

УДК 517

Линейная алгебра и аналитическая геометрия: метод. указ. и индивид. задания для студентов ИДО, обучающихся по напр. 220400 «Управление в технических системах», 220700 «Автоматизация технологических процессов и производств», 230100 «Информатика и вычислительная техника», 230700 «Прикладная информатика» / сост. О.Н. Имас; Томский политехнический университет.– Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011.– 173с.

Методические указания и индивидуальные задания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры высшей математики ФТИ «____» ________ 2011 года, протокол № ____.

Зав. кафедрой ВМ, профессор, доктор физ.-мат. наук _________________К.П. Арефьев

Аннотация

Методические указания и индивидуальные задания по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» предназначены для студентов ИДО, обучающихся по направлениям 220400 «Управление в технических системах», 220700 «Автоматизация технологических процессов и производств», 230100 «Информатика и вычислительная техника», 230700 «Прикладная информатика». Данная дисциплина изучается в одном семестре.

Приведены содержание основных тем дисциплины, темы практических занятий и список рекомендуемой литературы. Приведены варианты заданий для индивидуальных домашних заданий. Даны методические указания по выполнению индивидуальных домашних заданий.

2

1. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ

Дисциплина «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» (ЛААГ) изучается в первом семестре первого курса студентами ИДО, обучающихся по направлениям 220400 «Управление в технических системах», 220700 «Автоматизация технологических процессов и производств», 230100 «Информатика и вычислительная техника», 230700 «Прикладная информатика».

Целями преподавания дисциплины являются:

•развитие математической интуиции;

•воспитание математической культуры;

•овладение логическими основами курса, необходимыми для решения теоретических и практических задач;

•овладение понятиями дисциплины, такими как матрица, система линейных алгебраических уравнений, вектор, линейное пространство и линейный оператор, кривая на плоскости, поверхность в пространстве.

В результате изучения дисциплины студент должен знать основы линейной алгебры и аналитической геометрии; уметь применять методы линейной алгебры и аналитической геометрии для решения практических задач; владеть методами линейной алгебры и аналитической геометрии.

Дисциплина «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

входит в базовую часть математического и естественнонаучного цикла (Б2) объединенного блока образовательных программ М5. Знание содержания дисциплины необходимо для освоения остальных дисциплин математического, естественнонаучного и профессионального цикла ООП.

Пререквизиты. Для освоения дисциплины необходимы знания курса средней общеобразовательной школы «Алгебра и начала анализа» и «Геометрия».

Кореквизиты. Параллельно с данной дисциплиной могут изучаться дисциплины гуманитарного, социального и экономического цикла, дисциплины естественнонаучного цикла: «Математический анализ», «Физика», «Информатика».

2.СОДЕРЖАНИЕТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛАДИСЦИПЛИНЫ

Тема 1. Линейная алгебра

Матрицы. Матрицы частного вида. Линейные операции над матрицами и их свойства. Умножение матриц. Транспонирование матриц.

Определители. Свойства определителей. Миноры, алгебраические дополнения. Вычисление определителей.

3

Обратная матрица. Теорема об обратной матрице. Решение матричных уравнений. Ранг матрицы. Вычисление ранга матриц методом элементарных преобразований. Теорема о базисном миноре. Критерий равенства нулю определителя.

Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения. Критерии совместности и единственности решения. Матричный способ решения. Метод Крамера. Метод Гаусса решения произвольной системы линейных уравнений.

Системы линейных однородных уравнений. Критерий существования нетривиальных решений. Свойства решений систем линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

Рекомендуемая литература: [1, глава 1], [2, глава 1-2, §§ 1.1-2.7].

Методические указания

Цель темы 1 – освоить матричную алгебру, научиться решать системы линейных алгебраических уравнений. Для этого необходимо усвоить понятие матрицы, определителя и их свойства, затем использовать эти теоретические знания при построении общего решения систем линейных неоднородных алгебраических уравнений и фундаментальной системы решений однородных алгебраических уравнений. Предлагается следующий порядок изучения раздела.

