Некоторые полезные сведения из теории Вероятности.

1. Случайные события.

1. Событием (U) называют всякий факт, который может произойти или не произойти.

2. Вероятностью события P(U) называется численная мера степени объективной возможности этого события.

3. Достоверным событием называют событие (U), которое в результате опыта непременно должно произойти. Вероятность достоверного события принимается равной единице, т.е. P(U)=1.

4. Невозможным событием называют событие Q, которое в результате опыта никоим образом не может произойти. Вероятность невозможного события принимается равной нулю, т.е. P(Q)=0.

1.5 Из 1.4.и 1.5. следует, что вероятность любого события (А) заключена в интервале от 0 до 1, т.е. .

1.6 Несколько событий в данном опыте называют несовместными, если никакие два из них не могут произойти одновременно.

7. Несколько событий в данном опыте называют равновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое- либо из них более предпочтительным или возможным.

8. Условной вероятность события А при наличии события В называют вероятность события А, вычисленную при условии, что событие В произошло. Условная вероятность в этом случае обозначается как Р(А/В).

9. События называются независимыми, если появление одного из них никоим образом не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий А и В справедливо:

10. . Полной группой событий называют несколько событий таких, что в результате опыта непременно произойдет хотя бы одно из них. Если события А_k (k=1, 2, …,n) составляют полную группу событий и несовместны, то

,

так как - достоверное событие.

1.11. Если несколько событий а) образуют полную группу событий, б) несовместны, в) равновозможны, то вероятность события А можно вычислить по формуле

,

где n – общее число возможных событий (исходов опыта),

m – число событий, благоприятствующих событию А.

2. Алгебра событий

2.1. Случайные события обозначают большими буквами алфавита.

2.2. Равенство двух событий А и В (А=В) означает, что появление одного события непременно влечет за собой появление другого.

2.3. Суммой двух событий А и В называют событие С (С=А=В), заключающееся в появлении хотя бы одного из событий А и В.

2.4. Произведением двух событий А и В называют событие С(С=А·В), заключающееся в одновременном наступлении обоих событий А и В.

2.5. Если результат какого- либо опыта может иметь два взаимно исключающих события А и В (полная группа событий), одно из этих событий называют противоположным событием другому, напри- мер, В- противоположное событию А и обозначается Ă (читается как «не А»). Для прямого события А и противоположного события А (как составляющих полную группу событий) справедливо тождество:

Р(А)= Р(Ă)=1.

2.6. Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности произведения этих событий, т.е.

Р(А+В)=Р(А) + Р(В)- Р(А·В).

В случае, если А и В несовместны, то Р(А·В)=0 и, следовательно,

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

2.7.Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий А и В равна вероятности одного из них, умножен- ной на условную вероятность другого при наличии первого, т.е.

Р(А·В)= Р(А·В)= Р(А)·Р(В/А)=Р(В)·Р(А/В).

В случае, если события А и В независимы, то с учетом п.1.9 справедливо:

Р(А·В)=Р(А)·Р(В)= Р(В)·Р(А).

2.8. Полезное правило решения задач на случайные события.

Для того, чтобы найти вероятность интересующего события, необходимо:

а) с помощью алгебры событий описать интересующее событие через известные события, т.е. такие события, вероятность которых известна;

б) с помощью теорем вероятности суммы и вероятности произведения найти вероятность интересующего события.