Методичка_Сигналы

arctg

B

- фаза

i .

S

A

Так как A - четная функция частоты, а B - нечетная относительно частоты

, то, как и в случае ряда Фурье, модуль

спектральной плотности S

- есть

функция четная, а фаза

- нечетная относительно частоты.

Обратное преобразование Фурье так же легко привести к тригонометрической

форме. Действительно в соответствии с (2.30) и учетом (2.43) имеем:

1

1

U t

i ei t d

S ei t d

S

2

2

(2.47)

1

i

S

cos t d

S sin t d .

2

2

Второе слагаемое из-за нечетности подинтегрального выражения равно нулю,

следовательно:

1

1

U t

S cos t d

S cos t d .

(2.48)

2

0

будет равна

S a1S1 a2 S2 ,

(2.49)

2 s t

S e i t d .

(2.50)

2 s t S e i x t dx ;

2 s S x e i x dx ;

2 S S t e i t dt S S t .

Следовательно, спектральная плотность сигнала S t

равна 2 s . Если s t

- четная функция, то s s

и

спектральная

плотность

сигнала

S t равна

2 s .

3. Свойство изменения масштаба.

Если сигнал s t имеет спектральную плотность

S ,

то при

изменении

масштаба исходного сигнала, то есть для сигнала s a t

( a -любая действительная

постоянная) спектральная плотность равна

1

S

.

a

a

Действительно:

S s a t

s a t e i t dt .

Произведем замену переменных a t x , тогда

а) при a 0

S s at

S

1

s x e i a x dx 1

;

(2.51)

a

a

a

б) при a 0

S s at

1

1

S

.

s x e i a x dx

(2.52)

a

a

a

43

s a t равна

1

Следовательно, спектральная плотность сигнала

S

.

a

a

то сигналу

s t ei 0t

соответствует

спектральная плотность S 0 ,

то есть

умножение сигнала s t

на ei 0t сдвигает весь спектр S на частоту 0 .

Для доказательства этого свойства применим обратное преобразование Фурье к

спектру S 0 и произведем замену переменных 0 x , тогда

1

S 0 ei 0t d

1

S x ei x t ei x0 t dx s t ei 0 t .

(2.53)

2

2

Таким

образом,

сигналу s t ei 0t

соответствует

спектральная плотность

S 0 .

5. Свойство временного сдвига.

Если S( ) есть

спектральная

плотность

сигнала

s t , то сигналу

s t t0

соответствует спектральная плотность

S e i t0

. Для доказательства этого свойства

применим прямое преобразование Фурье к сигналу s t t0

и сделаем в нем замену

переменных t t0 x , тогда

s t t0 e i t dt

s(x) e i x t0 dt e i t0 s(x) e i xdx S( ) e i t0 . (2.54)

Таким

образом,

сигналу

s t t0 соответствует

спектральная плотность

S e i t0

. Другими словами, при сдвиге сигнала на t0 , его амплитудный спектр не

меняется, а изменяется только фазовый спектр на величину - t0 .

6. Если сигнал s1 t имеет спектральную плотность S1 , а сигнал s2 t S2 ,

то

1

1

s1

t s2 t

dt

s1 t dt S2 ei t d

S2 d s1

t ei t dt

2

2

(2.55)

1

1

S2

S1 d

S2 S1

d ,

2

2

где S

– комплексно сопряженная с S функция.

1

1

S' равна

S' S W i .

(2.56)

t dt .

E s2

(2.57)

2

1

i t

E s

t dt

s t s t dt s t

S e

d dt

2

(2.58)

1

s t

ei t dt d

1

d .

S

S

S

2

2

Для действительной функции s t

,

S

S

где

- комплексно-сопряженна

функция, и поэтому

S

S

S

2 ,

S

S

причем, как указывалось ранее (§2.4),

S

2 - четная функция.

Таким образом,

1

1

E s2 t dt

S

2 d

S

2 d .

(2.59)

2

0

45

S

2 - называют спектром плотности энергии или спектральной плотностью энергии

сигнала, физический

смысл которого - энергия, приходящаяся на единицу полосы

частот при текущей

частоте ω (размерность: энергия герц). Соотношение (2.59),

ограниченной мощностью называют мощностными.

Определим среднюю мощность непериодического сигнала

s t как среднюю

мощность W, рассеиваемую на активном сопротивлении величиной 1 Ом в течение времени

(Т) действиясигнала, тогда:

1

T 2

t dt .

W lim

T

s2

(2.60)

T T

2

Непериодическийсигнал s t представимконечнымповременисигналом sT t :

s t , при

t

T ;

sT

t

2

(2.61)

0, при

t

T .

При конечном Т сигнал s t

2

имеет конечную энергию, и тогда, в соответствии (2.59),

энергия ET

сигнала sT t определится из выражения:

T 2

1

ET

s2 t dt

ST

2 d ,

(2.62)

2

T

2

где ST

- спектральная плотность сигнала s t . Следовательно,

E

1

T 2

1

ST

2

W lim

T

lim

s2 t dt

lim

d .

(2.63)

T

T

2

T

T

T

T

2

Если предел под знаком интеграла существует, то эта функция называется

спектральнойплотностьюмощности P , то есть

P

lim

S

T

2

.

(2.64)

T

T

Можно доказать,

что

P 2

2 n 0 и среднюю

мощность

Cn

n

сигнала W, с учетом четностифункции P , можнопредставитьввиде:

1

1

W

P d

P d .

(2.65)

2

0

функциидетерминированныхпроцессовзависяттолькоот t2 t1 .

Если заданы сигналы s1 t

и s2 t , то

корреляционные функции определяют

следующими выражениями:

1

T 2

Rs1s2

T s1 t s2

t dt

- взаимнокорреляционнаяфункция;

(2.66)

T

2

R

1

T 2s t s t dt

- автокорреляционнаяфункция.

(2.67)

s

T T

2

Если s1 t и s2 t

- два периодических сигнала с одинаковым периодом T,

то

очевидно, что их корреляционная

функция Rs

,s

тоже является периодической

с

1

2

a)

u( ,t)

в) u( ,t)

x(t)

y(t)

б) x(t)

T

г) y(t)

t

t

Пусть на вход

импульсного модулятора поступает непрерывный сигнал x t

(рис.2.6б). Импульсный

модулятор формирует последовательность единичных импульсов

(рис.2.6в) с периодом Т и длительностью импульсов ,

причем T . Математическую

модельтакойпоследовательности импульсов можно описать в виде функции u ,t :

1, если kT t kT

;

(2.74)

u ,t

0, если kT t k 1 T ,