2. Кристаллическое строение твердых тел

Атомы (частицы) твердого тела стремятся к такому расположению в пространстве, чтобы энергия их взаимодействия была минимальной. Этому соответствует определенный порядок в пространственном размещении частиц, определяемый понятием «кристаллическая решётка». На рис. 4 приведена модель кристаллической решетки. В узлах решетки располагаются атомы (ионы) вещества.

В кристаллической решетке можно выделить элемент объема из минимального количества частиц (атомов), многократным переносом (трансляцией) которого в пространстве можно построить весь кристалл. Такой элементарный объем, который характеризует особенности строения данного типа кристалла, называется элементарной ячейкой.

Имеется относительно небольшое количество типов кристаллических решеток, свойственных элементам периодической системы.

Наиболее часто элементы имеют кристаллические решетки следующих типов:

кубическую объемно-центрированную (сокращенно о.ц.к.);

кубическую гранецентрированную (г.ц.к.);

гексагональную, которая бывает плот­ноупакованная (г.п.у.) и неплотноупакованная (н.г.п.у).

Подавляющее боль­шинство металлов име­ет отмеченные типы кристаллических реше­ток. На рис. 5 приве­дены схемы решеток о.ц.к., г.ц.к. и г.п.у.

Менее распространены ромбоэдрическая, тетрагональ­ная и более сложные решетки. На рис. 1 в клетках эле­ментов отмечены характерные для них типы кристалличе­ских решеток.

Кристаллические решетки характеризуют следующие основные параметры: период решетки; координационное число; атомный радиус; энергия решетки; базис и коэф­фициент компактности решетки.

Периодом решетки называется расстояние между центрами двух соседних частиц (атомов, ионов) в элементарной ячейке решётки (аbc на рис. 4). Периоды решетки измеряются в ангстремах (А) или килоиксах (1а=10^-8 см ; кХ= 1,00202 •10⁸ см).

Координационное число К показывает количество атомов, находящихся па наиболее близком и равном расстоянии от любого выбранного атома в решетке.

Под атомным радиусом в общем случае понимают половину межатомного расстояния между центрами ближайших атомов в кристаллической решетке элемента при равновесных условиях. Атомный радиус не является неизменной величиной, а изменяется в зависимости от ряда факторов, важнейшими из которых являются координационное число и тип химической связи между атомами в кристалле.

Энергия кристаллической решетки определяется как энергия, выделяющаяся при образовании кристалла из ионов, атомов или других частиц, образующих кристалл, когда эти частицы в исходном состоянии находятся в газообразном состоянии. Количественно энергию связи оценивают по теплоте сублимации, показывающей величину энергии, которую необходимую затратить, чтобы перевести валентные электроны твердого тела на уровни свободного атома. От величины энергии решетки зависят важные свойства тела: температура плавления, модуль упругости, прочность, твердость и др. Увеличение валентности атомов приводит к увеличению энергии решетки.

Базисом решетки называется количество атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку решетки.

Коэффициент компактности  решетки определяется отношением объема, занимаемого атомами Va ко всему объему решетки Vp, т.е.

Решетки о.ц.к., г.ц.к. и г.п.у. являются типичными ре­шетками подавляющего бол­ьшин­ства технических мате­риалов. Поэтому следует рассмотреть их более подробно. Пред­ставленные на рис. 5, слева, типы кристалличе­ских решеток схематично отражают взаимное рас­положение атомов (ионов) в кристалле. Если ус­ловно считать атомы ша­рами одинакового диа­метра, то рис. 5, справа, дает бо­лее точное пред­ставление о действитель­ном рас­положе­нии атомов в о.ц.к., г.ц.к. и г.п.у. кри­сталлах.

Кубическая объемно-центрированная решетка (о.ц.к.), рис. 5а , имеет восемь атомов по вершинам и один атом в центре куба. Период решетки а, координационное число К=8 (атом в центре куба имеет восемь соседей на минимальном расстоянии ). Базис решетки равен двум (каждый атом в вершине принадлежит данной элементарной ячейке на 1/8, атом в центре — целиком, значит 1/8X8+4=2). Коэффициент компактности решетки о.ц.к. равен 68%.

