Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет геодезии и картографии

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Известия вузов Геодезия и аэрофтосъемка №6

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.05.2015

Размер:

3.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

геодезия и кадастр

d(tgB) =

= d

r3 +be'2 Z2

;

ρcos

−be

(1−e

−be

(1−e

′2

= −

+be

+ F(x) cosB

X dX +

−be

−e

(9)

′2

+ −

+be

+ F(y) cosB

Y dY +

−be

−e

+be

′2

+ F(z) cosB

Z dZ,

−be

(1−e

где

1−e

)

r +be′ Z

F(x) =

(

−

1−e2

−2be2

1−e2

;

−be

(1−e

(

)

(

)

−be

(1−e

)

(

1−e

)

r +be′ Z

F(y) =

(

−

3r 1−e2

−

2be2

1−e2

;

−be

(1−e

(

)

(

)

−be

(1−e

)

(

1−e

)

r +be′ Z1

(

F(z) =

−

−be

(1−e

R r

−be

(1−e

)

(

Введем обозначения:

+be

′2

= X −

+ F(x) cos

−be

(1−e

′2

−

+be

+ F(y) cos

−be

−e

′2

= Z

+be

+ F(z) cos

−be

(1−e

RZ r

С учетом принятых обозначений формула (9) примет вид:

= AdX + BdY +CdZ.

(10)

Дифференцируя уравнение (4), получим:

dD = a(1−e2 )

A − B

cos2B+C

cos4B dB

(11)

С учетом (10) выражение (11) примет вид:

dD = a(1−e2 )(Ad

− Bd cos2B+Cd cos4B)(AdX + BdY +CdZ).

(12)

Переходя от дифференциалов к средним квадратическим ошибкам, получим

= a2

(1−e2 )2 (A − B cos2B +C

cos4B)2

(A2m2

+ B2m2 +C2m2 ).

известия высших учебных заведений. геодезия и аэрофотосъемка, № 6, 2010

Для определения зависимости дифференциала долготы dl от дифференциалов декартовых

координат дифференцируем tgL =		Y		:
координат дифференцируем tgL =		X		:
		X
dl			=		cos2 L	dY −	Y cos2 L	dX.	(13)
	ρ		=		X	dY −	X 2	dX.	(13)
	ρ				X		X 2

Дифференциал абсциссы в проекции Гаусса dx определим из формулы (1) с учетом dD (12), dβ (10) преобразуем к виду:

dx =

a(1

−e2 )(A

− B cos2B+C

cos4B)−

l2 sin2B+

ae2 sin2B

cosB

3/2

4ρ

2(1

−e

sin

×(A dX + B dY

+C dZ)+

sin2B cos

l dY

− Y cos2

l dX .

2ρ

Введем обозначения:

= A

a(1−e2 )(A

− B cos2B +C

cos4B)−

cos2B +

ae2 sin2B

cosB

−

3/2

2ρ

2(1

−e

sin

−

sin2B

Y cos2 l

;

2ρ

X 2

= B

a(1−e2 )(A

− B cos2B +C

cos4B)−

cos2B +

ae2 sin2B

cosB

−

3/2

2ρ

2(1

−e

sin

−

sin2B

Y cos2 l

;

2ρ

X 2

(14)

(15)

(16)

ae2 sin2B

Cx = C a(1

−e

)(Ad − Bd cos2B +Cd cos4B)−

cos2B +

cosB .

(17)

2ρ

2(1

−e

sin

3/2

С использованием принятых обозначений (15)–(17) формула (14) может быть записана в виде:

dx = Ax dX + Bx dY +Cx dZ.

(18)

Из формулы (18) переходим к средним квадратическим ошибкам:

m2 = A2m2 + B2m2 +C2m2 .

(19)

x X

x Y

Формулу (6) с учетом (10, 13) можем привести к виду:

dy = N cosB cos

L dY − Y cos2

L dX

ae2 sin2B

l N

cosB−

sin

(AdX + BdY +CdZ).

