21. Поперечные волны на дискретной струне. Явление дисперсии. Фазовая и групповая скорость волн.

Вещество, в том числе и струна, это среда дискретная, в конечном счете она состоит из атомов. Если струна непрерывна, то на ней могут существовать волны любой длины.

Масса шариков одинакова и располагаются они одинаково дискретная струна характеризуется двумя параметрами: массой и периодом.

min=2a

гармоническая волна

Если среда дискретная, то в ней наблюдается дисперсия волн, которая выражается в том, что w(k)!=Vф. Vф!=const, k – не линейная функция.

Применяем второй закон Ньютона для участка струны.

- (*) волновое уравнение для дискретной струны

имеет дифференционно-разностную природу.

yn(t)=Aei(wt-kx)=Aei(wt-kna)

(**)

сделав подстановку (**) в (*), получили:

на величину циклической частоты накладывается ограничение.

Максимальное значение частоты представляет собой собственную частоту противофазных колебаний соответствующих самой

маленькой длине волны.  ,

1)Низкие частоты: w->0, k->0

фазовая скорость для непрерывной струны, где .

Изломы не играют роли (системы не ощущает своей дискретности)

непрерывной струны.

2) высокие частоты : w->, k->

низкие частоты. Волновой пакет при такой волне будет деформироваться. Волны с низкой частотой будут распространяться с «обычной » скоростью. Волны с высокой частотой будут распространяться более медленно.

переноса энергии нет.  стоячая волна.

Если система дискретна, она ведет себя как дискретная струна. Такие системы характеризует дисперсия.

22. Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Плоские гармонические электромагнитные волны.

Электромагнитные волны представляют собой распространяющиеся в пространстве колебания электромагнитного поля. Источник – движущиеся заряды. В качестве исходного уравнения будем использовать уравнение Максвелла, в которое входит временное изменение полей.

1. 

2. 

Электромагнитное поле характеризуется векторами , а физическим смыслом обладают векторы .

Получим волновое уравнение для случая плоских волн.

За счет этого поля появляется магнитное поле.

Уменьшим ширину по x прямоугольника в плоскости xy.

- проекция H на ось y.

Силовые линии должны быть перпендикулярны вектору

Пусть в пространстве непроводящая среда, т.е. удельная проводимость = 0.

Среду будем характеризовать .

. Изменение магнитного поля возникает электрическое поле. .

1. - связь меняющегося магнитного поля и электрического поля.

- положение направление обхода контура (по Буравчику)

2. - связи между меняющимися полями

- волновые уравнения

В среде будут распространяться электромагнитные волны, в них будут присутствовать . Волна носит электромагнитную природу.

Плоские электромагнитные волны и их структура.

- описывает возмущение магнитной составляющей вблизи плоскости. Возмущение будет распространятся в пространстве с

Фазы у и одинаковые.

В вакууме и, тогда,

23. Импеданс среды для электромагнитных волн. Электромагнитные волны на границе раздела двух сред.

Импеданс среды для электомагнитных волн

Знание импеданса позволяет полностью восстановить параметры электромагнитной волны, если известны характер источника и среды.

Энергия электромагнитных волн

Если знаем направление вектора E и вектора H, то мы знаем направление распространения волны. Условия на границе раздела двух сред.

Одна волна отраженная, другая прошедшая.

Смена знаков связана с фазовыми соотношениями

Перемножим коэф. прохождения, получим количество прошедшей энергии от падающей волны на поверхность:

перемножим коэф. отражения и получим количество отраженной энергии:

Если то энергия не будет отражаться.

- следствие закона сохранения энергии.

Коэф. выражаются через коэф. преломления среды:

Оптически более плотная среда – это среда с большим коэффициентом преломления.

1. - нет отражения

2. - первая среда плотнее второй

- H в противофазе, - E в фазе

3. - вторая среда плотнее первой

- H в фазе

- E в противофазе

24. Интерференция волн от двух и многих когерентных источников.

Интерференция света от двух источников.

Пусть есть два источника света, и они излучают на одной и той же частоте.

в этой точке складываются два колебания с одинаковой частотой.

1 х1

○

х2

○ 2

Е02=Е102+Е202+2Е10*Е20*cosΔφ, Δφ(t)≠const

I~E02

I=I1+I2+2√I1*I2 *cosΔφ

<I>=<I1>+<I2>+0

Если два источника не когерентны, то перераспределения не наблюдается. В случае когерентных источников сложение двух источников зависит от Δφ.