1) Изучите понятие матрицы:

•прослушайте видео лекцию, параллельно прочитайте параграфы пособия по теме «матрицы»;

•ответьте на вопросы 4 – 6 для подготовки к экзамену по теме

«матрицы» (п. 5.2);

•изучите пример решения задачи №1 (п. 4.2.2);

•сделайте первую задачу индивидуального задания №1 (п. 4.2.1). По предложенному плану изучите следующие понятия:

2) определитель (вопросы 1 – 4 п. 5.2); 3) обратная матрица и матричные уравнения (вопросы 7 – 9 п. 5.2);

4) метод Крамера и метод Гаусса решения системы линейных не-

однородных уравнений (вопросы 10 – 13 п. 5.2); 5) фундаментальная система решений системы линейных однород-

ных уравнений (вопросы 14 – 17 п. 5.2).

Тема 2. Векторная алгебра

Линейные операции над векторами, их свойства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис системы векторов. Теорема о

4

разложении вектора по базису. Координаты вектора. Системы координат. Декартова прямоугольная система координат. Проекция вектора на ось, свойства проекций. Направляющие косинусы вектора, свойство направляющих косинусов. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме. Критерий коллинеарности векторов. Задача о делении отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение векторов. Критерий ортогональности векторов. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты. Векторное произведение векторов. Вычисление векторного произведения векторов через их координаты. Геометрический смысл векторного произведения. Смешанное произведение векторов. Вычисление смешанного произведения векторов через их координаты. Геометрический смысл смешанного произведения. Критерий компланарности трёх векторов.

Рекомендуемая литература: [1, глава 2], [2, глава 3, §§ 3.1-3.12].

Методические указания

Данная тема наиболее простая, так как абстрактные понятия точки и вектора легко представить в трехмерном пространстве. Тем не менее, внимательно прослушайте видео лекцию «векторная алгебра», прочитайте главу пособия и ответьте на вопросы для подготовки к экзамену по теме «векторная алгебра» (вопросы 18 – 26 п. 5.2). Следует изучить данную тему целиком, затем приступать к выполнению индивидуального задания. Обратите внимание на понятие линейной зависимости и линейной независимости векторов, аналитические условия коллинеарности и ортогональности двух векторов (задачи 6,7) и компланарности трех векторов (задача 5) и понятие аффинной системы коорди-

нат (задача 9). При необходимости изучите примеры решения задач (п. 4.2.4) и сделайте индивидуальное задание № 2.

Тема 3. Аналитическая геометрия

Понятие линий и поверхностей. Прямая на плоскости. Различные формы записи уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Различные формы записи уравнений плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Прямая в пространстве. Приведение общего уравнения прямой в пространстве к каноническому виду. Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола; их геометрические свойства, уравнения и построение. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Построение

5

кривых. Поверхности второго порядка, их канонические уравнения. Исследование геометрического вида поверхностей второго порядка методом параллельных сечений. Построение поверхностей второго порядка.

Рекомендуемая литература: [1, глава 3], [2, глава 3, §§ 3.13-3.44].

Методические указания

Предлагается следующий порядок изучения темы. 1) Изучите раздел «прямая на плоскости»:

•прослушайте видео лекцию «прямая на плоскости», параллельно прочитайте параграфы пособия по данной теме;

•выпишите все канонические уравнения прямой;

•ответьте на вопросы для самоконтроля по теме «прямая на плоскости» (вопросы 27 – 32 п. 5.2);

•изучите пример решения задачи №1,2 (п. 4.2.6);

• сделайте первые две задачи индивидуального задания №3 (п. 4.2.5).

По предложенному плану изучите следующие понятия:

2)прямая и плоскость в пространстве (вопросы 33 – 41 п. 5.2);

3)кривые 2-го порядка на плоскости (вопросы 42 – 47 п. 5.2);

4)поверхности (вопросы 48 – 49 п. 5.2).

Тема 4. Элементы теории линейных пространств и линейных операторов

Аксиоматическое определение линейного пространства. Примеры линейных пространств. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность и базис линейного пространства. Теорема о разложении вектора по базису. Координаты вектора. Преобразование базиса. Преобразование координат вектора при преобразовании базиса. Линейные подпространства. Критерий подпространства. Линейные операторы. Матрица линейного оператора конечномерного линейного пространства. Связь координат вектора и координат его образа. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора. Теорема об инвариантности характеристического многочлена. Характеристические корни линейного оператора. Диагонализируемость линейного оператора. Критерий диагонализируемости линейного оператора.