(20)

2(1−e

sin

3/2

Примем обозначения:
A	= A	ae2 sin2B	l	cosB − A	l N	sin B − N cosB	Y cos2 L		;
A	= A			cosB − A		sin B − N cosB			;
y		2(1−e2 sin2 B)3/2	ρ		ρ		X 2
		2(1−e2 sin2 B)3/2	ρ		ρ		X 2
B	= B	ae2 sin2B	l	cosB − B	l N	sin B + N cosB	cos2 L	;
B	= B			cosB − B		sin B + N cosB		;
y		2(1−e2 sin2 B)3/2	ρ		ρ		X
		2(1−e2 sin2 B)3/2	ρ		ρ		X

геодезия и кадастр

Cy = C	ae2 sin2B	l	cosB −C	lN	sin B.
	2(1−e2 sin2 B)3/2	ρ		ρ

С учетом обозначений формулу (20) представим в виде:

dy = Ay dX + By dY +Cy dZ.

Переходя к средним квадратическим ошибкам, получим:

my2

= Ay2mX2

+ By2mY2 +Cy2mZ2 .

(21)

Формулу (7) с учетом (10) и [3] можем привести к виду:

dH =

dX +

dY −

Rsin B

ae2 sin2B

(AdX + BdY +CdZ).

(22)

RcosB

2(1

−e

sin

3/2

cos

Примем обозначения:

−

Rsin B

ae2 sin2B

RcosB

2(1−e

sin

3/2

cos

−

Rsin B

ae2 sin2B

RcosB

2(1−e

sin

3/2

cos

Rsin B

ae2 sin2B

2(1−e

sin

3/2

cos

С учетом обозначений формулу (22) представим в виде:

dH = AH dX + BH dY +CH dZ.

(23)

Из формулы (23) переходим к средним квадратическим ошибкам

mH2

= AH2 mX2

+ BH2 mY2 +CH2 mZ2 .

(24)

Формулы средних квадратических ошибок:

= A2m2

+ B2m2

+C2m2 ;

= A2m2

+ B2m2

+C2m2 ;

= A2 m2

+ B2 m2

+C2 m2 .

x X

x Y

x Z

H X

H Y

H Z

Для иллюстрации возьмем пример процесса обработки результатов измерений и оценки точности вычисления деформаций сооружений по результатам спутниковых наблюдений (рис. 1).

В сети были измерены три сеанса шестью приемниками Trimble R3 со средними квадратичными ошибками ms= (5 + 1.D)мм. Уравненные координаты сети и средние квадратические ошибки пространственных прямоугольных координат X, Y, Z (м) рабочих пунктов приведены в табл. 1.

Результаты преобразования в плоские конформные координаты в проекции Гаусса и оценки точности приведены в табл. 2.

						Т а б л и ц а 1
Пункт	X	mX	Y	mY	Z	mZ
MM-14	–1567040,012	0,002	5689624,604	0,002	2411358,803	0,005
MM-16	–1567148,299	0,002	5689650,485	0,002	2411228,236	0,005
MM-20	–156695,519	0,002	5689621,847	0,002	2411320,237	0,004
MM-21	–1567043,508	0,002	5689633,381	0,002	2411262,214	0,005
MM-22	–1567104,783	0,002	5689647,992	0,002	2411188,368	0,004

известия высших учебных заведений. геодезия и аэрофотосъемка, № 6, 2010

QT-01

ММ-14

ММ-20

QT-03

ММ-14	ММ-21
ММ-14
ММ-20
ММ-21
ММ-16	ММ-16
ММ-22	ММ-16
	ММ-22

QT-05

QT-06

Рис. 1. Схема размещения геодезических пунктов для наблюдений за осадками и смещениями плотины «Наханг» (Вьетнам)

						Т а б л и ц а 2

Пункт	x	mx	y	my	H	mH
MM-14	2473679,371	0,0044	506728,084	0,0020	50,928	0,0022
MM-16	2473545,450	0,0044	506827,261	0,0020	69,105	0,0022
MM-20	2473656,391	0,0036	506687,538	0,0020	41,028	0,0022
MM-21	2473593,674	0,0044	506730,768	0,0020	41,026	0,0022
MM-22	2473513,857	0,0036	506785,997	0,0020	41,008	0,0022

Формулы (19), (21), (24) целесообразно использовать при оценке точности вычисления деформаций сооружений по результатам спутниковых измерений.

