вышка

Вычеркиваем нулевую строку и получаем матрицу трапецивидной фор-

ветствующие ему базисные переменные – x1, x2, x3. Исходная система эквивалентна системе следующего вида:

Полагая свободные переменные любыми произвольными числами, получаем общее решение системы однородных линейных уравнений:

При построении фундаментальной системы решений (ФСР) необходимо помнить ее определение и свойства. Фундаментальной системой реше-

ний называется любая совокупность из (n–rang A) решений однородной системы, удовлетворяющая двум условиям: 1) она линейно независима;

21

2) любое решение системы можно представить в виде линейной комбинации ФСР.

Следуя определению, нам необходимо найти два частных решения (так как число неизвестных n=5, rang A=3, n–rang A=2), причем они должны быть линейно независимы. Для этого составим таблицу, в которой будем придавать свободным переменным значения, гарантирующие им линейную независимость (нельзя выразить одну строку через другую):

Подставляя в общее решение (1.5) значения a и b, получим два частных линейно независимых решения, которые и будут составлять фундаментальную систему решений:

Тогда общее решение однородной системы (согласно 2-му свойству определения ФСР) можно записать в виде:

22

4.2.3. Индивидуальное задание №2 Вариант 0

4. Даны три вершины параллелограмма ABCD

А(0; –3; –1), B(4; –1; 2), C(1; 0; –1).

Найти:

а) координаты четвёртой вершины D ;

б) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону AB ; в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD .

6.Найти вектор xr, параллельный вектору a ={0; 1; –1} и удовлетворяющий условию (xr, ar) =8.

7.Найти единичныйr вектор x , зная, что он перпендикулярен векторам ar={1; –1; 3}, b ={3; –2; 5} и образует тупой угол с осью Оz.

e2 ={1; –2; 1}, e3 ={–1; 2; 1}, d ={5; –5; 10}.

а) Докажите, что векторы er1, e2 , e3 можно принять за новый базис. б) Найдите координаты вектора d в базисе { e1; e2 ; e3 }.

23

4.2.4. Решение типового варианта и образец оформления индивидуального задания № 2

Задача 1. Определить координаты точки C на отрезке AB , если

А(7; 0; –2), В(1; 5; –1) и | AC |:| BC |= 5 : 2 .

Решение. Рассмотрим прямую, на которой расположены точки ABC в заданном соотношении (рис. 2.1).

Рис. 2.1.

Построим векторы AC и CB и заметим, что они коллинеарны. Поэтому, воспользуемся свойством коллинеарных векторов (с учетом их направления)

деления отрезка в заданном отношении в векторной форме имеет вид:

Обозначим координаты искомой точки С(x; y; z), найдем координаты векторов AC и BC :

AC = {x − 7; y; z + 2}, CB = {1− x;5 − y;−1− z}

и запишем формулу (2.2) в координатной форме:

24

Для упрощения вычислений определителя, вынесем из второй и третьей строки общие множители:

rг) Смешанное произведение векторов a = {x1, y1, z1}, br = {x2 , y2 , z2}

иc = {x1, y1, z1} в координатной форме имеет вид:

Подставим координаты векторов a , b , и c в формулу (2.5) и вычислим определитель, разлагая его по первой строке:

Вычисляя определители второго порядка, получим ответ: (ar,br, cr) = −92 .

26

воспользуемся свойствами скалярного произведения и определением:

–свойство дистрибутивности (ar+ b, cr) = (ar, cr) + (b, cr) ;

–сочетательное свойство (λar,b) = (ar,λb) = λ(ar,b) ;

–свойство коммутативности (ar,b) = (b, ar) ;

–скалярный квадрат (ar, ar) =| ar|2 ;

Задача 4. Даны три вершины параллелограмма ABCD

А(0; –3; –1), B(4; –1; 2), C(1; 0; –1).

Найти:

а) координаты четвёртой вершины D ;

б) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону AB ; в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD . Решение. Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 2.2).

D'

B C

A D

Рис. 2.2.

27

а) Заметим, что стороны параллелограмма попарно параллельны, а значит, векторы AB и DC равны (с учетом направления)

Обозначим координаты искомой точки D(x; y; z) и найдем координаты

векторов AB и DC . Как известно, координаты вектора по двум точкам находятся как разность соответствующих координат конечной и начальной точки:

AB = {4 − 0;−1− (−3);2 − (−1)} = {4;2;3}, DC = {1− x;0 − y;−1− z}.

Запишем равенство (2.6) в координатной форме:

4 = 1− x,2 = − y,3 = −1− z,

откуда находим координаты точки D(–3; –2; –4).

б) Для того, чтобы найти высоту DD', опущенную из вершины D на сторону AB (рис. 2.2), используем известную формулу площади параллелограмма S = a h , где а – длина основания, h –высота параллелограмма.

В нашем случае h =| DD' |, а =| AB |. Площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и AD как на сторонах, может быть найдена как модуль векторного произведения векторов AB и AD :

S =| [AB, AD] |.

Подставляя данные нашей задачи в (2.7), запишем общую формулу для вычисления длины высоты

Координаты вектора AB мы уже знаем, найдем координаты вектора AD :

AD = {−3 − 0;−2 − (−3);−4 − (−1)} = {−3;1;−3}.

Вычислим длину вектора | AB |:

| AB |= 42 + 22 + 32 = 29 .

Вычислим векторное произведение векторов AB и AD :

28

Подставим полученные значения длин векторов в (2.8) и получим длину высоты, опущенной из точки D на основание АВ:

На диагоналях параллелограмма построим векторы AC , BD и будем искать косинус угла между этими векторами.

AC = {1− 0;0 − (−3);−1− (−1)} = {1;3;0},

BD = {−3 − 4;−2 − (−1);−4 − 2} = {−7;−1;−6}.

Вычислим длины векторов AC и BD :

| AC |= 12 + 32 + 02 = 5,

BD = (−7)2 + (−1)2 + (−6)2 = 86.

Вычислим скалярное произведение векторов AC и BD : (AC, BD) = 1 (−7) + 3 (−1) + 0 (−6) = −10.

Подставим полученные значения в (2.9) и найдем косинус угла между диагоналями AC и BD:

Вернемся к условию задачи: необходимо найти косинус острого угла ϕ. Это значит, что ϕ принимает значения от 0 до 90°, а cosϕ ≥ 0 . Найден-

ное значение cosϕ = − 1043 соответствует тупому углу. Чтобы найти значение искомого угла, воспользуемся формулами приведения

29

Задача 5. Доказать, что четыре точки А(4; –3; –5), B(2; –3; –3), C(–1; 1; 4), D(5; 5; 2) лежат в одной плоскости.

Решение. Задача сводится к проверке условия компланарности трех векторов AB, AC, AD : три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Построим векторы AB, AC, AD и найдем их координаты:

AB = {2 − 4;−3 − (−3);−3 − (−5)} = {−2; 0; 2},

AC = {−1− 4;1− (−3);4 − (−5)} = {−5; 4; 9},

AD = {5 − 4;5 − (−3);2 − (−5)} = {1; 8; 7}.

Вычислим смешанное произведение векторов AB, AC, AD в координатной форме. Для этого составляем определитель третьего порядка, строками которого являются координаты векторов AB, AC, AD . Разлагая оп-

= −2 (28 − 72) + 2 (−40 − 4) = −2 (−44) + 2 (−44) = 0 .

Таким образом, мы получили, что смешанное произведение трех векто-

(λa,a) = 8 .

С учетом сочетательного свойства скалярного произведения имеем:

λ(ar, ar) = λ(0 + 1+ 1) = 8 λ = 4 .

30