вышка

где угловой коэффициент k = − 8 .

7

Построим все три прямые (рис. 3.1):

lа

y

lв

lб

4

(–7;1)

2

(–5;–1.4)

–2

0

2

4

6

x

–2

(–3.5;–3)

Рис. 3.1.

Задача 2. Даны три прямые

: x = t − 4,

l1

:8x − 2y + 3 = 0 ;

l2 :

x − 1

=

y + 4

и

l3

− 4

1

y = 4t + 1.

Исследовать взаимное расположение прямых l1

и l2 ; l1

и l3 . Для каждой

l1

:8x − 2 y + 3 = 0 8(x + 3/ 8) = 2y

x + 3 / 8

=

y

.

(3.1)

8

2

r

Из канонического уравнения находим направляющий вектор

= {2;8}

σ1

σ = λσ

2 = λ 1

2 = 8 = λ – ложно.

r

r

= λ (−4)

1

2

1 − 4

8

σ1

= λσ3

2 = λ 1

2

= 8

= λ – истинно.

r

r

8 = λ 4

1

4

l1 :8x − 2y + 3 = 0,

8x − 2 y + 3 = 0,

8x − 2 y = −3,

x − 1

y + 4

l2

:

=

,

− 4x + 4 = y + 4,

− 4x − y = 0,

1

− 4

− 4 y = −3,

y = 3 / 4,

− 4x = y,

x = −3 /16.

− 3

3

Таким образом, координаты точки пересечения прямых l1 и l2

,

O

4

.

16

на каждой прямой точку M1 и M2 – это легко сделать

N1

l1

по канокическому

уравнению

прямых,

построим

M1

h

l3

вектор M1M 2

и найдем проекцию M1M 2

на вектор

M2

нормали одной из прямых,

например

N1 = {8;−2},

Рис. 3.1

который известен из общего уравнения прямой l1. Из

уравнения (3.1) выпишем M1 (–3/8;0), из уравнения для l3: M2 (–4;1).

M1M 2

29

,

= −

8

;1

(M1M 2 , Nr1 )

29

(−4) + 1 1

29

−

2 + 1

31

r

(M1M 2 ) =

8

=

,

ПрN1

|

r

=

(−4)

2 + 12

=

N1 |

17 2 17

h = ПрNr1 (M1M 2 ) =

2

31 .

17

б) Найдем косинус угла между прямыми l1 и l2 как косинус угла

между направляющими векторами σ1 = {2;8} и σ2 = {1;−4}:

r

r

r

r

)

2 1 + 8 (−4)

− 30

15

) =

(σ

,σ

=

=

= −

.

cos(σ

,σ

2

r 1

r2

1

| σ1 | | σ2 |

22 + 82 12 + (−4)2

68 17

17

а) x 2 + y2 − 8x = 0;

б) x = −

1

25 − y2 ;

3

в) –2 x 2 + 3 y2 − 4x + 15y + 4 = 0;

г) x + 4y − 2y 2 − 5 = 0.

y

О'

r

О

4

x

Рис. 3.2.

б) x = −

1

25 − y2 .

3

(−3x)2 = ( 25 − y2 )2

y

9x2 = 25 − y2

5

b

9x2 + y2 = 25 .

2

2

5

5

2

5

2

+ 2x + 1

− 1

+

+ 2

−

+ 4

= 0

− 2 x

3 y

y +

14243

2

2

2

( x+1)

2

144424443

( y+5 / 2)2

2

− 2((x + 1)

2

− 1)+

( y + 5 / 2)

2

−

5

+ 4

= 0

3

2

5 2

− 2(x + 1)

2

+ 2

− 3

25

+ 4 = 0

+ 3 y +

4

2

− 2(x + 1)

2

+

5

2

=

51

.