Литература

1.Закатов П.С. Курс высшей геодезии. –М.: Недра, 1976. –392 с.

2.Клюшин Е.Б. Куприянов А.О. Шлапак В.В. Спутниковые методы измерений в геодезии (Ч. 1): Учебн. пособие. –М.:

МИИГАиК, 2006. –60 с.

3.КравчукИ.М.Особенностивычислениянормальныхвысотпорезультатамспутниковыхизмерений//Изв.Вузов.«Геодезия

иаэрофотосъемка». 2010. –№4. –С. 35–40.

Поступила 28 сентября 2010 г. Рекомендована кафедрой прикладной геодезии МИИГАиК

астрономия, гравиметрия и космическая геодезия

УДК 528.28; 528.2; 528:629.78

астрономия, гравиметрия и космическая геодезия

ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ВЛИЯНИЯ ЛУНЫ И СОЛНЦА НА ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ

Аспирант Е.В. Михайлович

Сибирская государственная геодезическая академия, г Новосибирск

E-mail: aceulov@mail.ru

Аннотация. Предлагаются результаты сравнения различных эфемерид Луны и Солнца, с точки зрения их влияния на точность расчета орбиты КА, а также исследование влияния лунно-солнечных приливов на положение КА для трех классов орбит.

Ключевые слова: расчет орбиты космического аппарата, влияние Луны и Солнца

Abstract. Various Moon and Sun ephemeris comparisons are presented as well as their influence on the accuracy of a space vehicle ephemeris generation. The influence of lunar-and-sun tides on position of a space vehicle is studied for three orbit classes.

Keywords: space vehicle ephemeris calculation, the Moon and Sun impact

Известно, что точность определения гео-

−r

дезических параметров динамическим мето-

r = µ

−

(2)

дом космической геодезии напрямую зависит

Ri −r

от точности расчета орбиты космического ап-

парата (КА). Точность определения орбиты в

где ri — вектор возмущающего ускорения от

свою очередь зависит от адекватности моделей

i–го фактора; μi

— гравитационный параметр

возмущающих сил, оказывающих влияние на

возмущающего тела (i = 1 для Луны; i = 2 для

Солнца); Ri — геоцентрический радиус-вектор

спутник. На космический аппарат действует

большое количество сил различной природы.

небесного тела (Луны или Солнца); r — гео-

центрический радиус-вектор КА.

В данной работе исследуются гравитационные

В табл. 1 приведены результаты исследова-

возмущения орбит КА от Луны и Солнца.

ниявлияниялунно-солнечногопритяженияна

Запишем уравнения возмущенного движе-

положение спутника для трех различных клас-

ния КА в векторной форме:

сов орбит. Расчеты проводились с помощью

µr

(1)

программного комплекса ОРБИТА–СГГА2,

r =

3 +ri .

реализующего динамический метод косми-

ческой геодезии [1, 2]. Результаты получены

Здесь r — вектор ускорения КА; r

—

методом численного интегрирования диффе-

радиус-вектор КА; ri — вектор возмущающе-

ренциальных уравнений движения КА на ин-

го ускорения КА от i–го фактора; µ — грави-

тервале порядка 110–130 ч. Значения

r, приве-

тационный параметр Земли.

денные в табл. 1, есть модули разностей двух

Если рассмотреть ограниченную зада-

геоцентрических векторов КА, рассчитанных

чу трех тел отдельно для системы «Земля–

на один и тот же момент времени, один из ко-

спутник–Луна» и для системы «Земля –спут-

торых получен при учете возмущающего фак-

ник–Солнце», пренебрегая гравитационным

тора, а другой — без его учета, т.е.:

r = |r2 – r1|,

влиянием КА на космические тела ввиду его

малости, то возмущающее ускорение, обуслов-

где r2 — геоцентрический вектор КА, вычис-

ленный без учета возмущения; r

— тот же

ленное влиянием на КА Луны и Солнца, опи-

вектор, вычисленный с учетом возмущений.

