- •8. Элементы теории вероятностей
- •8.1. Случайные события
- •8.1.1. Некоторые виды случайных событий
- •8.1.2. Классическое определение вероятности случайного события
- •8.1.3. Основные свойства вероятности случайного события
- •8.1.5. Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий
- •8.2. Случайные величины
- •8.2.1. Понятие дискретных и непрерывных случайных величин
- •8.2.3. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины
- •8.2.5. Основные числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •8.2.6. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
- •§ 10.3. Механические свойства твердых тел
- •§ 9.7. Поверхностное натяжение
- •§ 9.8. Смачивание и несмачивание. Капиллярные явления
- •§ 9.5. Ламин арное и турбулентное течения. Число рейнольдса
- •§ 9.2. Течение вязкой жидкости по трубам. Формула пуазейля
- •§ 9.4. Методы определения вязкости жидкости. Клинический метод определения вязкости крови
- •§ 9.1. Вязкость жидкости. Уравнение ньютона. Ньютоновские и неньютоновские жидкости
- •§ 26.8. Разрешающая способность
- •§ 32.2. Основной закон радиоактивного распада. Активность
- •§ 32.3. Взаимодействие ионизирующего излучения с веществом
8.1.2. Классическое определение вероятности случайного события
Под вероятностью случайного события в математике понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания).
Рассмотрим некоторую конечную полную группу равновозможных элементарных событий (исходов) В1, В2, ..., Вп, т. е. совокупность всех единственно возможных, несовместных и вместе с тем равновозможных результатов некоторого испытания, причем пусть интересующее нас случайное событие А осуществляется тогда и только тогда, когда наступают некоторые из элементарных событий указанной полной группы. Пусть таких событий, благоприятствующих для события А, насчитывается т (естественно, т≤п). Тогда вероятность события А определяют следующим образом:
Определение. Вероятностью Р(А) случайного события А называется отношение количества т элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий п: Р(А)=m/n (8.1)
Поскольку в общем случае 0≤т≤п, то из этого определения, называемого классическим определением вероятности случайного события, следует, что вероятность произвольного случайного события принадлежит отрезку [0,1], т.е. 0≤Р(A) ≤1 (8.2)
Пример 8.1. Найти вероятность того, что при извлечении наугад одного шара из корзины, в которой находятся 2 белых, 3 зеленых и 5 красных шаров, извлеченный шар окажется зеленым.
Решение. Поскольку общее количество элементарных событий (исходов) для данного испытания образует полную группу из п= 10 равновозможных событий (по общему количеству шаров в корзине), из которых только т = 3 элементарных события (по количеству зеленых шаров) являются благоприятствующими для интересующего нас события (обозначим это событие через А), по формуле (8.1) получим: P(A)=3/10
8.1.3. Основные свойства вероятности случайного события
1. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, поскольку количество т элементарных событий, благоприятствующих невозможному событию А, равно нулю, то по формуле (8.1) получаем:
P(A)=0/n=0
2. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, поскольку количество т элементарных событий, благоприятствующих достоверному событию Л, равно общему количеству п этих элементарных событий, то по формуле (8.1) получаем: P(A)=n/n=1
8.1.5. Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий
Если случайные события А и В являются несовместными событиями с известными вероятностями, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой сложения.
Теорема 8.1. Вероятность наступления случайного события А или несовместного с ним события В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А или В) = Р(А) + Р(В) (8.5)
Пример 8.2. В коробке находятся 2 упаковки аспирина, 3 — анальгина и 5 — амидопирина. Наугад извлекается одна упаковка. Найти вероятность того, что ею окажется упаковка аспирина или анальгина.