3 y +

2

4

51

Разделим каждое слагаемое на

:

4

2

5

− 2(x + 1)

2

3 y +

2

+

= 1,

51

51

4

4

5

2

5

2

(x + 1)

2

y +

2

(x

+

1)

2

y +

2

−

+

= 1

−

+

= 1

51

51

51

17

8

3 4

8

4

5 2

(x + 1)

2

y

+

−

+

2

= 1.

51

2

17

2

8

4

x − 2( y2 − 2 y) − 5 = 0

x − 2( y2 − 2 y + 1− 1) − 5 = 0

y

14243

( y−1)2

x − 2( y − 1)2 + 2 − 5 = 0

1

p

фокус

x − 3 = 2( y − 1)2

3

( y − 1)2 = 1 (x − 3)

x

2

1

Рис. 3.5

( y − 1)2 = 2

(x − 3) .

4

фокальным параметром p = 1 (рис. 3.5).

4

Задача 4. Построить кривые, заданные в полярных координатах:

а) ρ = 2cosϕ ;

б) ρ = sin 3ϕ .

ϕ

0

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

π

4π/3

3π/2

5π/3

2π

ρ

2

3

2

1

0

–1

–2

–1

0

1

2

2) На лучах для каждого ϕ отло-

2π/3 π/2

π/3 π/4

π/6

жим от полюса О вычисленное значе-

ние ρ.

3) Для отрицательных значений ρ

расстояние от полюса откладываем в

2

противоположном направлении (они

O

ρ

будут совпадать с уже отложенными

точками в положительном

направле-

Рис. 3.6

нии).

4) Соединяем все точки плавной линией.

Получим уравнение кривой в декартовой системе координат. Связь

полярной и декартовой системы:

x = ρ cos ϕ,

ρ =

x2

+ y2 ,

y

x

(3.1)

ϕ =

, cos ϕ =

2 .

y = ρ sin ϕ.

sin

x

2

+ y

2

2

+ y

x

Подставим в уравнение ρ = 2 cosϕ выражение для ρ и ϕ:

x2 + y2

=

2x

x2 + y2

x2 + y2 = 2x x2 − 2x + y2 = 0.

ϕ

0

π/18

π/12

π/9

π/6

5π/18 π/3

π/2 2π/3

ρ

0

1/2

2 /2

3 /2

1

1/2

0

–1

0

1) Выберем полюс О, проведем полярную ось горизонтально. Это

соответствует ϕ =0. Все остальные углы будем откладывать от него

против часовой стрелки (рис. 3.7).

π/2

π/3

2) На лучах для каждого ϕ отложим

2π/3

5π/18

π/6

от полюса О вычисленное значение ρ.

1

3)

Для отрицательных значений ρ

π/9

расстояние от полюса откладываем в

π/18

противоположном

направлении

(они

O

ρ

совпадут с точками других лепестков).

4) Соединяем все точки плавной

линией.

5) Далее, через 2π/3 рад. поведение

кривой будет периодически повторяться.

Рис. 3.7

В результате

на

плоскости

(0 ≤ ϕ ≤ 2 π)

появятся еще 2 лепестка.

Получим уравнение кривой в декартовой системе координат. Выразим

sin3ϕ через sinϕ :

ρ = sin 3ϕ = 3sin ϕ − 4sin3 ϕ .

Используем формулы (3.1) предыдущей задачи и подставим их в данное

выражение:

y3

x

2

+ y

2

y

= 3

x2 + y2 −

4

(x2 + y2 )3

y 3

(x2 + y2 )2 = 3y(x2 + y2 )− 4 y3

(x2 + y2 )2 = 3yx2 − y3 .

Задача 5. Построить кривые, заданные пара-

метрическими уравнениями:

x = (t3 − t) / 4,

а)

x = − cos t,

б)

–1

O

x

y = 3sin t;

y = t 2 / 2.