сывается формулой:

известия высших учебных заведений. геодезия и аэрофотосъемка, № 6, 2010

Т а б л и ц а 1

Влияние Луны и Солнца на положение космических аппаратов (м)

Система КА	Интервал	Количество		Влияние		Совместное влияние
Система КА	интегрирования t, ч	оборотов за t	Луны		Солнца	Луны и Солнца
	интегрирования t, ч	оборотов за t	Луны		Солнца	Луны и Солнца
GPS	12	1	884,7		161,2	927,3
GPS	36	3	3,3·103		407,7	3,4·103
a = 26560 км;	60	5	6,6·103		821,1	6,8·103
e = 0,013;	84	7	1,1·104		1,2·103	1,1·104
i = 55º	120	10	1,8·104		1,7·103	1,8·104
ГЛОНАСС	11,3	1	630,1		102,1	633,9
ГЛОНАСС	33,9	3	1,6·103		323,2	1,7·103
a = 25510 км;	56,5	5	2,4·103		543,5	2,5·103
e = 0,0002;	79,1	7	2,8·103		945,1	2,9·103
i = 64º,7	113	10	3,5·103		1,1·103	3,5·103
LAGEOS	3,8	1	12,9		9,6	12,9
LAGEOS	11,4	3	52,4		34,3	52,29
a = 12200км;	11,4	3	52,4		34,3	52,29
a = 12200км;	57	15	132,1		61,7	123,7
e = 0,005;	57	15	132,1		61,7	123,7
e = 0,005;	95	25	198,4		128,1	111,5
i = 109º,8	95	25	198,4		128,1	111,5
i = 109º,8	133	35	453,4		399,7	844,1
	133	35	453,4		399,7	844,1

Величины a, e, i — есть приблизительные значения большой полуоси, эксцентриситета и наклонения орбиты, соответственно.

Очевидно, что чем дальше от Земли располагается орбита спутника, тем сильнее гравитационное влияние Луны и Солнца на него. Как видно из формулы (2), точность расчета возмущающих ускорений зависит от точности вычисления координат векторов Ri (координат Луны и Солнца), которые в свою очередь могут быть получены с использованием различных эфемерид. В программном комплексе ОРБИТА–СГГА2 существует возможность вычисления координат Луны и Солнца двумя способами:

1)с использованием численной лунно – солнечной эфемериды DE200/LE200;

2)используя тригонометрические разложения Брауна–Эккерта для Луны и Ньюкома для Солнца [3].

Численная эфемерида DE200/LE200 была построена в 1982 г. в лаборатории реактивного движения США. В ней объединены динамические теории движения всех больших планет, Луны, Солнца и пяти крупнейших астероидов, с учетом влияния всех этих тел друг на друга, а также с учетом релятивистских эффектов, влияния фигур Луны и Земли

иприливных эффектов с передачей импульса от Земли к Луне. Позднее была получена модель DE405/LE405, которая является результатом улучшения предыдущих эфемерид по методу наименьших квадратов с помощью

различных данных наблюдений (измерений) с последующим численным интегрированием дифференциальных уравнений движения. В свою очередь в России в Институте прикладной астрономии РАН была создана и поддерживается серия эфемерид планет и Луны ЕРМ

(Ephemerides of Planets and the Moon). Эти эфе-

мериды получены численным интегрированием в барицентрической системе координат на интервале 1880–2020 гг. Улучшение последней версии эфемерид ЕРМ2006 выполнено по данным почти полумиллиона различных наблюдений, проведённых в 1913–2005 гг. В настоящее время эфемериды ЕРМ и DE/LE являются наиболее завершёнными динамическими моделями планетного движения. Очевидно, что использование современных численных эфемерид позволяет получать координаты Луны и Солнца с максимально возможной точностью.

Эфемерида Ньюкома–Брауна–Эккерта является устаревшей. Однако, поскольку она основана на аналитических формулах, то позволяет создавать эффективные и быстродействующие алгоритмы, не требуя наличия дополнительных «внешних» файлов.