Решение. Вероятность извлечения упаковки аспирина (вероятность события А) в соответствии с формулой классической вероятности равна: Р(А) = 2/10=0,2
Аналогично вероятность извлечения упаковки анальгина (вероятность события В) равна: Р(В) =3/10=0,3
Поскольку данные события являются несовместными (если извлечена упаковка аспирина, то при этом упаковка анальгина не извлечена, и наоборот), для нахождения искомой вероятности в соответствии с теоремой 8.1 следует сложить найденные вероятности: Р(А или. В) = Р(А)+ Р(В) = 0,2 + 0,3 = 0,5.
Определение. Случайное событие Л, состоящее в том, что случайное событие А не произошло, называется событием, противоположным событию А.
Для противоположных событий справедлива следующая теорема.
Теорема 8.2. Сумма вероятностей наступления случайного события А и противоположного ему события А равна единице: P(A)+P(Ā)=1 (8.6)
Например, вероятность выпадения герба при однократном подбрасывании монеты равна 0,5, вероятность выпадения цифры также равна 0,5. Поскольку выпадение цифры представляет собой случайное событие, состоящее в невыпадении герба, то выпадение цифры является событием А, противоположным событию А (выпадение герба). В то же время сумма вероятностей этих событий действительно равна единице.
Определение. Случайные события А и В называются независимыми, если вероятность осуществления каждого из них не зависит от того, осуществилось ли при этом другое событие.
Например, при одновременном подбрасывании двух монет случайное событие А, состоящее в выпадении герба у одной монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у другой монеты, являются независимыми событиями, поскольку вероятность события А равна 0,5 и не зависит от того, осуществилось ли при этом событие В, и наоборот, вероятность события В также равна 0,5 и не зависит от того, произошло ли при этом событие А.
Если случайные события Л и В являются независимыми событиями с известными вероятностями, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой умножения вероятностей для независимых событий.
Теорема 8.3. Вероятность наступления двух независимых случайных событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(А и В) = P(A)*P(B) (8.7)
Пользуясь этой теоремой, легко определить, например, вероятность выпадения гербов на двух одновременно подбрасываемых монетах. Действительно, поскольку, как уже обсуждалось выше, событие А, состоящее в выпадении герба у первой монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у второй монеты, являются независимыми и вероятности каждого из них равны 0,5, то по формуле (8.7) получим: Р(А и В) = Р(А)*Р(В) = 0,5*0,5 = 0,25.
Определение. Случайное событие В называется зависимым от случайного события А, если вероятность осуществления события В зависит от того, произошло ли событие А.
Определение. Вероятность осуществления случайного события В, вычисленная при условии наступления события А, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/А).
Если случайные события Л и 6 являются зависимыми событиями, причем, например, событие В зависит от события А, то справедлива следующая теорема, называемая теоремой умножения вероятностей для зависимых событий.
Теорема 8.4. Вероятность наступления случайного события А и зависящего от него события В равна произведению вероятности события А на условную вероятность события В: Р(А и В) = Р(А) * Р(В/А) (8.8)
Пример 8.3. В корзине находятся 2 белых и 3 красных шара. Из корзины извлекают наугад один шар и, не возвращая его в корзину, извлекают наугад еще один шар. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара окажутся белыми.
Решение. Пусть случайное событие А состоит в том, что первый извлеченный шар окажется белым. Вероятность этого события в соответствии с классическим определением вероятности равна: P(A)=2/5=0,4
поскольку всего в корзине 5 шаров, 2 из которых белые.
Случайное событие В, состоящее в том, что второй извлеченный шар окажется белым, является зависимым от события А, поскольку в случае наступления события А в корзине останется только один белый шар из четырех и вероятность события В будет равна P(В/A) = 0,25, а в случае ненаступления — два белых шара из четырех и вероятность события В окажется равной Р(В/Ā) = 0,5.
Вследствие этого для определения вероятности того, что оба извлеченных шара окажутся белыми, следует воспользоваться теоремой умножения вероятностей зависимых событий, в результате чего найдем искомую вероятность:
Р(А и В)=Р(А) * P(B/A) = 0,4*0,25 = 0,1.