15 Методы самоконтроля.

1. Прикидки.

До решения задачи целесообразно сделать самую грубую прикидку и сделать попытку оценить, что должно получиться. Такие прикидки позволяют получить характерные значения участвующих величин и перейти к безразмерной форме уравнений задачи. Это дает возможность прикинуть величину отдельных членов уравнения и сравнительно малые члены либо отбросить, либо упростить, либо учесть с помощью метода малого параметра. После решения упрощенного таким образом уравнения можно путем подстановки проверить, в самом ли деле относительно малы отброшенные члены.

2. Контроль размерностей. Этот простой, но важный тест состоит из трех правил:

1) складывать друг с другом и связывать неравенствами можно только величины одинаковой размерности.

2) если размерность какой-либо величины, представленной некоторой формулой, известна заранее, то эта размерность должна вытекать и из данной формулы.

3) аргумент трансцендентной (т.е. неалгебраической) функции должен быть безразмерным, т.е. числом.

3. Контроль законов сохранения. Если в содержательной модели потери энергии считались пренебрежимо малыми, то математическая модель должна удовлетворять условию сохранения энергии, а потому и для решений должно проявляться это свойство. Если же в содержательной модели потери энергии были учтены, то соответствующим свойством должны обладать также математическая модель и решение.

4. Контроль характера зависимости решения от параметров задачи. Здесь речь идет о проверке направления, а иногда и скорости изменения найденной величины при изменении параметров задачи: эти направления, вытекающие из выведенных соотношений, должны быть такими, как следует непосредственно из смысла задачи.

5. Контроль экстремальных ситуаций. Всегда оказывается чрезвычайно полезным проследить за тем, какой вид принимают как исходные, так и промежуточные и окончательные соотношения, а также выводы из исследования модели, если ее параметры приближаются к крайним допустимым для них значениям – чаще всего к нулю или к бесконечности. В таких экстремальных ситуациях задача часто упрощается или вырождается, так что соотношения приобретают более наглядный смысл и могут быть проверены – если, как это часто бывает, соответствующие им решения можно получить независимо от анализа общего случая или если они заранее известны.

6. Контроль математической замкнутости. Состоит в проверке того, что используемые математические формулы дают возможность решить поставленную математическую задачу, т.е. что математическая модель полна.

16. Распространенные ошибки.

Типы ошибок:

1. Ошибка в выборе модели.

- Плохого анализа ситуации.

- Игнорирования важных фактов.

- Использование схемы из какой-то другой области.

- Использование модели в неверных условиях (классическая и релятивистская механика).

- Неоправданные упрощения модели.

- Неоправданные упрощения моделируемого объекта.

2. Влияние интерполяции и экстраполяции.

- Плохая теоретическая обоснованность вида функции.

- Плохой учет острых экстремум, разрывов и т.п., которые могут оказаться определяющими.

- Необоснованное распространение формул с исходного на существенно более широкие интервалы.

3. Ошибки в выборе метода исследования.

- Использование неверного вида исследования.

- Недостаточные требования к исходным данным.

- Использование неверного математического алгоритма (например, алгоритм неустойчив).

17. Математические модели в физике.

Изначально мат. модели появились в физике (средние века). Мат. модели в физике на много проще, чем мат. модели, возникающие в биологических и социальных науках. Моделирование явлений, включающих в себя человека в качестве элемента явления, неизмеримо сложнее, чем моделирование объектов и явлений неживой природы.

Предположим, что ракета запускается под углом к поверхности земли. Требуется построить траектории. Нужно учесть ряд факторов: характеристики самой ракеты, сопротивление воздуха и т.п.

Сперва сделаем ряд упрощательных предположений. Во-первых, ракета на высоту 2100 км. Это позволит пренебречь кривизной Земли. Во-вторых, траектория ракеты лежит в одной плоскости.