Вследствие всего сказанного возникает вопрос: насколько сильно будут различаться координаты КА, вычисленные с использованием эфемерид DE200/LE200 и Ньюкома–Брауна– Эккерта? В табл. 2 приведены результаты численногоэкспериментапосравнениюкоординат КА, полученных численным интегрированием уравнений движения, с учетом влияния

астрономия, гравиметрия и космическая геодезия

Т а б л и ц а 2

Различия в положении КА, обусловленные использованием двух разных эфемерид Луны и Солнца

	Интервал	Количество		r, м
Система КА	интегрирования		t
		оборотов за
	t, ч

GPS	12	1		0,063
	36	3		0,235
a = 26560 км;
	60	5		0,419
e = 0,013;
	84	7		0,556
i = 55º
	120	10		0,587


ГЛОНАСС	11,3	1		0,124
	33,9	3		0,306
a = 25510 км;
	56,5	5		0,429
e = 0,0002;
	79,1	7		0,540
i = 64º,7
	113	10		0,691

LAGEOS	3,8	1		6,4
	11,4	3		0,024
a = 12200 км;
	57	15		0,055
e = 0,005;
	95	25		0,083
i = 109º,8
	133	35		0,14

Луны и Солнца. При этом координаты Луны и Солнца рассчитывались по двум разным эфемеридам. Расчеты проводились для трех видов орбит. Значения r, приведенные в табл. 2, имеют тот же смысл, что и ранее, т.е. это моду-

ли разностей геоцентрических векторов КА, полученные с использованием двух различных эфемерид Луны и Солнца.

Результаты эксперимента показывают, что различия в положении КА, обусловленные использованием различных эфемерид Луны и Солнца, невелико. Поэтому эфемериды Ньюкома–Брауна вполне можно использовать при обработке измерений относитель-

но невысокой точности (например, кодовых псевдодальностей). Для обработки измерений высокой точности следует использовать современные численные эфемериды Луны и Солнца. Отметим, что исследование влияния Луны и Солнца, результаты которого приведены в табл. 1, проводилось с использованием эфемериды DE200/LE200.

Гравитационное поле Луны и Солнца не только оказывает непосредственное влияние на положение КА, но и является причиной возникновения лунно-солнечных приливов в твердой коре Земли и океанах, изменяя таким образом гравитационное поле Земли. На практике действие лунно-солнечных приливов на спутник учитывается посредством введения поправок в коэффициенты разложения геопотенциала по шаровым функциям [4, 5]. Обычно, для учета прилива в твердой ко- ре Земли поправки вводятся в коэффициенты

C2 j , где j = 0, 1, 2 и S2 j , где j = 1, 2. Для учета океанических приливов исправляются следу-

ющие коэффициенты: Cij , где i = 2, …, 6; j = 0,

1, 2; Sij , где i = 2, …, 6; j = 1, 2.

С помощью программного комплекса ОРБИТА–СГГА2 было проведено исследование влияния приливов на положение КА для трех различных орбит. В табл. 3 приведены результаты данного исследования. Значения r, приведенные в табл. 3, имеют тот же смысл, что и ранее.

Полученные результаты позволяют сделать вывод, что хотя воздействие приливов

Т а б л и ц а 3

Влияние приливов на положение космических аппаратов (м)

Система КА	Интервал		Количество	Влияние прилива в		Влияние		Совместное
						океанического
	интегрирования	t, ч	оборотов за t	твердой коре	r1			влияние	r3
						прилива	r2

GPS	12		1	0,288		0,048		0,233
	36		3	0,297		0,224		0,354
a = 26560 км;
	60		5	0,543		0,378		0,335
e = 0,013;
	84		7	0,214		0,486		0,366
i = 55º
	120		10	0,578		0,446		0,958


ГЛОНАСС	11,3		1	0,139		0,115		0,201
	33,9		3	0,315		0,254		0,363
a = 25510 км;
	56,5		5	0,413		0,344		0,245
e = 0,0002;
	79,1		7	0,672		0,431		0,373
i = 64º,7
	113		10	1,519		0,824		1,069


