Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Методичка_Сигналы

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
02.05.2015
Размер:
690.02 Кб
Скачать

21

появлению шумов и погрешностей дискретизации, причем можно выделить несколько причин их появления.

Во-первых, из-за инерционности реальных устройств, процесс дискретизации по времени осуществляется ни на основе последовательности дельта-функций (как того требует соотношение (1.21)), а на основе последовательности импульсов конечной длины П t , близким по форме к прямоугольным. Поэтому результат дискретизации по

времени можно представить в виде:

 

xk t x t П t k t .

(1.25)

k

 

Различия в спектрах последовательности -функций и последовательности

конечных импульсов ведут к искажению спектра квантованного сигнала

xk t и, как

следствие, к искажению восстанавливаемого непрерывного сигнала x t .

 

Второй причиной появления шумов и погрешностей является неограниченность спектра или наличие в спектре сигнала частот, превышающих априорно максимальную ( FM ). В этом случае условие теоремы Котельникова нарушается, и частотные составляющие непрерывного сигнал x t с частотами, большими половины частоты отсчетов создают помеху – так называемый «шум дискретизации».

Еще одна возможность появления шумов в процессе дискретизации возникает при дискретизации изображений или сигналов хотя и с ограниченным спектром, но зашумленных «белым шумом», для которого FM . В этом случае отдельные отсчеты слишком далеко отстоят друг от друга и они могут нести в себе вклад как от высоких частот белого шума, так и от низких частот исходного сигнала. Это явление носит название маскировки частот и представляет собой источник ошибок, присущий только цифровым системам обработки.

Для устранений явления маскировки частот и шума дискретизации необходимо выбирать интервал дискретизации ( t ) из наивысшей частоты FM , возможной в квантуемом непрерывном сигнале x t . Кардинальный метод борьбы с этими явлениями заключается в фильтрации сигналов до процесса дискретизации по времени таким образом, чтобы составляющие с частотами, нарушающие условие теоремы Котельникова, отсутствовали.

Рассмотренные методы дискретизации по времени с постоянным шагом ( t const ) всегда подразумевает априорные сведения о характеристиках сигнала, в

22

частности FM . Эти методы отличаются простотой, так как нет необходимости регистрировать моменты взятия отсчетов. Однако несоответствие интервала дискредитации ( t ) конкретным текущим характеристикам квантуемого сообщения или отклонение этих характеристик от априорных ведет к избыточности отсчетов.

Наряду с дискретизацией с постоянным шагом, которую часто еще называют равномерной дискретизацией, существует и неравномерная дискретизация, при которой интервал дискретизации может изменяться либо по случайному закону, либо в соответствии с изменениями характеристик квантуемого сигнала. Последний вид дискретизации часто называют адаптивной дискретизацией. Методы адаптивной дискретизации более сложны в алгоритмическом смысле и в технической реализации, однако они позволяют существенно уменьшить избыточность отсчетов, что очень важно при обработке больших потоков информации.

§1.7. Шумы. Общие понятия

Как известно, материальные носители информации, в частности, сигналы, подвержены влиянию помех.

Под помехой понимают любое нежелательное изменение сигнала, причем все помехи можно разделить на два класса: систематические помехи и случайные помехи или шумы. Систематические помехи – это помехи, которые искажают сигнал по определенному закону и если этот закон известен, то они могут быть скомпенсированы или устранены.

Случайными помехами или шумом называют помехи, для которых неизвестен закон их искажающего воздействия на сигнал в каждом конкретном случае.

Воздействие помех на сигналы может быть различным. Наиболее распространенным на практике является случай аддитивной помехи, когда сигнал x и помеха n складываются алгебраически; при этом зашумленный сигнал y определяется из выражения:

y x n .

(1.26)

Воздействие помехи на сигнал может выражаться в их перемножении, то есть:

y c x n ,

(1.27)

где c – множитель, введенный для согласования размерности.

23

Такая помеха называется мультипликативной. Возможны и другие более сложные случаи воздействия помехи на сигнал.

Случайные помехи (шум) характеризуют законом распределения значений, которые они принимают, и спектральным составом. Зная закон распределения, можно вычислить вероятностные характеристики шума.

Если эти характеристики не зависят от времени или от пространственных координат, то такую помеху называют стационарной.

Полностью устранить влияние шумов на сигналы и информационные процессы практически невозможно, так как многие шумы обусловлены атомистической и квантовой структурой материи, поэтому информационные процессы всегда подвержены влиянию шумов.

Основными видами шумов, влияющих на информационные процессы, являются следующие:

флуктуационные шумы, возникающие из-за квантовых явлений (дробовой шум) и из-за теплового движения атомов и электронов (тепловой шум);

шумы, вызванные неоднородностью источников сообщений и носителей информации (шум зернистости);

шумы, вызванные некоторыми видами преобразований сигналов (шумы дискредитации и т.п.).

Важно отметить, что при исследовании информационных процессов часто пользуются понятием «белый шум», который представляет собой некую абстрактную модель шума, обладающую следующими свойствами:

его среднее значение равно 0;

его значения подчиняются нормальному распределению;

его спектральная плотность не зависит от частоты в пределах от до .

Гл. 2. Аналитическое моделирование сигналов

§2.1. Общие подходы к моделированию сигналов.

Улучшение эффективности работы информационных систем непосредственно зависит от установления количественных соотношений характеризующих взаимодействие элементов,входящих в эти системы.

24

Изучение свойств источников сообщений, каналов связи, сигналов и помех значительно укращается и обобщается, если отвлечься от их конкретной физической природы и содержания, заменяя их математическими моделями, то есть неким способом описания, отражающим существенные с точки зрения поставленной задачи факторы.

При математическом моделировании могут использоваться модели, которые противоречат физическим свойствам реальных объектов. Так, например, сигнал конечной длительности часто представляют суперпозицией гармонических функций, имеющих неограниченную длительность или сигнал, соответствующий сообщению, генерируемому случайным источником сообщений (который принципиально является случайным) описывают на основе моделей детерминированных сигналов.

Однако использование таких моделей имеет ряд достоинств, наряду с простотой описания, важнейшим из них является то, что результат анализа детерминированных сигналов являются основой для изучения более сложных случайных сигналов, так как детерминированный сигнал может рассматриваться как элемент множества детерминированных функций, составляющих в совокупности случайный сигнал. Детерминированный сигнал, таким образом, можно рассматривать как вырожденную форму случайного сигнала с достоверно известными параметрами. Детерминированные сигналы и сами самостоятельно могут использоваться в информационных системах в качестве эталонов с целью калибровки и юстировки этих систем.

§2.2. Математические модели представления детерминированных одномерных сигналов

Для удобства в дальнейшем рассматриваются одномерные сигналы, зависящие от одного параметра, например, времени или пространственной координаты. Предположим также, что информационные системы являются инвариантными во времени и линейными. В связи с тем, что большинство применяемых моделей информационных систем и каналов обладают свойствами суперпозиции, то при прохождении через такие системы сложного сигнала S t его удобно представить в виде взвешенной суммы более простых базисных функций k t .

 

t t1, t2 ,

 

S t Ck k t ,

(2.1)

k 0

25

где Ck - постоянные коэффициенты;

t1,t2 - интервал существования сигнала; t1 - начало сигнала;

t2 - окончание сигнала.

Таким образом, при заданном наборе базисных функций, сигнал S t однозначно определяется совокупностью безразмерных коэффициентов Ck , которая называется дискретным спектром сигнала, а сами Ck - спектральными коэффициентами. Избрав такой вид представления сигнала, следует помнить, что сигналы конечной длительности за пределами интервала t1,t2 , не равны нулю, а условно считаются периодически продолжающимися, так как они представляются выражением (2.1). Если же необходимо, чтобы ограниченный по времени сигнал вне интервала t1,t2 был равен 0, то для его представления используют выражение:

 

 

S t S , t d ,

(2.2)

 

 

где S - спектральная плотность;

 

, t - базисная функция с непрерывно изменяющимся параметром ω.

 

Размерность S обратна размерности параметра ω, а произведение

S d

является аналогом безразмерного коэффициента Ck .

С практической точки зрения базисные функции k t следует выбирать так, чтобы они имели простой аналитический вид, простую техническую реализацию, обеспечивали быструю сходимость ряда (2.1) и позволяли легко определять коэффициенты Ck .

Вычисление спектральных коэффициентов Ck упрощается, если в качестве совокупности базовых функций ( k ) использовать системы ортогональных функций.

Систему функций 0 t , 1 t , k t , j t n t

называют ортогональной на

интервале t1,t2 , если для всех k 0,1,..., n и

j 0,1,..., n , за исключением случая k j ,

справедливо равенство

 

 

t2

 

 

k t j t dt 0 .

(2.3)

t1

 

 

26

Эта система ортогональных функций называется ортонормированной, если для всех j 0,1,..., n справедливо выражение

t2

t 1.

 

2j

(2.4)

t1

 

 

Если выражение (2.4) не выполняется и

t2

t j 0 ,

 

 

2j

при j 0,1,..., n ,

(2.5)

t1

 

 

 

то систему ортогональных функций легко отнормировать, умножив каждую функциюj t на свой коэффициент 1 j .

При использовании в представлении сигналов в качестве базисных функций систем ортонормированных функций, определение спектральных коэффициентов Ck не представляет сложности. Действительно, если сигнал U(t) представлен

совокупностью ортонормированных функций k в виде:

 

S t Ck k t ,

t t1 ,t2 ,

(2.6)

k

 

 

то, полагая, что интервал t1 ,t2 принадлежит интервалу ортогональности, умножая обе

части равенства на j

и интегрируя их на интервале t1 ,t2 получим

 

 

t2

 

t2

 

 

S t j t dt Ck k t j t dt .

(2.7)

 

t1

k

t1

 

В силу свойства ортогональности все интегралы в правой части выражения (2.7) при k j будут равны нулю, кроме одного, при k j , который будет равен 1, следовательно

t2

 

Сj S t j t dt .

(2.8)

t1

 

Таким образом, могут быть определены все спектральные коэффициенты, входящие в рассмотренную формулу представления сигнала. На практике для представления сигналов наиболее часто используют системы ортогональных функций

cos n 0 t;sin n 0 t , n 1,2..., 0

 

2

;

ei n 0 t , n 0, 1 2,..., 0

 

2

 

 

T

(2.9)

 

 

 

 

 

,

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Т - период сигнала.

27

Для этих целей могут быть использованы системы функций Хаара, системы функций Уолша, ортогональные базисные многочлены Котельникова, Чебышева, Лежандра.

На практике часто используют в качестве системы ортогональных базисных функций совокупность дельта-функций (δ-функция), иногда ее называют функцией Дирака.

Математическое описание дельта-функции t задается соотношением:

 

, при t

t 1

 

0, при t

 

 

t 1

dt 1.

1;

 

1

,

(2.10)

 

 

Такая математическая модель соответствует идеальному (абстрактному) импульсу бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды, имеющего координату t 1 .

Очевидно, что спомощью δ-функции можно выразить значение любого реального сигнала U t при конкретном значении координаты 1 :

 

 

 

S 1 S t t 1

dt .

(2.11)

Это равенство справедливо для любого текущего значения координаты t. Заменив 1 на t и приняв в качестве переменной интегрирования ξ, получим

 

 

 

S t

S t d .

(2.12)

Такая модель представляет функцию S t в виде последовательности примыкающих друг к другу δ-функций. Совокупность таких δ-функций ортогональна, так как они не перекрываются.