Строим двумерную систему координат с центром в точке старта. Пусть x(t) и y(t) - координаты ракеты в момент времени t. Пусть

Тогда

Угол наклона ракеты к горизонту .

Мат. модель траектории следует и законов Ньютона: , m - масса ракеты, причем , - результирующая действующих сил (сила тяги двигателя , сила сопротивления воздуха , где c - коэффициент сопротивления, ρ - плотность воздуха, s - поперечное сечение ракеты, V - скорость; сила тяжести )

Чтобы записать нужное уравнение, примем во внимание, что сила тяжести и сила сопротивления действуют вдоль оси ракеты. Получаем:

Отсюда выражаем 𝑥′′ и 𝑦′′:

Получаем систему дифференциальных уравнений второго порядка.

18. Математические модели в биологии.

Первое применение математики в биологии — статистическая обработка биологических экспериментов. Математическое моделирование пришло в биологию позже, т.к. биологические объекты представляют собой гораздо более сложные объекты, чем изучаемые в физике. Любой живой объект подвержен воздействию различного рода факторов, которые сложно описать математически. Однако в настоящее время мат. моделирование в биологии интенсивно развивается, и даже строятся модели биохимических процессов, происходящие в клетках.

Моделирование осуществляется с помощью специальных дифференциальных уравнений. При этом эти модели носят приближенный характер; с их помощью можно описывать явление или процесс только на качественном уровне.

Модель «хищник-жертва». Предполагаем, что при каждой встрече с хищником, жертва погибает. Требуется исследовать во времени популяции хищников и жертв.

Пусть x(t) - количество жертв в момент времени t, а y(t) - хищников. Предположим, что норма рождаемости и смертности жертв x_b и x_d - константы, не зависящие от времени. Это упрощение не совсем соответствует действительности. Считаем, что . Если хищников не будет, то - скорость роста популяции. Т.к. мы предположили, что хищник убивает жертву всегда, то число таких случаев ~ произведению количества хищников и жертв.

Найдем уравнение для хищников. Предположим, что в отсутствии жертв их число убывает. В результате встреч хищников с жертвами число хищников растет.

Мы получили систему дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями. Дальше ее можно решать математическими методами.

Меняя параметры, мы можем исследовать поведение системы и изучить явление при различных условиях.

Чтобы получить однозначное решение, нужно задать начальные условия x(0) и y(0).

19. Математические модели в экономике.

Построение мат. моделей в экономике может давать прогнозы с некоторой степенью достоверности.

Экономику можно рассматривать как нелинейную динамическую систему.

Система - совокупность составляющих ее компонентов и взаимосвязей между ними. Социально-экономические системы - это целереализующие системы. Подсистема - часть системы, реализующая цели, согласованные с целями системы или являющиеся частью этих целей. Любая система действует в какой-либо среде.

Можно рассматривать и экономическую систему, которая рассматривается как совокупность хозяйственных единиц, объединенных различными связями. Каждая хозяйственная единица (ферма, …) может иметь свою структуру. Экономическая система состоит из 2 главных подсистем: производственной и финансово-кредитной.

Пример. Модель Солоу. В ней экономика рассматривается как замкнутая структура. Переменные:

y - ВВП;

I - валовые инвестиции;

c - фонд потребления;

k - основные производственные фонды;

L - число занятых.

Первые три переменные показывают. k, L - можно измерить в любой момент времени.

1 ур-ние - производственная функция (влияние ВВП).

2 ур-ние - распределение.

3 ур-ние - состояние производственных фондов (их выбывание со временем).

4 ур-ние - динамика прироста занятых.

Получили систему с обратной связью. При этом управляющим элементом является распределительный элемент (ур-ние 2). Входом в систему служит количество рабочих (ур-ние 4). Управляемый объект описывается ур-ниями 1 и 3.

Если время Δt - дискретно.

Переходим к пределу Δt→0 => Получаем дифференциальные уравнения.

Мы получили 2 модели (с дискретным и непрерывным временем).