Методичка_Сигналы

31

Еще одну форму комплексного представления гармонического сигнала можно получить исходя из формул Эйлера:

eix cos x i sin x, e ix cos x i sin x,

cos x eix e ix , 2

sin x eix e ix . 2

В этом случае получаем следующее соотношение

S t A0 cos 0t 12 A0ei( 0t ) 12 A0e i 0t . (2.16)

Первой из этих форм соответствует векторное представление, изображенное на рис.2.3а.

Рис. 2.3

Действительная функция S t получается в первом случае как проекция OB вектора A0 на горизонтальную ось, а во втором –как сумма проекций OB на ту же ось двух векторов с амплитудами A0 2 , вращающимися с угловой частотой 0 во взаимнопротивоположных направлениях.

В соответствии с этим второе слагаемое в правой части выражения (2.16) можно трактировать как колебание с «отрицательной» частотой, что приводит к следующей записи:

Нетрудно видеть, что в данном случае «отрицательные» частоты имеют формальный характер и связаны с применением комплексной формы для представления действительной функции времени. Хотя, если рассматривать частоту как скорость изменения фазы гармонического сигнала t t , то отрицательные частоты приобретают физический смысл и они равноправны с положительным.

Графически амплитудный спектр гармонического сигнала S t (рис.2.4а), может быть представлен как в виде, показанном на рис.2.4б, так и в виде, показанном на рис.2.4в.

S(t)

A0

-A0

а)

A A

Рис. 2.4

34

Следует еще раз подчеркнуть, что полученные тригонометрический и экспоненциальные разложения в ряд Фурье не являются двумя различными типами рядов, а выражают одно разложение двумя различными способами. Как видно из выше приведенных выражений, коэффициенты одного разложения можно выразить через коэффициенты другого:

При тригонометрическом виде представления функцию An A n 0 называют односторонним (не имеющим отрицательных частот) спектром амплитуд, а функцию

спектром фаз.

Таким образом, если известны спектры амплитуд и спектры фаз сигнала S t , то в соответствии с (2.19) и (2.24), он может быть однозначно восстановлен.

35

Как легко заметить из приведенных соотношений, спектры периодических сигналов определены только в дискретных точках n 0 , поэтому спектры периодических сигналов называют линейчатыми или дискретными. Такие спектры принято изображать графически в виде вертикальных линий на частотах n 0 , причем высота каждой линии пропорциональна амплитуде или фазе соответствующей гармоники, что дает наглядное представление о «ширине спектра» и относительной величине отдельных ее составляющих.

На рис.2.5а показаны примеры амплитуды и фазы одностороннего частотного спектра периодического сигнала, представленного в комплексной форме.

Рис.2.5

Таким образом, две характеристики: амплитудная и фазовая каждой гармоники определяют частотный спектр периодического сигнала и однозначно его описывают.

Как видно из рис.2.5б двухсторонние спектры периодических сигналов обладают интересной особенностью: спектры амплитуд симметричны относительно оси 0 , а спектры фаз симметричны относительно начала координат. Это легко доказать для общего случая. Действительно, исходя из выражений 2.14, 2.15, 2.16 Сn и

36

C n являются комплексно-сопряженными величинами, следовательно Сn С n , то есть Сn - четная функция n и график функции Сn - симметричен относительно оси

0 .

Если Сn - действительная величина, то C n - так же действительная величина и

Сn С n , а если Сn - комплексная величина, то

Сn Cn e i n и C n Cn ei n .

Следовательно n - нечетная функция n и ее график симметричен относительно начала координат.

§2.5. Распределение энергии в спектре периодического сигнала

Положим, что сигнал S t представляет собой периодическую функцию параметра t с периодом T. Средней за период мощностью сигнала назовем величину

аналогично тому, как определяется в физике мощность на активном сопротивлении

При возведении в квадрат правой части выражения (2.31) появятся слагаемые следующих видов:

1.a0 2 ;2

Слагаемые второго вида после приведения к форме:

37

Последний вид слагаемых при интегрировании за период Т обращаются в нуль, как ортогональные функции.

Таким образом, средняя мощность сигнала за период Т выразится следующим соотношением:

где S0 a20 - постоянная составляющая;

Sn - амплитуда n-й гармоники сигнала.

При использовании ряда Фурье в комплексной форме и с учетом (2.28) получим:

Итак, средняя мощность сигнала за период T равна сумме средних мощностей постоянной составляющей и гармоник. С энергетической точки зрения отдельные спектральные составляющие сложного периодического сигнала аддитивны, что является результатом ортогональности гармонических функций с кратными частотами.

Важно отметить, что мощность сигнала не зависит от величин фаз отдельных гармоник. Таким образом, изменение формы сигнала из-за изменений фазовых соотношений между отдельными гармониками, входящими в спектр сигнала, не влияет на среднюю мощность сигнала.

По виду функции Sn2 можно делать выводы о распределенной мощности в спектре периодического сигнала и, следовательно, определять полосу пропускания, обеспечивающую достаточно полное использование мощности сигнала.

§2.6. Преобразование Фурье.

Любой физически реализуемый сигнал является ограниченным по частоте, по времени и обладает конечной энергией. Ограничение по частоте и энергии следует из инерционности и ограничения мощности реально реализуемых источников сигналов и если сигнал обладает конечной энергией, то он должен быть ограничен и во времени.

38

С математической точки зрения это означает, что функции S t , отображающие реальные сигналы, удовлетворяют условиям Дирихле и требованию абсолютной сходимости интеграла от модуля функции S t , то есть

периодический с периодом (Т), стремящимся к бесконечности. Количество гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно возрастать, так как при T основная частота

частоте 0 , становится бесконечно малым, а спектр - непрерывным (сплошным). Таким образом, выражения для спектрального представления непериодического

сигнала можно получить предельным переходом (при T ) спектра периодического сигнала, выраженного рядом Фурье.

Прямое и обратное преобразование Фурье для периодической функции SП t

до d , n 0 превращается в текущую частоту , а операция суммирования заменяется операцией интегрирования. Таким образом, ряд Фурье преобразуется в интеграл Фурье:

Внутренний интеграл, являющийся функцией ,

Учитывая, что

T 1 ,

F0

где F0 2 0 - циклическая частота, соответствующая круговой частоте 0 , получим:

Множитель знаменателя 2 в правой части этого выражения учитывает то, что при использовании экспоненциальной формы ряда Фурье, в которой фигурируют отрицательные частоты, амплитуды гармоник равны половине амплитуд получаемых при одностороннем разложении.

Таким образом, значение спектральной плотности на частоте n равно отношению половины амплитуды гармоники n к основной частоте периодического сигнала, выраженной в герцах, которая равна полосе частот, отделяющей соседние линии дискретного спектра. Таким образом, физическая суть спектральной плотности – это плотность амплитуд и ее размерность амплитудагерц . Из анализа соотношения (2.44) вытекает важное положение: непрерывный спектр (модуль спектральной плотности) непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодической функции совпадают по форме и отличаются только масштабом:

Из выражения (2.38) с учетом формулы Эйлера можно получить выражение для спектральной плотности S i , а, следовательно, и прямое преобразование Фурье, в тригонометрической форме: