РГР Задача 4

7

Задача 4. Кинематика плоского механизма

В кривошипно-ползунном механизме кривошип OA вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью ω и приводит в движение шатун АВ и ползун В.

Для заданного положения механизма найти скорость ползуна В, угловую скорость шатуна АВ и скорость точки С – середины шатуна АВ.

Примечание. Если данные таковы, что шатун окажется перпендикулярным направляющей ползуна (схемы I, VI), то вместо заданного угла β следует принять угол β = 15º.

Схемы к задаче приведены на рис.4, численные данные – в табл. 4.

Методические указания

Расчет кинематических характеристик (скоростей) точек любого механизма выполняется «по цепочке» – сначала рассматривается то звено механизма, движение которого известно, затем смежное с ним звено и т.д. При переходе от одного звена к другому используют равенство скоростей в точке сочленения звеньев.

Для нахождения скоростей точек отдельного звена и его угловой скорости используются теоремы и формулы кинематики твердого тела [1].

В данной задаче рассматривается кривошипно-ползунный механизм состоящий из трех подвижных звеньев: кривошипа ОА, шатуна АВ и ползуна В. Кривошип ОА совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рис.4. Ползун В движется поступательно вдоль прямолинейной направляющей. Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение.

Решение задачи следует начинать с определения скорости почки А кривошипа. Для этого используется формула, связывающая скорость точки вращающегося тела с его угловой скоростью

v =  ∙h

Направление вектора скорости точки А находится по известному правилу: скорость направлена по касательной к траектории точки.

Чтобы найти скорость точки В шатуна можно использовать теорему Грасгофа (о проекции скоростей) [1], или воспользоваться мгновенным

Рис. 4

Таблица 4

Цифры шифра	3-я цифра шифра		2-я цифра шифра		1-я цифра шифра
	Номер схемы	ω, рад/с	r, см	l, см	углы, град
					α	β
1	I	10	20	30	30	60
2	II	9	24	36	45	30
3	III	8	30	40	60	45
4	IV	7	36	48	30	15
5	V	6	40	50	45	60
6	VI	5	48	56	60	15
7	VII	4	50	60	30	45
8	VIII	3	56	64	30	30
9	IX	2	60	70	45	15
0	X	1	64	80	60	60

центром скоростей (МЦС) звена АВ. Правила построения МЦС можно найти в [1].

Для определения угловой скорости _АВ шатуна АВ необходимо построить мгновенный центр скоростей Р этого звена, а затем воспользоваться зависимостью

v_А = _АВ ∙АР.

Для определения скорости точки С шатуна следует использовать аналогичную зависимость для точки С:

v_С = _АВ ∙СР

Образец решения

Решение задачи 4 рассмотрим на примере варианта, соответствующего шифру 000. Согласно таблице 4 выбираем схему Х и принимаем = 1 рад/с, ОА = 64 см, АВ = 72 см,  = 60°,  = 60°.

Рисуем кинематическую схему механизма (рис.5) с учетом заданных размеров и углов.

1. Определяем скорость точки А кривошипа. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью  вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рис.5. Поэтому cкорость точки A:

v_А = ∙ОА = 1∙64 = 64 см/с

Направление вектора скорости v_А – вдоль касательной к траектории точки А. Эта траектория – окружность изображенная штриховой линией на рис.6. Как известно, касательная к окружности перпендикулярна её радиусу, поэтому v_А ┴ ОА.

2. Вычислим скорость точки В шатуна с помощью теоремы Грасгофа. Согласно этой теореме проекции скоростей точек А и В жесткого звена АВ на ось Ах, проходящую через эти точки (рис.7) должны быть равны. Угол между вектором v_А и осью Ах составляет 30°. Ползун В движется вдоль направляющей, поэтому угол между v_В и Ах - 60° (рис.7).

Равенство проекций имеет вид

v_А ∙ cos 30° = v_В ∙ cos 60°,

откуда находим: v_В = v_А ∙ cos 30° ∕ cos 60° = 64 ∙= 110,9 см/с.

3. Чтобы найти угловую скорость _АВ звена АВ построим мгновенный центр скоростей (МЦС) этого звена. Для этого проводим перпендикуляры к скоростям точек А и В звена АВ (рис.8). Точка Р, в которой пересекаются эти перпендикуляры и является МЦС звена АВ.

Скорость v_А можно представить как скорость точки А звена АВ в его вращательном движении вокруг точки Р с угловой скоростью _АВ

v_А = _АВ ∙АР

Из этого равенства получаем

_АВ = v_А ∕АР = 64 ∕ 72 = 0,89 рад/с.

Здесь АР = АВ = 72 см, т.к.  РАВ – равнобедренный (рис.8).

4. Для того, чтобы найти скорость точки С воспользуемся мгновенным центром скоростей Р шатуна АВ. Как известно скорость любой точки М плоской фигуры может быть представлена как её скорость во вращательном движении фигуры вокруг МЦС. Поэтому

v_С = _АВ ∙СР = 0,89 ∙95,2 = 84,7 см/c,

где расстояние СР найдено из  РАС при помощи теоремы косинусов (рис.9) :

95,2 см.

Направление вектора скорости v_С соответствует направлению скорости точки плоской фигуры при её вращении вокруг центра Р, т.е. v_С ┴ СР , при этом v_С направлен в сторону вращения АВ (рис.9).