вышка

В уравнении прямой ноль в знаменателе – символическая запись, которая обозначает не деление на ноль, а координату направляющего вектора.

б) Запишем уравнение прямой по двум точкам (табл 3.2):

Таким образом, можно записать каноническое уравнение прямой:

г) Направляющий вектор прямой, перпендикулярной плоскости, совпадает с вектором нормали этой плоскости. Тогда из уравнения данной

плоскости можно найти σr = N = {0;2;−1} и записать каноническое уравнение прямой

x − 8 = y − 1 = z + 1 .

0 2 − 1

д) Сделаем схематический рисунок (рис. 3.11). Общий вид прямой представляет собой пересечение двух плоскостей. По общим уравнени-

51

Найдем какую-либо точку, принадлежащую прямой – решим ее систему:

y = 17,x = 10,

z = 1.

Запишем каноническое уравнение прямой:

Найдем точку пересечения прямой и плоскости. Для этого запишем уравнение прямой в параметрической форме:

52

и подставим выражения x, y, z в уравнение плоскости, (другими словами решим совместно уравнение прямой и плоскости):

t − 5(3t + 4) + 1 = 0 , − 14t − 19 = 0 , t = − 1914 .

Вернемся к переменным x, y, z и вычислим координаты точки

Задача 9. Определить тип поверхности и построить ее:

Решение. а) Приведем уравнение к каноническому виду. Выделим полные квадраты:

(x2 + 4x) + 4y2 − (z2 − 2z) = 0

a = 3,b = 3 / 2, c = 3 (рис. 3.13).

б) Приведем уравнение к каноническому виду. Выделим полные квадраты:

Получили уравнение цилиндра с осью вращения параллельной оси Оx, центром в

точке M0(0; 1; 0) и окружностью с радиусом r=1 в сечении (рис. 3.14).

53

4.2.8. Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 4

Задача 1. Исследовать на линейную зависимость систему векторов x,(1− x)3,(1+ x)3 на (−∞, + ∞) .

Решение. По определению линейной независимости системы функций:

α1 y1(x) + α2 y2 (x) + ... + αn yn (x) = 0, α1 = α2 = ... = αn .

Построим линейную комбинацию данных функций и найдем все возможные αi.

α1x + α2 (1− x)3 + α3(1+ x)3 = 0

α1x + α2 − 3α2 x + 3α2 x2 − α2 x3 + α3 + 3α3x + 3α3x2 + α3x3 = 0 .

Приравняем коэффициенты при равных степенях x:

Таким образом, не существую αi≠0, когда выполняется условие

α1 y1(x) + α2 y2 (x) + ... + αn yn (x) = 0.

Следовательно, система функций x,(1 − x)2 ,(1 + x)2 линейно независима

x (−∞, + ∞) .

Задача 2. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы

Решение. По свойству фундаментальной системы решений (ФСР) системы линейных однородных уравнений ФСР является базисом в

55

пространстве решений, число линейно независимых решений фундаментальной системы (n – rang A) является размерностью этого пространства. Поэтому решим систему методом Гаусса и построим ФСР.

Вычеркиваем одну из одинаковых строк и получаем матрицу трапеци-

общее решение системы однородных линейных уравнений.

Найдем три частных решения (так как число неизвестных n=5, rang A=2, n–rang A=3), причем они должны быть линейно независимы. Для этого составим таблицу, в которой будем придавать свободным переменным значения, гарантирующие им линейную независимость (нельзя выразить одну строку через другую):

Подставляя в общее решение значения a, b, и с, получим три частных линейно независимых решения, которые и будут составлять фундаментальную систему решений – базис пространства решений:

56

Воспользуемся формулой преобразования координат при переходе от

одного базиса к другому:

x = Tx′ .

Тогда координаты искомого вектора х' могут быть найдены из матрич-

где Аij – алгебраические дополнения, соответствующие элементам aij.

Вычислим алгебраические дополнения:

57

Подставим в (4.2):

Задача 4. Пусть x = {x1; x2 ; x3}. Являются ли линейными операторы

A и B? Найдите матрицу каждого линейного оператора в стандартном базисе.

Ax = (x2 + 2x3;3x1 + 4x2 + 5x3;6x1 + 7x2 + 8x3), Bx = (x2 + 2;3x1 + 4x2 + 5;6x1 + 7x2 + 8x3 ).

Решение. Из определения линейного оператора следует, что для линейного оператора справедливо соотношение:

f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).

Проверим критерий линейности для оператора А:

A(αx + βy) = (αx2 + βy2 + 2αx3 + 2βy3;

3αx1 + 3βy1 + 4αx2 + 4βy2 + 5αx3 + 5βy3; . 6αx1 + 6βy1 + 7αx2 + 7βy2 + 8αx3 + 8βy3) =

58

Критерий линейности выполняется, следовательно оператор А – линейный. Построим матрицу линейного оператора. Для этого запишем действие оператора А на каждый базисный вектор:

Согласно определению матрицы линейного оператора выписываем его матрицу:

Проверим критерий линейности для оператора В:

Критерий линейности не выполняется, следовательно оператор В – не линейный.

Задача 5. Найти матрицу линейного оператора в базисе (e′ , e′ , e′ ) ,

1 2 3

Решение. Используя теорему о преобразовании матрицы линейно-

59