1. Δφ=2πn

I=I1+I2+2√I1*I2 - условие max интерференции

Если I1=I2 , то I=4 I1

2. Δφ=π(2n+1)

I= I1+I2-2√I1*I2 - условие min интерференции

Если I1=I2 , то I=0

Е1=Е01cos(ωt-kx1)

Е2=Е02cos(ωt-kx2)

Δφ=φ2- φ1= kx1- kx2

Каждая волна может двигаться в своей среде, у которой свой коэффициент преломления.

Δφ=kx1- kx2=n1*2π/λ0*x1-n2*2π/λ0*x2=2π/λ0(n1x1-n2x2) x(s)-геометрический путь

nx(ns)-оптический путь

Δ= n1x1-n2x2=n1s1-n2s2

Оптическая разность хода волн зависит от положения точки в пространстве. Как результат, сложение волн в пространстве зависит от точки в пространстве.

1. max

Δφ=2πm, m=0,1…

2π/λ0(n1x1-n2x2)= 2πm => Δ=mλ0

2. min

2π/λ0*Δ=π(2m+1) => Δ=λ0/2*(2m+1)

Существует множество других точек, где результат сложения волн даёт промежуточное значение интенсивности. В произвольной точке Imin≤I≤Imax

Max относительно центра располагаются симметрично.

Δхmax=λ0l/nd

Разрешение картины определяется двумя параметрами: длиной волны и отношением l/d.

По мере удаления Δφ растет и вектор Е поворачивается.

I=I1+I2+2√I1*I2 *cosΔφ=2I0+2I0cosΔφ=4I0+

I~cos2(x)

Поскольку координаты max зависят от длины волны, то положение max для разных длин волн будут разные на экране. Если источники является источниками белого света, то на экране получится разложение в спектр.

Интерференция света от многих источников.

Лучи, идущие под одним углом, собираются в одной и той же точке. Происходит сложение N электромагнитных волн. Результат сложения зависит от того с какими разностями фаз они приходят.

Е01=Е02= … =Е0.

В центр картины в главный фокус приходят волны в одной и той же фазе

Е=N*Е0 => I=N2*I0 – интенсивность в центре больше в N2 раз.

Если мы уходим от центра, то лучи приходящие в некоторую точку имеют разность не равную нулю, у них появляется разность хода.

I=N2I0cos2(Δφ/2)

Поскольку интенсивность зависит от Δφ, то у неё есть max и min значения. В картине распределения интенсивности выделяются главные и дополнительные min и max.

1. главный max

I=N2I0, Δφ=0 => Δφ=2πm, m=0,1,2…

Величина m называется порядком главного max. Количество max слева и справа от центрального должно быть одинаково.

2. главный min

I=0 N*Δφ=mπ, m=1,2…

N*Δφ=2πm

Поскольку количество векторов ограниченное, то многоугольник нельзя постоянно накручивать. Между каждой парой max находится N-1 min. Между каждой парой min находится max, но не главный. Такой max называется дополнительным.

25. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция света на щели.

Гюйгенс предложил принцип, позволяющий объяснить явление дифракции.

Идея: каждая точка пространства, до которой дошел волновой процесс становится слабым источником вторичных волн. Если среда однородная, то эти волны сферические, но распространяются в переднюю полусферу. Принцип Гюйгенса позволил качественно объяснить дифракцию, но не давал возможности рассчитать распределение энергии. Френель усовершенствовал принцип и превратил его в метод расчета распределения энергии.

Идея: вторичные волны являются когерентными и как следствие они интерферируют. Можно использовать принцип суперпозиции волн.

(**)

1. min: bsinα=mλ в щели укладывается четное количество зон Френеля

2. max: bsinα=(2m+1)λ/2

sinα=λ/2:

Выражаем порядок минимума

Максимальный порядок минимума

1. Если b уменьшается, то расширяется центральный максимум, так как минимумы удаляются их количество становится меньше.

2. если b<λ, то минимумы находятся на бесконечности и их вообще нет. Это условие исчезновения минимума.

С уменьшением щели сам max становится меньше, так как все меньше энергии проникает в щель.

Положение минимумов и максимумов зависит от длины щели.

26. Дифракция света на дифракционной решетке.

Решетка – это совокупность одинаковых параллельных щелей.

Всего щелей N

Здесь происходит интерференция:

(***)

I(α)=Im(**)(***)

(**) – дифракция на одной щели

(***) – интерференция от N источников.

1. Условие главных минимумов:

Главные минимумы соответствуют минимальной дифракции на одной щели:

bsinα=mλ

I щели ≡ 0

2. Условие главных максимумов:

Когда волны от соседних щелей приходят в фазе, то будет наблюдаться максимум:

dsinα=mλ

период решетки разность хода2-х

соседних волн

Это условие может совпадать с 1- ым если d кратно b.

