- •Е.В. Макарова
- •Введение
- •Практическое задание № 1. Задача распределения ресурсов
- •Элементы теории.
- •Элементы теории.
- •Контрольные вопросы
- •Практическое задание № 2. Транспортная задача
- •Контрольные вопросы
- •Практическое задание № 3. Задача о назначениях
- •Контрольные вопросы
- •Практическое задание № 4. Определение наикратчайшего пути между вершинами ориентированного графа с циклами
- •Контрольные вопросы
- •Практическое задание № 5. Размещение проектируемого объекта
- •Контрольные вопросы
- •Практическое задание № 6. Задача об изготовлении стержней
- •Контрольные вопросы
- •Практическое задание № 7. Определение границ интервала поиска оптимума одномерной функции
- •Элементы теории.
- •Контрольные вопросы
- •Практическое задание № 8. Определение оптимума одномерной функции. Методы исключения интервалов. Метод деления интервала пополам
- •Элементы теории
- •Контрольные вопросы
- •Практическое задание № 9. Определение оптимума одномерной функции. Методы исключения интервалов. Метод золотого сечения
- •Элементы теории.
- •Контрольные вопросы
- •Индивидуальные задания для самостоятельной работы Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Задание 8
- •Задание 9
- •Задание 10
- •Заключение
- •Список рекомендуемой литературы
Элементы теории.
Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и целевой функции (ЦФ) задачи.
Каждое из неравенств задачи линейного программирования определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДР является пустым множеством.
Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений включает равенства. ЦФ при фиксированном значении представляет на плоскости прямую линию. Изменяя значения целевой функции L, получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.
Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на осях координат, а угловой коэффициент прямой останется постоянным. Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.
Вектор с координатами из коэффициентов ЦФ перпендикулярен к каждой из линий уровня. Направление вектора совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположно направлению вектора.
Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в одной из вершин многоугольника ОДР, через которую пройдет линия постоянного значения от функции, или на всей его стороне.
При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений – единственная точка; задача не имеет решений.
В рассматриваемом примере содержатся только две переменные x1 и x2, поэтому задачу можно решить графически.
1) На плоскости x1, x2 строим область допустимых значений переменных, определяемую ограничениями задачи:
x1 + 2x2 3 (А)
3x1 + 1x2 3 (Б)
x1 , x2 0 .
Последнее ограничение определяет первый квадрант плоскости. Чтобы построить множество точек удовлетворяющих неравенству (А), нанесем на плоскость график прямой, определяющий границу этого множества: x1 + 2x2 = 3 (Б).
Приведем это уравнение к виду: . А это уравнение прямой «в отрезках» и для построения этой прямой используются две точки (a , 0) и (0 , b). (рис. 1.1)
Рис. 1.1
Запишем уравнение границы допустимой области из неравенства (А):
.
Аналогично, из неравенства (Б) получим уравнение второй границы:
Построим обе прямые на плоскости. Множества точек, удовлетворяющие неравенствам (А) и (Б) будут полуплоскости, лежащие под соответствующими прямыми, а множество допустимых значений переменных будет пересечением (общей частью) этих полуплоскостей, лежащее в первом квадранте: четырехугольник ABCD (рис. 1.2).
Рис. 1.2.
2) На множестве допустимых решений (ABCD) найдем точку, в которой целевая функция Z = 2x1 + x2 имеет максимальное значение. Для этого посмотрим линии уровня целевой функции. Линией уровня называется множество точек, на которых функция принимает постоянное значение:
Z = 2x1 + x2 = К,
где К - задаваемая постоянная.
При К = 1 уравнение линии уровня будет:
2x1 + x2 = 1.
или (в отрезках) : .
При К = 2, аналогично:
2x1 + x2 = 2 ,
или .
Нанеся линии уровня на область допустимых решений (рис. 1.3), получим, что при увеличении значения Z соответствующая линия уровня перемещается параллельно предыдущей вправо и вверх. Таким образом, точкой из многоугольника ABCD, в которой целевая функция Z имеет максимальное значение, будет вершина С. Эта точка и определяет решение задачи.
Рис. 1.3.
3) Вычисление координат оптимальной точки (С).
Точка C лежит на пересечении прямых (А) и (Б), поэтому, чтобы определить ее координаты надо решить систему уравнений:
x1 + 2x2 = 3 (А)
3x1 + x2 = 3 (Б)
Решение:
x1* = 0,6 ; x2* = 1,2 ;
максимальное значение Z:
Z* = 2·0,6 + 1,2 = 2,4.
Задание 2. Решение задачи ЛП в симплекс-таблицах.