Представление сигналов в виде совокупности δ-функций очень полезно при анализе линейных систем, так как установив реакцию системы на единичную δ- функцию (импульсную переходную функцию), можно определить реакцию системы на произвольный входной сигнал, которая соответствует суперпозиции реакций на последовательность смещенных δ-функций с соответствующими весами.

§2.3. Частотная форма представления детерминированных сигналов

28

Современные системы обработки информации и, в частности, системы обработки изображений являются сложными комплексами взаимодействующих технических устройств, для описания которых часто используют их математические модели. При этом вся система представляется в виде совокупности отдельных инвариантных во времени линейных звеньев, работа каждого из которых описывается либо линейными дифференциальными уравнениями, либо уравнениями в конечных разностях.

При исследовании таких систем решения всегда содержат экспоненциальные функции времени, так как этот класс функций инвариантен по отношению к операциям дифференцирования и интегрирования.

Поэтому для представления детерминированных сигналов широко используются системы базисных функций вида e pt , как при p i (преобразование Фурье), так и при p s i (преобразование Лапласа). При этих преобразованиях параметром базисных функций является частота (ω).

Причем важно отметить, что использование экспоненциальных базисных функций в преобразовании Фурье попарно (с положительным и отрицательным параметром ω) позволяет, в соответствии с формулами Эйлера, представить сигнал в виде гармонических составляющих, то есть перейти к системе базисных функций видаcos t,sin t , которые тоже содержат в качестве параметра частоту (ω).

Поэтому эти методы представления детерминированных сигналов называют частотной формой представления сигнала. Причем первый вид представления (на основе базисных функций вида e pt ) носит название экспоненциального или комплексного, а второй (на основе гармонических базисных функций) - тригонометрического.

Важно отметить, что экспоненциальный и тригонометрический виды представления детерминированного сигнала не являются двумя различными видами представления, а представляют собой лишь различные выражения частотной формы представления сигнала. Анализ работы как отдельных звеньев, так и всей информационной системы в целом, как правило, проводится с помощью частотных методов (основанных на частотном представлении сигнала), теория которых широко разработана и которые позволяют применять широко распространенную измерительную технику. Поэтому представляет большой интерес математическое описание различного вида сигналов и процессов их обработки в частотной области.

29

§2.4. Математическое описание одномерных сигналов

Одномерные сигналы, как указывалось ранее, представляются функциями одного аргумента, например: f t . Для представления одномерных сигналов в частной области удобно разделить их на три вида: гармонические, периодические и непериодические.

а) Гармонический сигнал S t традиционно записывается в следующем виде:

S t A0 cos 0t ,

(2.13)

где A0 - амплитуда гармонического сигнала;

0 - частота гармонического сигнала;

φ- фаза;

ипредставляет собой простейший вид одномерных сигналов.

Выражение (2.13) представляет собой тригонометрический вид представления, который может иметь и иную запись, соответствующую разложению по базисным функциям:

S t A0 cos 0t a cos 0t b sin 0t ,

(2.14)

где A

a2 b2 ,

0

 

arctg ab .

Справедливость этого соотношения легко проиллюстрирует рис.2.1

30

A0 b0sin(ω0t+φ) φ

a0cos(ω0t+φ)

Рис. 2.1

Спектр гармонического сигнала состоит только из одной частоты 0 .

Под спектром сигнала понимается совокупность гармонических сигналов с заданными частотами, амплитудами и фазами, сумма которых даст исходный сигнал.

Наряду с тригонометрической формой представления гармонического сигнала широко используетсся комплексная форма представления. Идея перехода от тригонометрической формы представления к комплексной заключается в следующем. Гармонический сигнал S t A0 cos 0t можно представить как проекцию радиуса единичной окружности в комплексной области на действительную ось (рис.2.2).

Поэтому имеет место следующее соотношение

 

 

S t A0 cos 0t A0 Re ei 0t .

(2.15)

Im

 

 

 

eix

 

sin x

 

 

x

Re

 

cos x

 

x=ωt+φ

 

 

 

Рис. 2.2

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.