3. Дополнительные min:

Ndsinα=mλ

4. Дополнительные max:

разность хода 1-го и последнего источника должна быть кратна нечетному количеству λ/2

Ndsinα=(2m+1)λ/2

Дифракционная решетка:

Для любой решетки оказывается более изрезанной по сравнению с щелью. На ней наблюдается большее количество соседних щелей. Максимумы в итоге становятся уже.

Если пропускать белый свет, то решетка дает разложение в спектр.

Дифракционная решетки используется для определения длины света.

Чем меньше ширина щели, тем больше точность измерения.

27. Поляризованный свет. Способы получения поляризованного света.

Естественный и поляризованный свет.

Свет, с волновой точки зрения – это электромагнитная поперечная волна. С течением времени вектор Е случайным образом меняет своё направление. В естественном свете нет выделенного направления колебания вектора Е, т.е. плоскость колебания вектора Е меняется хаотически. Такое явление связанно с процессом излучения света веществом, где каждый атом вещества излучает случайным образом. Если в свете обнаруживается закономерность в поведении плоскости колебания вектора Е, то свет называется поляризованным. Естественный свет не поляризованный.

Примеры поляризованного света:

1.плоскополяризованный: колебание светового вектора Е происходит в одной плоскости. Эта плоскость называется плоскостью колебаний светового вектора.

Е

←○→

2.эллиптически поляризованный свет:

Световой вектор вращается равномерно либо по часовой, либо против часовой стрелки и конец вектора описывает эллипс.

3.круговая поляризация:

Общую ситуацию для света можно представить как суперпозицию поляризованного и неполяризованного света. Из естественного света можно получить поляризованный за счёт взаимодействия света с веществом. Вещество должно обладать анизотропией, т.е. у вещества свойства должны зависеть от направления в пространстве.

Поляризация света при отображении от диэлектрика.

Естественный свет

В общем случае отображённые и преломлённые лучи оказываются частично поляризованными. В отображённом и преломлённом свете появляется направление.

tgαБ=n2/n1, αБ - угол Брюстера.

Это условие соответствует тому, что угол между α и β равен 90˚, тогда будет поляризация.

Прошедшая и отражённая волны появляются за счёт колебаний электронов в веществе. Вектор Е заставляет совершать колебания. Произвольный вектор Е можно разложить на два взаимно перпендикулярных: Е=Е║+Е┴.

Е┴: если на поверхность упала волна, то эти два составляющих направления вызовут колебания электронов в перпендикулярных плоскостях.

Е║: …колебания электронов в параллельных плоскостях.

Поляризация света при преломлении (двойное лучепреломление).

Световой луч, проходящий сквозь кристалл CaCO3, раздваивается. Лучи оказываются плоскополяризованными во взаимно перпендикулярных направлениях и разделяются на обыкновенные и необыкновенные лучи. В обыкновенном случае отношение sinα/sinβ=n2/n1- const и не зависит от направления луча. В необыкновенном случае это отношение не const, т.к. меняется направление. Кристалл, обладающий таким свойством, обнаруживает анизотропию диэлектрической проницаемости. В таких кристаллах существует направление, вдоль которого не происходит разделения лучей на обыкновенный и необыкновенный. Это направление называется направлением оптической оси кристалла. Если через оптическую ось и направление луча провести плоскость, то эта плоскость называется главной плоскостью кристалла. Колебание вектора Е в обыкновенном луче перпендикулярно в этой плоскости, а в необыкновенном луче лежит в этой плоскости. С помощью таких кристаллов можно получить плоскополяризованный свет, но с помощью них же можно преобразовывать один вид поляризации в другой.

Поляризация света при поглощении.

Существуют структуры – поляроиды, в которых поляризация происходит за счёт анизотропии поглощения.

Е┴ начнёт раскачивать электроны и энергия будет выделятся. Составляющая Е┴ за счёт проводимости молекул поглащается (выделяется тепло в соответствии с законом Джоуля-Ленца). Составляющая Е║ не поглащается, в этом направлении электроны связаны. У такого поляроида есть выделенное направление и он называется поляризатором. На выходе обнаруживается плоско поляризованный свет, у которого колебания происходят в плоскости поляризатора. Е║=Е*cosα => I=I0*cos²α – закон Малюса.

Если свет естественный, то нужно производить усреднение по углу: <I>=<I0 cos²α >=1/2*I0