LAGEOS	3,8		1	0,428		0,037		0,407
	11,4		3	1,693		0,102		1,660
a = 12200км;
	57		15	3,962		0,153		3,999
e = 0,005;
	95		25	5,692		0,260		6,524
i = 109º,8
	133		35	7,931		0,414		8,136

известия высших учебных заведений. геодезия и аэрофотосъемка, № 6, 2010

	на движение КА ослабевает с высотой, все	2. Сурнин Ю.В. Программный комплекс «ОРБИТА–СГГА»
	же приливные факторы оказывают достаточ-	дляопределенияорбитальных,геодезическихигеодинамиче-
	же приливные факторы оказывают достаточ-	ских параметров по результатам наблюдений ИСЗ. // Вестник
	но существенное влияние даже на «высокие»	СГГА,/ Новосибирск: СГГА, 2006. вып. 11. –С. 13–18.
	орбиты (GPS, ГЛОНАСС). Поэтому их обяза-	–М.: Гос. изд-во. физ.-мат. лит., 1969. –143 с.
		3. Вулард Э. Теория вращения Земли вокруг центра масс.
	тельно нужно учитывать при обработке высо-	4.IERSTechnicalNote21.IERSConventions(1996)[Text]/D.D.
	коточных траекторных измерений спутников	McCarthy (ed.) –Paris: Central Bureau of IERS. –Observatoire de
	ГЛОНАСС и GPS.	Paris, July 1996. –95 p. –Англ.
		5. IERS Technical Note No. 32. IERS Conventions (2003)
	ЛИТЕРАТУРа	[Electronic resource] / D.D. McCarthy and G. Petit (eds.) –Англ.
	1. Сурнин Ю.В. Программный комплекс «ОРБИТА–СГГА»	–Режим доступа: ftp://maia.usno.navy.mil/conv2000/
	для решения задач космической геодезии динамическим ме-	Поступила 18 марта 2010 г.
	тодом[Текст]/Ю.В.Сурнин,В.А.Ащеулов,Е.В.Михайлович,	Рекомендована кафедрой
	Н.К. Шендрик // Геодезия и картография. –2008. –№ 2.	Рекомендована кафедрой
	Н.К. Шендрик // Геодезия и картография. –2008. –№ 2.	астрономии и гравиметрии СГГА
	–С. 14–19.	астрономии и гравиметрии СГГА
	–С. 14–19.

Модели движения метеороида в атмосфере Земли

Профессор, кандидат техн. наук В.И. Крылов

Московский государственный университет геодезии и картографии

E-mail: vikrylov@rambler.ru

Аннотация. На основе аналитической и численной теории движения метеороида в атмосфере Земли приведены изменения массы метеороида, скоростного напора воздуха, высоты максимального торможения в процессе полёта для метеороидов разных размеров, плотности, начальной скорости и начального угла входа в атмосферу.

Ключевые слова: абляция, дифференциальные уравнения движения метеороида в атмосфере Земли, метеороид, угол входа

Abstract. Changes of meteoroid weight, ram air, flight slowdown maximum height are resulted on basis of analytical and numerical theory of meteoroid movement in the Earth atmosphere for meteoroids of different size, density, initial speed and atmosphere inlet angle.

Keywords: weight ablation, meteoroid movement in the Earth atmosphere, meteoroid, inlet angle

В космическом пространстве движутся самые различные метеороиды (осколки больших астероидов и комет). Пути их движения могут проходить вблизи с орбитой Земли и они могут залетать в её атмосферу. Оказывается, что в атмосферу Земли ежедневно влетают более 70 млн космических тел. Эти тела активно взаимодействуют с атмосферой. Атмосфера является газовым щитом и сепаратором проникающих к поверхности Земли метеороидов. Взаимодействие заключается в интенсивном комбинированномрадиационно-конвективном нагреве, плавлении и испарении, а также в возникновении больших перегрузок, приводящих к механическому разрушению метеороидов. Из большого количества космических пришельцев «выживает» только около 1% метеорного материала [1]. Основными определяющими параметрами взаимодействия космических тел с атмосферой планеты являются их массы, размеры, плотности, скорости, углы входа в

атмосферу, а также плотность воздуха на пути следования метеороида.

