§ 9.2. Течение вязкой жидкости по трубам. Формула пуазейля

Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медицины особый интерес, так как кровеносная система состоит в основном из цилиндрических сосудов разного диаметра.

Вследствие симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; самый близкий к трубе слой жидкости непод­вижен. Примерное распределение скорости частиц жидкости в сечении трубы показано на рис. 9.2.

Для определения зависимости υ— f(r) выделим мысленно цилиндри­ческий объем жидкости некоторого радиуса r и длины L (рис. 9.3, а). На торцах этого цилиндра поддерживаются давления p₁ и p₂ соответственно, что обусловливает результирующую силу F= p₁πr² – p₂ πr² = (p₁-p₂)* πr² (9.2)

На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жид­кости действует сила внутреннего трения, равная Fтр= η* dυ/dx * S= η* dυ/dr * 2πr²L (9.3)

где S = 2πr²L — площадь боковой поверхности цилиндра. Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выделенный цилиндр, уравновешены: F=Fтр. Подставляя в это равенство (9.2) и (9.3), получаем (p₁-p₂)* 2πr² = -η* dυ/dr * 2πr²L (9.4)

Знак “-“ в правой части уравления обусловлен тем, что dυ/dr < 0 (ско­рость уменьшается с увеличением r). Из (9.4) имеем dυ= -p₁-p₂/2Lη * rdr

Проинтегрируем это уравнение: ∫^υ₀ dυ= - p₁-p₂/2Lη ∫^r_R rdr (9.5)

здесь нижние пределы соответствуют слою, <прилипшему> к внутренней поверхности трубы (υ = 0 при r — R), а верхние пределы — переменные. Решая (9.5), получаем параболическую зависимость скорости слоев жидкости от расстояния их до оси трубы (см. огибающую концов векторов скорос­ти на рис. 9.2): υ= p₁-p₂/4Lη * (R² – r²) (9.6)

Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0): υmax = (p₁-p₂)*R²/(4Lη)

Установим, от каких факторов зависит объем у жидкости, протекающей через горизонтальную трубу за 1 с. Для этого выделим цилиндрический слой радиусом г и толщиной dr. Площадь сечения этого слоя (рис. 9.3, 6) dS=2πrdr. Так как слой тонкий, то можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью υ. За 1 с слой переносит объем жидкости dQ =υdS= υ*2πrdr (9.7)

Подставляя (9.6) в (9.7), получаем dQ = π* p₁-p₂/2Lη * (R² – r²)* rdr

откуда интегрированием по всему сечению находим Q= π* p₁-p₂/2Lη ∫^R₀ (R² – r²)rdr= πR⁴/8η * p₁-p₂/L (9.8)

Эта зависимость известна под названием формулы Пуазейля.

Как видно из (9.8), при заданных внешних условиях (р^ и р₂) через трубу протекает тем больше жидкости, чем меньше ее вяз­кость и больше радиус трубы. Сильная зависимость ф ^от радиуса обусловливается изменением не только объема, но и относительной доли слоев, расположенных вблизи поверхности трубы.

Проведем аналогию между формулой Пуазейля (9.8) и законом Ома для участка цепи без источника тока. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока – объему жидкости, протекающей через сечение трубы в 1 с, электри­ческое сопротивление — гидравлическому сопротивлению: X=8ηL/( πR⁴) (9.9)

Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость η, длина L трубы и меньше площадь поперечного сечения. Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позволя­ет в некоторых случаях использовать правило нахождения электри­ческого сопротивления последовательного и параллельного соедине­ний проводника для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных труб. Так, например, общее гидравлическое сопротивление трех труб, соеди­ненных последовательно (рис. 9.4, а) и параллельно (рис. 9.4, б), вычисляется по формулам X=X₁+X₂+X₃ (9.10)

X= [1/X₁ + 1/X₂ + 1/X₃]^-1 (9.11)

Чтобы придать уравнению Пуазейля более общее выражение, справедливое и для труб переменного сечения, заменим градиентом давления dр/d1 и тогда Q= πR⁴/8η * dp/dL (9.12)

Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы разного сечения, по которой течет вязкая жидкость, маноме­трические трубки (рис. 9.5, а). Они показывают, что статическое давление вдоль трубы переменного сечения убывает пропорцио­нально L; dр/d1 = const. Так как Q одинаково, то гради­ент давления больше в трубах меньшего радиуса. График зависи­мости давления от расстояния вдоль труб приближенно показан на рис. 9.5, б.