Рекомендуемая литература: [10, §§ 1-12], [2, глава 4, §§ 4.1-4.11; глава 5, §§ 5.1-5.13].

6

Методические указания

Задача темы 4 – изучить, понять и научиться использовать аксиоматику линейных евклидовых пространств при решении прикладных задач. Очень внимательно изучите данную главу пособия. Особо обра-

тите внимание на определение линейного пространства и критерий линейного пространства, разберите примеры пособия. Полезно после каждого изученного параграфа отвечать на вопросы для самоконтроля

50-79 (пункт 5.2).

3.СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ

3.1.Тематика практических занятий

1.Решение систем линейных уравнений (2 часа).

2.Действия с векторами (2 часа).

3.Аналитическая геометрия (2 часа).

4.Линейные пространства и линейные операторы (2 часа).

4.ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

4.1.Общие методические указания

Всоответствии с учебным графиком для студентов, обучающихся по направлениям 220400 «Управление в технических системах», 220700 «Автоматизация технологических процессов и производств», 230100 «Информатика и вычислительная техника», 230700 «Прикладная информатика», предусмотрено выполнение четырёх индивидуальных домашних заданий. Выполнение этих заданий необходимо для закрепления теоретических знаний и приобретения практических навыков решения типовых задач.

Индивидуальные задания выполняются в соответствии с графиком изучения дисциплины и высылаются на проверку преподавателю.

Студенты, обучающиеся с использованием ДОТ, в обязательном порядке получают рецензию на каждое индивидуальное задание. Работы студенту не возвращаются.

При оформлении необходимо соблюдать следующие требования: 1. Каждое индивидуальное задание оформляется отдельно (в отдель-

ной тетради для студентов КЗФ и в отдельном файле для студентов ДОТ). 2. Обязательно должен быть титульный лист. На титульном листе указываются номер индивидуального задания, номер варианта, название

дисциплины; фамилия, имя, отчество студента; номер группы, шифр. 3. Выбор варианта ИДЗ. Вариант Вашего индивидуального зада-

ния соответствует последним двум цифрам номера зачетной книжки.

7

Например, зачетная книжка № 8201/02 соответствует варианту № 2. Если номер книжки больше 20, вариант ИДЗ выбирается с первого (или по формуле № книжки – 20). Например, зачетная книжка № 8201/26 соответствует варианту № 6.

4.Все страницы работы должны иметь сквозную нумерацию.

5.Обязательно прилагается список использованной литературы, в который включается рабочая программа и методические указания, в соответствии с которыми выполнены задания.

6.Решения задач следует располагать в той же последовательности, что и задания. Перед решением следует записать текст условия задачи.

7.Решения всех задач должны быть подробными, со всеми промежуточными расчётами, с указанием использованных формул и т.п.

8.В случае не соответствия работы требованиям к оформлению студент получает оценку «незачтено». В этом случае работа должна быть исправлена и повторно предоставлена на проверку преподавателю.

9.Студент, не получивший положительной аттестации по всем индивидуальным заданиям, не допускается к сдаче экзамена по данной дисциплине.

8

4.2. Варианты домашних заданий и методические указания

4.2.1. Индивидуальное задание №1 Вариант № 0

1. Вычислить произведения матриц A B и B A , если

3. Решить матричное уравнение:

4.Решить систему уравнений тремя способами:

а) методом Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса. Сделать проверку.

5. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса

6. Найти общее решение системы линейных однородных уравнений и записать ее фундаментальную систему решений

9

4.2.2. Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 1

Задача 1.. Вычислить произведения матриц A B и B A , если

Решение. Воспользуемся определением произведения матриц

С = A.B: произведением матрицы Аmхn=(aij) на матрицу Bnхk=(bij) называется матрица Cmхk=(cij), элемент cij которой равен сумме произведений элементов строки с номером i матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j матрицы В:

m=1

Как видно из формулы (1.1) произведение матриц возможно только в случае согласованности матриц: если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй. В противном случае произведение матриц невозможно. Проверим согласованности заданных матриц А и В. Размер мат-

рицы А=(2х3), В=(3х2). Внутренние значения размеров матриц совпадают. Врезультатепроизведенияполучимматрицуразмером(2х3)(3х2)=(2х2).

(3х2)(2х3)=(3х3). Внутренние значения размеров матриц совпадают. В

результате произведения получим матрицу размером (3х3).

10