Баллистика метеороида существенно зависит от свойств (в первую очередь от плотности) атмосферы, так как торможение метеороида можно рассматривать как растянутый во времени удар тела об атмосферу. В первом приближении обычно принимают атмосферу Земли изотермической. И изменение плотности воздуха ρ с высотой h задаётся формулой, соответствующей экспоненциальной модели атмосферы

			h
ρ = ρ0	exp	−		,	(1)

			H

где ρ0 — плотность воздуха на уровне моря; H = mgkT — шкала высот; k = 1,38∙10-23 Дж/гра-

дус – постоянная Больцмана; T — абсолютная температура; m — средняя статистическая

астрономия, гравиметрия и космическая геодезия

масса молекул воздуха на данной высоте; g —

Тогда можно записать новое дифференци-

ускорение силы тяжести на той же высоте.

альное уравнение в виде:

В соответствии со вторым законом Ньюто-

dV = −

HVdρ

на уравнение движения центра масс тела, дви-

2βsinθ

жущегосясоскоростьюV всредесплотностью

которое решается методом разделения пере-

ρ задаётся уравнением

= −

(2)

менных

V = −

(ρ−ρe ).

(4)

2β

2βsinθ

выражении

(4)

предполагается,

что

в котором β = CDS

— баллистический коэф-

фициент; m — неизменная масса тела; S —

ρe

= ρ0 exp

−

— плотность атмосферы на

площадь поперечного сечения (миделя) тела;

высоте входа в неё метеороида; h , V — высо-

CD — безразмерный коэффициент сопротивле-

та полёта и скорость метеороида при входе в

ния воздуха.

атмосферу (начальные условия).

При движении в сильно разреженном газе,

Таким образом, выражение для скорости

когда длина свободного пробега молекул боль-

метеороида в функции плотности атмосферы

ше характерного размера тела, CD ≈ 2. При дви-

и начальных условий будет иметь вид:

жении тела в плотной атмосфере, когда длина

свободного пробега молекул меньше характер-

ного размера тела, CD ≈ 1.

V =Ve exp −

(ρ−ρe ) .

2βsin

Уравнение (2) записано в предположении,

Выражение для отрицательного ускорения

что сила тяжести, подъёмная и реактивная си-

(торможения) метеороида в функции плотно-

лы пренебрежимо малы по сравнению с силой

сти атмосферы и начальных условий на осно-

сопротивления атмосферы, уравнение (2) до-

вании уравнения (2) можно представить в ви-

полняется кинематическим уравнением изме-

де

нения высоты полёта метеороида с течением

времени

α =V = −

exp

−

(ρ−ρe ) .

(5)

2β

βsinθ

= −V sinθ,

(3)

Значение плотности воздуха, при котором

достигается максимальное

по модулю тормо-

где θ — неизменный угол входа метеороида в

жение метеороида, можно найти стандартным

атмосферу Земли.

методом, продифференцировав выражение (5)

Трёх уравнений (1)–(3) достаточно

для

определения зависимости скорости метео-

по плотности воздуха и приравняв произво-

дную нулю.

роида от высоты полёта. При решении задачи

Наибольшее замедление происходит при

удобно от времени перейти к новой независи-

плотности

воздуха

ρext =

βsinθ

на высоте

мой переменной — плотности атмосферы. Для

этого из уравнения (3) выразим:

= H ln

ρ0H .

= −

ext

βsinθ

Само же максимальное торможение зада-

V sinθ

Из уравнения (1) найдём выражение

ётся формулой

sinθ

Hρ

V 2 sinθ

exp

−1

= H ln

= −

≈ −

ext

2eH

βsinθ

продифференцировав которое, получим фор-

Максимальная

перегрузка

атмосфере

мулу

Земли определяется выражением

dh = − ρ dρ.