Решение. а) Построим таблицу значений пара-

метраt ивычислимсоответствующиезначенияфунк-

ций x и y. Значения t достаточно взять от 0 до π/2,

т. к. все остальные точки можно достроить из сооб-

раженийсимметриичетнойфункцииcos t инечетной

Рис. 3.8

функцииsin t.

t

0

π/6

π/4

π/3

π/2

x

–1

– 3 /2

–

2 /2

–1/2

0

y

0

3/2

3

2 /2

3

3 /2

3

t

–2

–1

–2/3

–1/2

0

1/2

2/3

1

2

x

–3/2

0

5/54

3/32

0

0

–5/54

–3/32

3/2

y

2

1/2

2/9

1/8

0

1/8

1/2

2

–1 O

1

x

Рис. 3.9

Задача 6. Составить уравнения плоскостей, которые проходят:

а) через три точки A(5; –1; 1), B(0; –2; 1), C(1; –3; 0);

б)

через

точку

A(5; –1; 1)

перпендикулярно

прямой

x

=

y − 4

=

z + 4

;

3

− 1

4

ar2

в) через точку B(0; –2; 1) параллельно двум векторам ar1 = {0;−1;2} и

= {1;2;−1};

x − x0

y − y0

z − z0

x1 − x0

y1 − y0

z1 − z0

= 0

x2 − x0

y2 − y0

z2 − z0

x − 5 y + 1 z − 1

= (x − 5)

− 1 0

− ( y + 1)

− 5 0

+ (z − 1)

− 5 − 1

− 5

− 1

0

=

− 4

− 2

− 1

− 2 − 1

− 4 − 1

− 4 − 2

подставим

данные

нашей

задачи:

M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) = A(5;−1;1) ,

Nr

= {A; B;C} = {3;−1;4}

и

получим общее

уравнение плоскости в

координатной форме

3(x − 5)− (y +1)+ 4(z −1) = 0.

в) Сделаем схематический рисунок:

N = [ar1 , ar

2 ]

искомая плоскость L, векторы a1 и a2 па-

раллельны плоскости.

Т. к. это свободные

ar2

L

векторы, расположим

их

на

плоскости

ar

(рис. 3.10). Вектор нормали

плоскости

r

r

r

r

r

одновременно.

1

N

L N

a , N a

2

1

Рис. 3.10

По определению векторного произведения

[a , ar

2

] ar

, [a , a

2

] a

2

одновременно.

1

1

1

Следовательно,

N = [ar1, ar2 ]. Вычислим векторное произведение [ar1,ar2 ]:

r

r r

i

j k

− 1 2

r

0 2

r

0 − 1

r

] =

0

− 1 2

=

+

N = [a , a

2

i −

j

k =

1

1

2 − 1

2

− 1

1 − 1

1 2

= (1− 4)i − (0 − 2) j + (0 + 1)k

N = −3i + 2 j + k .

Подставляем заданную точку B(0; –2; 1) и найденный вектор Nr в общее

уравнение плоскости в координатной форме и получаем ответ:

− 3x + 2(y + 2)

+ z −1 = 0 .

x

+

y

+

z

= 1

x + y + z = a .

(3.2)

a

a

a

Следовательно, вектор

нормали искомой плоскости Nr = {1; 1; 1}

или

Nr = {−1;−1;−1}. Запишем общее уравнение плоскости в rкоординатной

форме с заданной точкой C(1; –3; 0) и вектором нормали N = {1; 1; 1}:

(x −1)+ (y + 3)+ (z − 0) = 0.

Раскроем скобки, выразим x + y + z , подставим в (3.2) и найдем a:

x + y + z + 2 = 0 x + y + z = −2 a = −2 N = {−1;−1;−1}.

Таким образом, уравнение искомой плоскости

− (x −1)− (y + 3)− (z − 0) = 0 .

Задача 7. Составить канонические уравнения прямой, проходящей

а) через точку M0(8; 1; –1) параллельно вектору a = {0;3;−1};

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

m

n

p

r r

и подставим данные задачи: M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) = M 0 (8;1;−1)

= {0;3;−1}:

, σ = a

x − 8

=

y − 1

=

z + 1

.

0

3

− 1