2. Кубическая гранецентpированная решетка (г. ц..к.), рис. 5, б, характеризуется периодом а. Для установления координационного числа рассмотрим атом в вершине куба. Ближайшими к нему являются атомы в центре граней куба на расстоянии . Таких атомов в одной ячейке 3. К атому в вершине примыкает 8 элементарных ячеек. Тогда общее число ближайших соседей будет, т. е. координационное число К=12. Коэффициент компактности решетки г.ц.к. равен 74%.

№ 5. Каков базис решетки г.ц.к.? (Учтите, что в кристалле к ячейке со всех сторон примыкают другие ячейки, поэтому не все атомы изображенные на рис. 5, б, принадлежат только дайной ячейке). Ответ (см. на с. 26): базис равен 1) 6; 2) 14; 3) 4.

Гексагональная плотноупакованная решетка (г.п.у.) рис. 5, в, имеет периоды а и с, причем .

№ 6. Чему равно координационное число решетки г. п. у.? (при решении этой задачи рассмотрите атомы, примыкающие к атому в центре основания призмы и учтите, что основание призмы является общим для двух элементарных ячеек). Ответ (см. на с. 26): 1)6; 2) 9; 3) 12.

Для решетки г. п. у. () координационное числоК=12, базис равен 6. Коэффициент компактности  = 74%.

В общем случае элементарная ячейка представляет собой косоугольный параллелепипед (на рис. 4 обведен жирно),Вершины параллелепипедов в кристаллической решетке называются узлами решетки. Прямые, проведенные через узлы решетки, называются кристаллографическими направлениями. Плоскости, проведенные через узлы решетки, называются кристаллографическими плоскостями. Легко видеть, что плотность атомов в различных кристаллографических плоскостях и направлениях различна; поэтому свойства кристаллического тела в различных и направлениях также различны. Это явление называется анизотропией.

Для обозначения кристаллографических плоскостей и направлений пользуются индексами Миллера. Для того, чтобы установить индексы Миллера, кристалл вписывается в пространственную систему координат, как показано на рис. 4. Оси координат X, Y, Z называются кристаллографическими осями. За единицу измерения вдоль каждой оси принимается период решетки, т. е. длина ребра элементарной ячейки. Рис. 4 иллюстрирует сказанное для наиболее общего случая.

№ 7. Каковы координаты узла 1, рис. 4? Ответ (см. на с. 26): 1) х=а, у = b, z=c; 2) х=а, у=а, z=a; 3) х=0, y=b, z=c.

Индицирование кристаллографических плоскостей рассмотрим на примере простой кубической решетки (рис. 6а). В данном случае единица измерения вдоль осей — длина ребра куба равная а.

Для определения индексов кристаллографической плоскости необходимо:

установить координаты точек пересечения плоскости с осями координат в единицах периодов решетки;

взять обратные значения этих величин;

привести их к наименьшему целому, кратному каждому из полученных чисел.

Полученные значения простых целых чисел, не имеющие общего множителя, заключенные в круглые скобки, являются индексами Миллера плоскости.

Рассмотрим индексы Миллера плоскости, пересекающей оси координат в точках (где a период решетки, рис. 6а). Обратные значения этих чисел 2, 1, 3. Эти числа являются простыми и не имеют общего множителя. Поэтому индексы этой плоскости будут (213). Следует читать: «дна», «одни», «три».

Индекс по оси показывает, на сколько равных частей дан­ная система плоскостей делит осевую единицу по данной координатной оси.

№ 8. Какие точки пересекает плоскость (211)? Ответ (см. на с. 27): плоскость пересекает 1) ось X в точке 1/2а, оси Y и Z в точках 1а; 2) ось X в точке 2а, оси У и Z в точках 1а.

Плоскость, параллельная какой-либо координатной оси, имеет индекс по этой оси нуль, т. к. Так, например, плоскостьqmrn (рис. 6а) имеет индексы (110).

Если плоскость пересекает ось в области отрицательных значений координат, то соответствующий индекс будет отрицательным и знак минус становится над индексом.

Непараллельные плоскости, имеющие одинаковое атомное строение, кристаллографически эквивалентны, например: (001) и (100) или (110) и (011) и т. д.

Важнейшими плоскостями кубических решеток являются 6 плоскостей граней куба; 8 плоскостей типа (111), которые в пространстве образуют октаэдр, и 12 плоскостей типа (110), которые образуют ромбический додекаэдр. Совокупность эквивалентных плоскостей обозначают обычно индексами плоскости В первом октанте и заключаются в фигурные скобки. Таким образом, важнейшими плоскостями куба являются {100}, {111} и {110}.

Зная индексы (hRl) плоскости, можно подсчитать межплоскостное расстояние d между плоскостями (hRl) данного семейства, которое для кубических кристаллов с периодом решетки d определяется по формуле:

(3)

Эта зависимость широко используется при рентгеноструктурном анализе кристаллических тел, имеющих кубическую решетку.

№ 9. Чему равно межплоскостное расстояние d системы плоскостей (111) в кубическом кристалле, имеющем период решетки, а=2А? Ответ (см. с. 27): 1) ; 2) ; 3) .

Индицирование кристаллографических направлений рас­смот­рим по рис. 6б. Ориентация прямой определяется координатами двух ее точек. При определении индексов направлений необходимо, чтобы:

одна точка направления совпадала с началом координат (если прямая не проходит через начало координат, то необходимо путем параллельного переноса совместить ее с началом координат или перенести начало координат на прямую);

установить координаты любой другой точки, лежащей на данной прямой, в единицах решетки;

привести отношения этих координат к отношению трех наименьших целых чисел;

заключив полученные числа в квадратные скобки, получим индексы кристаллографического направления.

Например, индексы направления od (рис. 6б) будут [111].

№ 10. Каковы индексы оси Y, рис. 6, б.? Ответ (см. на с. 27): 1) [100]; 2) (010); 3) [010].

Для получения индексов прямой, проходящей через точки l и центр граня k (рис. 6б), необходимо перенести линию lk параллельно самой себе так, чтобы она проходила через начало координат и определить новые координаты точки k, которые будут

Наименьшие целые числа без общего множителя будут: -1, 2, 1. Знак минус у индекса -1. ставится над индексом. Тогда индексы направления lk будут [121].

Совокупность непараллельных кристаллографически эквивалентных направлений обозначают индексами одного направления (как и плоскостей), заключенными в ломаные скобки. Например, для ребер куба имеем <100>, диагоналей грани <011> и т. п. Полезно помнить, что в кубической решетке индексы направления, перпендикулярного плоскости (hkl) имеют те же индексы, т. е. [hkl]. Проверьте это, упражняясь по рис. 6, а и б.

После открытия лучей Рентгена, длина волны которых соизмерима с периодами решеток, появилась возможность непосредственного исследования расположения атомов в кристаллической решетке.

Как известно из курса физики, основой рентгеноструктурного анализа является формула Вульфа-Брегга, показывающая условия интерференции отраженных рентгеновских лучей от атомов в параллельных кристаллографических плоскостях кристалла (рис. 7, а). Лучи, отраженные от этих плоскостей будут усиливать друг друга при условии, что разность пути для лучей  равна целому числу длин волн 

(4)

где n - - целое число,  — длина волны рентгеновских лучей, d — межплоскостное расстояние,  — угол падения и отражения лучей.

На рис. 7, 6 показана схема наиболее часто используемого метода съемки поликристаллических материалов. Стрелками показаны образующие двух конусов рентгеновских лучей, отраженных от двух различных семейств параллельных кристаллографических плоскостей. На рис. 7, в показана схема рентгенограммы. Симметрично расположены темные дуги па развернутой пленке от воздействия отраженных лучей на эмульсию пленки. Легко видеть, что по расстоянию 21 между дугами можно определить угол отражения из формулы , гдеА радиус цилиндра, по которому была изогнута пленка в камере. На рис. 8 показана рентгенограмма, снятая с поликристаллической меди. Индексы линий соответствуют индексам отражающих плоскостей кристалла.

Формула (5) для расшифровки линий рентгенограмм, снятых с материалов с кубической решеткой, получена из формул (3) и (4)

(5)

По промерам рентгенограммы устанавливают. Зная длину волны  и параметр решетки а, устанавливают индексы плоскости {hkl}, от которой получены соответствующие линии на рентгенограмме.

№ 11. При съемке поликристаллического железа (период решетки а=2,8605 kХ) с использованием рентгеновской трубки с железным антикатодом (=1,934 кХ) получена линия с углом отражения  = 28°34' (sin  = 0,477). От какой кристаллографической плоскости получена эта линия? Ответ (см. на с. 27): от плоскости 1) (211); 2) (110); 3) (321).