G =

(R+ he )2 ≈

sinθ

(R+ he )2 Ve2,

2Hµe

известия высших учебных заведений. геодезия и аэрофотосъемка, № 6, 2010

в котором μ — геоцентрическая гравитацион-

Величина скоростного напора, определяю-

ная постоянная, R — радиус Земли.

щая величину напряжений в теле, вычисляет-

Выражение для перегрузки G свидетель-

ся по формуле

ствует о том,

что

максимальная

перегрузка

зависит лишь от скорости и угла входа в ат-

ρV

= ρVe exp

−

(ρ−ρe ) .

βsinθ

мосферу и не зависит от массы метеороида.

Метеороид при торможении теряет кинетиче-

Максимальный

скоростной

напор

также

скую энергию по экспоненциальному закону

достигается в точке максимального торможе-

T = mV 2

= mVe2

exp

−

(ρ−ρ

) =

ния:

βsinθ

2βsinθ

)ext

ρV

exp

−1

≈

(

βsinθ

=Te exp −

(ρ−ρe )

Приведённые выше формулы справедливы

βsin

где Te

— начальная кинетическая энергия ме-

для так называемого идеального метеороида

[1]. Это означает, что ни масса, ни угол входа в

теороида при подлёте к Земле.

атмосферувпроцесседвиженияметеороидане

Теряемая

кинетическая

энергия

идёт

на

меняются. Эти ограничения позволили соста-

приведение атмосферы в движение, её на-

вить дифференциальные уравнения, которые

грев, а также на нагрев самого метеороида, его

интегрируются аналитически. В действитель-

плавление, испарение и разрушение. Здесь мы

ности при движении метеороида в атмосфере

рассматриваем потерю кинетической энергии,

Земли часть массы метеороида сгорает в ат-

вызванную лишь торможением атмосферы.

мосфере (явление абляции), а также по мере

Скоростьизменениякинетическойэнергии

движения метеороида меняется угол входа в

на пути l = – h/ sin θ (погонное изменение кине-

атмосферу.

тической энергии) определяется по формуле

В более адекватной модели движения ме-

dT dρ dh

теороида система дифференциальных уравне-

dl = dρ dh dl

ний движения метеороида в атмосфере Земли

имеет вид [1, 2]:

= −Te

exp

−

(ρ−ρe ) .

(6)

βsinθ

sin

θ−

(R+ h)2

Из выражения (6) видно, что на траекто-

рии полёта метеороида существует точка мак-

3m 3

симальной потери кинетической энергии на

CDπ

единицу пути. Эта точка совпадает с точкой

4πδ

максимального торможения. Величина макси-

−

ρ0

exp −

;

мальной потери кинетической энергии задаёт-

= −V sinθ;

ся выражением:

sinθ

Hρ

T sin

= −T

exp

−1

≈ −

ext

βsinθ

Chπ

4πδ

Оставшаяся кинетическая энергия в точке

= −

ρ0 exp

−

;

её максимальной потери:

Hρ

cosθ

Text

=Te exp

−

≈

e .

dθ

V cosθ

βsinθ

(R+ h)

−

Таким образом, в точке максимальной по-

R+ h

тери кинетической энергии, совпадающей с

точкой максимального торможения,

энергии

остаётся в 2,7 раза меньше её первоначального

CLπ

4πδ

(7)

значения.

−

ρ0

exp

−

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.05.2015254.96 Кб23земелька курсач.rtf
#
17.09.201950.63 Кб3Земельное право.docx
#
17.09.201982.85 Кб3Земельное право.docx
#
02.05.2015117.76 Кб14Земельный Фонд.doc
#
26.04.2019407.87 Кб19Из ПДФ.docx
#
02.05.20153.51 Mб53Известия вузов Геодезия и аэрофтосъемка №6.pdf
#
02.05.2015223.74 Кб35Измерение цифровых снимков.doc
#
29.08.2019151.04 Кб2Илюшина .doc
#
24.11.20191.33 Mб6Инженерное обустройство территорий.docx
#
02.05.2015631.81 Кб12инструкция по атс полигонометрия.pdf
#
10.03.2016577.02 Кб69ИНСТРУКция по ФГМ работам.DOC